- •Теоретическая механика
- •I. С т а т и к а т в е р д о г о т е л а
- •1.1 Предмет и задачи статики твердого тела.
- •1.2 Сила. Система сил.
- •1.3. Связи и реакции связи.
- •1.3.1. Гладкая опорная поверхность.
- •1.3.2. Гибкая нерастяжимая нить (трос,канат,цепь).
- •1.3.3. Невесомый стержень.
- •1.3.4. Шарнирное соединение.
- •1.3.8. Принцип освобождаемости от связей.
- •1.5 Устойчивость тел при опрокидывании.
- •1.6. Момент силы относительно оси.
- •1.7 Пара сил. Момент пары сил.
- •1.9. Вторая задача статики - определение условий равновесия твердого тела.
- •1.11. Плоская система параллельных сил.
- •1.12. Теорема вариньона о моменте равнодействующей.
- •1.13. Произвольная плоская система сил.
- •1.14. Равновесие при наличии трения.
- •1.15. Равновесие при наличии трения качения.
- •1.17. Равновесие составной конструкции под действием плоской системы сил.
- •1.18.Пространственная система сходящихся сил.
- •1.19. Равновесие произвольной пространственной системы сил.
- •1.20. Центр тяжести твердого тела.
- •2.1. Предмет и задачи кинематики.
- •2.3. Скорость точки.
- •2.5. Поступательное движение твердого тела.
- •2.6. Вращение тела вокруг неподвижной оси.
- •2.7. Механические передачи.
- •2.8. Плоскопараллельное движение твердого тела.
- •2.9. Сложное движение точки.
- •2.10. Вращение тела вокруг неподвижной точки.
- •2.11. Общий случай движения свободного
- •2.12. Сложное движение твердого тела.
2.9. Сложное движение точки.
В ряде случаев движение точки можно рассматривать по отношению к двум системам отсчета, из которых одну можно считать условно неподвижной. Например, движение человека по движущейся лодке (рис. 107) по отношению к берегу является сложным, состоящим из движения относительно лодки (подвижная система отсчета) и движение вместе с лодкой по отношению к берегу (неподвижная система отсчета).
Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным движением. Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным. Движение точки вместе с подвижной системой отсчета относительно неподвижной системы отсчета является для точки переносным.
П
, (2.40)
где - абсолютная скорость точки в движении относительно неподвижной системы отсчета;
- относительная скорость точки, скорость движения относительно подвижной системы отсчета;
- переносная скорость точки, скорость той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.
Если переносным движением является вращательное движение (рис. 108), переносной скоростью для точки будет являться скорость точки вращающегося конуса (подвижной системы отсчета), где в данный момент времени находится движущаяся точка М.
Численное значение скорости зависит от угловой скорости вращающегося тела и расстоянияточки до оси вращения. Расстояниезависит от относительного движения точки вдоль образующей конуса. Модуль абсолютной скорости определяется по правилу параллелограмм:, (2.41)
где - угол между направляющими векторови. Если векторыивзаимно перпендикулярны (рис. 108), то
. (2.42)
Если векторы илежат в одной плоскости (рис. 109), то модуль абсолютной скорости удобно определить по проекциям на координатные оси
,
где ,.
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений:
относительного , характеризующего изменение относительной скорости точки в относительном движении;
переносного , характеризующего изменение переносной скорости точки в переносном движении;
ускорения Кориолиса , характеризующего изменение относительной скорости точки в переносном движении и переносной скорости точки в относительном движении:
. (2.43)
Относительное и переносное ускорение определяется из закона соответствующего движения. Ускорение Кориолиса вычисляется по формуле:
, (2.44)
где - угловая скорость переносного вращательного движения.
Модуль ускорения Кориолиса зависит от угла между векторами и:
. (2.45)
Ускорение Кориолиса равно нулю, если а) , т.е. переносное движение не является вращательным; б) векторыипараллельны между собой, т.е.
.
Чтобы определить направление вектора ускорения Кориолиса по правилу Жуковского необходимо:
перенести в точку М вектор угловой скорости переносного вращательного движения;
спроецировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную вектору;
повернуть проекцию нав сторону вращения (рис. 110).
