2.12. Сложное движение твердого тела.

Движение тела называется сложным, если тело движется от-нисительно подвижной системы отсчета, которая, в свою очередь, совершает переносное движение по отношению к неподвижной системе отсчета.

При сложении двух поступательных движений результирующее движение тела так же является поступательным со ско­ростью, равной геометрической сумме скорос­тей составляющих движений:

(2.59)

Тележка крана (рис. 126) движется поступательно со скоростью относительно подвижной системы отсчета . Подвижнаясистема отсчета жестко связана с фермой крана, которая со скоростью совершает поступательное движение относительно неподвижной системы отсчета . Результирующее движение тележки также является поступательным со скоростью .

При сложении двух вращательных движений вокруг вертикаль­ных осей возможны три частных случая:

1. Вращения направлены в одну сторону. Если тело участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях вок­руг параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью, равной сум­ме угловых скоростей составляющих вращений, вокруг мгновенной оси, параллельной осям составляющих вращений.

Колесо 2 (рис.127) об­катывается по неподвиж­ному колесувследст­вие вращения кривошипас угловой скоростью вокруг оси . Одновременно колесо вращается вокруг соб­ственной оси с угловой скоростью . Нап­равления двух вращений совпадают. Результирую­щим движением для колесаявляется вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через мгновенный центр скоростей - точку, с угловой скоростью:

.

2. Вращения направлены в противоположные стороны. Результирующее движение является мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью, равной разности угловых скоростей состав­ляющих вращений.

Колесо (рис.128) обкатывается внутри колесаза счет вращения кривошипа, совершая сложное движение, состоящее из относительного вращательного движения с угловой скоростью и переносного вращательного движения с угловой скоростью .

Результирующим движением для колесаявляется вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку - мгновенный центр скоростей, с угловой скоростью .

Планетарными называются передачи, в которых оси одного или нескольких колес зак­реплены в подвижном звене – водиле. Любая планетарная передача содержит центральные колеса, расположен­ные на неподвижных, осях, колеса, расположенные на под­вижной звене-водиленазываемые са­теллитами (рис.129).

Если центральное колесо и водило получают вращение независимо друг от друга, передача имеет две сте­пени свободы и называется дифферен­циальной (рис.130,а). При закрепле­нии центрального колеса (рис.130,6) передача имеет одну степень свободы и называется простой планетарной. В такой передаче вращение передает­ся либо от водила, к сателлиту, либо от сателлита к водилу. Сателлиты планетарных передач совершают сложное движение, состоящее из переносного вращения вместе с водилом относительного вращательного движения вокруг собственных осей.

3. Пара вращений.

Еслитело участвует одновременно в двух вращениях вокруг параллельных осей с угловыми скоростями, равными по модулю и противоположно направ­ленными (рис.131), то результирую­щим движением твердого тела являет­ся поступательное движение со ско­ростью ,равной моменту пары угло­вых скоростей составляющих вращений:

.

Педаль велосипеда (рис.132) совершает результирующее поступательное движение, состоящее из двух вращательных движений: переносного вращения вместе с кривошипом вокруг оси и относительного вра­щения педали по отношению к криво­шипу вокруг оси .

Педаль во все время движе­ния остается параллельной первоначальному положению, что определяет ее поступательное движение.

Если тело участвует од­новременно в переносном посту­пательном движении со скоростью (рис.133} и относительном вращательном движении с угло­вой скоростью , то резуль­тирующим движением твердого тела является винтовое движение. Ось является осью винта.

Расстояние , которое точка тела проходит за время одного поворота винта, называется шагом винта:

. (2.54)

Пример №28.

Найти угловую скорость ведомого вала редуктора (рис.134), если ведущий вал вращается с угловой скоростью, а колеса редуктора имеют числа зубьев,,.

Решение:

1. Угловые скорости колес редуктора можно определить способом мгновенных центров скоростей. Зная угловую скорость ведущего звена, можно выразить скорость точки :

.