Если переносное движение поступательное, то ,, поэтому абсолютное ускорение будет равно геометрической сумме относительного и переносного ускорений (рис. 111):
. (2.46)
При решении задач на сложное движение точки рекомендуется придерживаться следующего порядка:
Выяснить, какое движение точки является абсолютным, какое относительным и какое переносным.
Используя закон относительного движения, определить положение точки в заданный момент времени.
Вычислить относительную и переносную скорости точки, показать векторы переносной и относительной скорости. Вычислить абсолютную скорость точки по правилу параллелограмма или по проекциям на координатные оси.
Вычислить составляющие относительного и переносного ускорения и показать на схеме их векторы.
В случае переносного вращательного движения определить модуль и направление ускорения Кориолиса.
Вычислить модуль абсолютного ускорения точки по проекциям на координатные оси.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙ.
Пример №20.
Электромотор (рис. 112), установленный на горизонтальном фундаменте без креплений, движется поступательно и прямолинейно по закону:
.
Ротор мотора вращается вокруг оси согласно уравнению. Определить абсолютную скорость точки ротора, отстоящей от оси вращения ротора на расстояниив момент времени. Положение точки М определяется углом.
Р
1. Точка совершает абсолютное движение относительно неподвижной системы отсчета. Подвижная система отсчетажестко связана с электромотором. Абсолютное движение точки состоит из относительного движения по окружности радиусаR со скоростью и переносного прямолинейного движения вдоль горизонтального фундамента со скоростью.
2. Положение точки в заданный момент времени определено углом .
3. Относительную и переносную скорость точки найдем, используя заданные законы относительного и переносного движения. В относительном движении скорость точки М зависит от угловой скорости вращения ротора и расстояния точки до оси вращения: ,
где ;
.
Следовательно, в заданный момент времени:
.
Переносную скорость точки найдем, дифференцируя по времени уравнение движения электромотора:
;
при t1=1c .
Абсолютную скорость точки М можно найти по правилу параллелограмма:
.
Учитывая, что .
Абсолютную скорость точки можно найти по проекциям на координатные оси.
; ;.
Пример №21.
Стержень кулисного механизма (рис. 113) движется со скоростью. Для заданного положения механизма определить угловую скорость кулисы, если расстояние.
Решение:
Точка участвует в относительном движении вдоль кулисысо скоростьюи в переносном движении со стержнемсо скоростью. В абсолютном движении точкадвижется по окружности радиусасо скоростью. Зная переносную скорость, можно найти абсолютную скорость движения точки:
.
Учитывая, что , где- угловая скорость кривошипа,.
ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЯЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПЕРЕНОСНОГО ПОСТУПАТЕЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ.
Пример №22.
Колеса тепловоза одинакового радиуса катятся без скольжения по прямолинейному участку пути. Спарник соединяющий кривошипы и ,движется поступательно. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки спарника тот момент, когда угол поворота кривошипов и ,равен и (рис.114), а тепловоз движется с постоянной скоростью .
Решение:
1. Спарник ,на котором находится точка ,движется поступательно, следовательно, все точки спарника движутся по одинаковым траекториям - окружностям радиуса иимеют равные скорости и ускорения.
где - угловая скорость колеса.
Угловую скорость колеса определим, принимая во внимание, что колесо совершает плоскопараллельное движение, центр колеса движется со скоростью , а мгновенный центр скоростей колеса находится в точке:
.
Тогда
.
Абсолютную скорость точки найдем по проекциям на координатные оси:
;
;
где ;
;
.
2. Так как переносное движение является поступательным, абсолютное ускорение точки определим по формуле:
, (2)
где ,.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КОРИОЛИСА.
Пример №23.
Диск радиуса , закрепленный шарнирно в точке(рис.115), вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью. По ободу диска движется точкасогласно закону относительного движения, (- в сантиметрах,- в секундах). Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точкив момент времени.
Решение:
1. Сложное движение точкискладывается из относительного движения по ободу диска по законуи переносного вращательного движения с диском относительно оси.
2. Положение точки в заданный момент времени определяется дуговой координатой :.
.
Дуге соответствует центральный угол:
.
По условию задачи задано положительное направление отсчета относительной координаты . Так как дуговая координатаи соответствующий ей угол получены с отрицательными знаками, откладываем уголв отрицательном направлении.
3. Выразим абсолютную скорость точки:
, (1)
где ,
.
Так как -равносторонний,.
В заданный момент времени:
,
.
Вектор относительной скорости направлен в соответствии с полученным знаком. Значение абсолютной скорости точкиопределим по проекциям на координатные оси:
;
;
.
4. Абсолютное ускорение точки определим по теореме Кориолиса:
. (2)
Так как в переносном и относительном движении точка движется неравномерно по криволинейным траекториям, уравнение (2) примет вид:
(3)
Вычислим слагаемые абсолютного ускорения:
,
.
Совпадение знаков относительной скорости и касательной составляющей относительного ускорения показывает, что относительное движение точки является ускоренным.
,
.
Так как диск вращается с постоянной угловой скоростью, то .
Ускорение Кориолиса:
.
Модуль абсолютного ускорения определим, проецируя векторное равенство (3) на координатные оси:
;
;
.
Пример №24.
Рабочее колесо компрессора с прямолинейными каналами (рис.116) равномерно вращается с угловой скоростью вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Воздух течет по каналам с постоянной относительной скоростью. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение для частицы воздуха, находящейся в точкеканала, наклоненного под углом, если.
Решение:
1. Определим абсолютную скорость точки по теореме о сложении скоростей:
, (1)
где - относительная скорость движения частицы воздуха по каналу;
- переносная скорость, т.е. скорость точкиканала, в которой в данный момент времени находится частица воздуха.
.
Модуль абсолютной скорости определим, проецируя векторное равенство (1) на координатные оси:
,
,
.
2. Определим абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса:
(2)
Относительное ускорение , так как по условию задачи частица воздуха движется по каналус постоянной скоростью:
.
Ускорение Кориолиса:
.
Спроецируем векторное равенство (2) на координатные оси:
,
,
.
Пример №25.
Кулисный механизм состоит из двух параллельных валов и, кривошипаи кулисы(рис.117). Кривошипвращается равномерно вокруг осис постоянной угловой скоростью. Каменьперемещается вдоль прорези кулисы. Найти угловую скорость и угловое ускорение кулисы в момент времени, когда угол поворота кривошипа, если расстояние между осями валов.
Решение:
1. Абсолютным движение точки является вращение вместе с кривошипомвокруг осис угловой скоростью:
.
Вектор абсолютной скорости можно разложить на две составляющие: вектор относительной скорости точкивдоль прорези кулисы и векторпереносной скорости вращения кулисывокруг оси, тогда:
,.
Так как равнобедренный,, т.е.
,
.
Так как переносным движением для точки является вращение кулисы вокруг оси, а величина переносной скоростиопределена, можно найти угловую скорость кулисы:
.
2. Определим абсолютное ускорение точки:
.
Выразим абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса:
, (1)
где ,
; (2)
- угловое ускорение кулисы.
Вычислим ускорение Кориолиса:
.
Для нахождения углового ускорения кулисы спроецируем векторное равенство (1) на ось:
;
.
Учитывая соотношение (2), найдем угловой ускорение кулисы:
.
т.е кулиса вращается с постоянной угловой скоростью.
Пример №26.
По радиусу диска (рис.118), вращающегося вокруг вертикальной оси с угловой скоростьюв направлении от центра диска к ободу по закону, движется точка. Радиуссоставляет с осью вращения угол. Определить величину абсолютного ускорения точки в момент.
Решение:
1. Абсолютное ускорение точки можно определить по теореме Кориолиса:
(1)
Зная закон относительного движения, можно найти относительное ускорение точки:
;
.
В переносном движении точка движется по окружности радиуса, поэтому:
;
;
.
Ускорение Кориолиса:
.
Направление вектора ускорения Кориолиса определим по правилу Жуковского: перенесем в точку векторугловой скорости переносного вращательного движения, спроецируем векторна горизонтальную плоскость, перпендикулярную вектору, и повернем проекцию нав сторону вращения, т.е. векторнаправлен в сторону, противоположную положительному направлению оси.
Для заданного момента времени :
;
;
.
Вычислим абсолютное ускорение точки по проекциям на координатные оси:
;
;
;
;
.