Зная для сателлита скорость точкии положение мгновенного центра скоростей (точка), можно составить соотношение:

или.

и определить угловую скорость звена и скорость точки, подставляя вместо размеров колес числа зубьев:

.

.

Так как точка связана с ведомым валом, можно определить угловую скорость:

2. Угловые скорости звеньев редуктора можно определить способом Виллиса. Этот способ дает возможность определять угловые скорости звеньев механизма, участвующих в переносном и относительном вращательных движениях. Относительным движением для ко­лес является вращательное движение вокруг собственной оси по отношению к водилу, переносным - вращение вместе с водилом вокруг его оси. Для каждого колеса переносной скоростью является угловая скорость водила. Для рассматриваемого примера угловая скорость водила совпадает с угловой скоростью ведомого ва­ла. Относительные угловые скорости колес являются разностями абсолютных и переносных угловых скоростей:

;

;

.

Такие угловые скорости имеют колеса редуктора при мгновенно остановленном водиле, что превращает планетарный редуктор в рядовую зубчатую передачу с неподвижными осями вращения колес. Следовательно, можно составить соотношения:

,

где - число внешних зацеплений между колесамиив от­носительном движении (при остановленном водиле).

Для рассматриваемого примера ,, тогда для колеса:

;

.

Аналогично для колеса :

;

.

Значение угловых скоростей колес, вычисленные двумя способами, совпадают.

Пример №29.

Найти угловую скорость ведомого вала редуктора с дифференциальной передачей (рис.135) при следующих исходных данных:,,,,.

Решение:

Определим искомые угловые скорости, используя мгновенный центр скоростей колес 2-3, который находится в точке . Положение МЦС определяется построением по известным скоростями,

где ,

.

Скорости точек ,,связаны с угловой скоростью колессоотношением:

Положение МЦС определим, используя свойство пропорции:

;

Так как точка лежит на ободе колеса, можно найти угловую скорость ведомого вала:

или

.

2. Используя способ Виллиса, мысленно остановим водило, вращающееся с угловой скоростью , и составим соотношение для вычисления угловой скорости ведомого вала:

,

где - число внешних зацеплений между валамии:

;

.

Аналогично для вала :

;;

.

ЛИТЕРАТУРА

1. Законы, формулы, задачи физики. Справочник / Гофман Ю.В. - К.: Внукова думка, 1977. - 576 с.

1. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ во теоретической механике. - М.: Высшая школа, 1985. - 367 с,

2. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики.- М.: Высшая школа, 1983. - 575 с.

3. Тарг СМ. Краткий курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1986. -416 с.

5. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1990. - 607 с.

6. Файн Н.М. Сборник задач по теоретической механике. - М.: Высшая школа, 1987. - 256 с.

7. Осадчий В.А., Файн А.Н. Руководство и решению задач по теоретической механике. -М.: Высшая школа, 1972. - 256 с.

8. Мовнин B.C., Израелит А.Б. Техническая механика. - Л.: Судостроение, 1971. - 344 с.

9. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической меха­ники. Т.1,2. - М., 1985,

10. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - М., 1986. - 480 с.

11. Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К.С.Колесникова. -М.: Наука, 1989. - 448 с.

12. Бать М.И.,Джанелидзе Н.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах в задачах. Ч.2. - М., 1984. - 624 с.

13. Теоретическая механика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных специальностей высших учебных заведений /Л.И.Котова, Р.И.Надеева, С.М.Тарг и др. - М.: Высшая школа, 1989, - 111 с.

14. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч.2. –М., 1984. -423с.

15. Попово М.В. Теоретическая механика. –М.: Наука, 1986. -336с.

16. Зубов В.Г. Теоретическая механика. –М.:Наука, 1986. -352с.

17. Стрелков С.П. Механика. М.:Наука, 1975. -560с.