- •Теоретическая механика
- •I. С т а т и к а т в е р д о г о т е л а
- •1.1 Предмет и задачи статики твердого тела.
- •1.2 Сила. Система сил.
- •1.3. Связи и реакции связи.
- •1.3.1. Гладкая опорная поверхность.
- •1.3.2. Гибкая нерастяжимая нить (трос,канат,цепь).
- •1.3.3. Невесомый стержень.
- •1.3.4. Шарнирное соединение.
- •1.3.8. Принцип освобождаемости от связей.
- •1.5 Устойчивость тел при опрокидывании.
- •1.6. Момент силы относительно оси.
- •1.7 Пара сил. Момент пары сил.
- •1.9. Вторая задача статики - определение условий равновесия твердого тела.
- •1.11. Плоская система параллельных сил.
- •1.12. Теорема вариньона о моменте равнодействующей.
- •1.13. Произвольная плоская система сил.
- •1.14. Равновесие при наличии трения.
- •1.15. Равновесие при наличии трения качения.
- •1.17. Равновесие составной конструкции под действием плоской системы сил.
- •1.18.Пространственная система сходящихся сил.
- •1.19. Равновесие произвольной пространственной системы сил.
- •1.20. Центр тяжести твердого тела.
- •2.1. Предмет и задачи кинематики.
- •2.3. Скорость точки.
- •2.5. Поступательное движение твердого тела.
- •2.6. Вращение тела вокруг неподвижной оси.
- •2.7. Механические передачи.
- •2.8. Плоскопараллельное движение твердого тела.
- •2.9. Сложное движение точки.
- •2.10. Вращение тела вокруг неподвижной точки.
- •2.11. Общий случай движения свободного
- •2.12. Сложное движение твердого тела.
2.8. Плоскопараллельное движение твердого тела.
Плоскопараллельным (или просто плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных какой-то неподвижной плоскости. Плоское движение совершают многие звенья механизмов и машин, катящееся колесо.
Частным случаем такого движения является вращение тела вокруг неподвижной оси. Все звенья кривошипно-ползунного механизма (рис.83), состоящего из кривошипа ,ползуна и шарнирно соединенного с ним шатуна , совершают плоское движение, так как все звенья движутся параллельно некоторой неподвижной плоскости (плоскости чертежа). Одновременно движение кривошипа является вращательным, движение ползуна - поступательным. Все точки колеса (рис. 84) движутся в плоскостях, параллельных неподвижной вертикальной плоскости. При движении по закруглению движение колеса не будет плоским.
Плоскопараллельное движение твердого тела является составным, оно складывается из поступательного движения вместе с какой-либо точкой, принятой за полюс, и вращения вокруг оси, проходящей через эту точку (рис.85). Поэтому плоское движение твердого тела описывается тремя уравнениями:
(2.31)
За полюс обычно принимают точку, скорость которой известна или ее легко можно вычислить. Например, движение колеса (рис.87) складывается из поступательного движения вместе с полюсом-центром колеса и вращения с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через полюс. Скорость любой точки тела, совершающего плоское движение, равна геометрической сумме скорости полоса и скорости точки в ее вращении вместе с телом вокруг оси, проходящей через полюс (рис.86):
, (2.32)
где ,
- угловая скорость звена.
Вектор скорости во вращательном движении направлен перпендикулярно к отрезку.
Скорость точки колеса (рис.87) складывается из скорости полюса-центра колеса и скорости во вращении точкивместе с колесом относительно оси .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТЕЛА
МЕТОДОМ ПОЛЮСА.
Пример №9.
Для заданного положения шарнирного четырехзвенника (рис.88) определить скорость точки и угловую скорость звена, если кривошип вращается с постоянной угловой скоростью ,,.
Решение:
1. Определим скорость точки , принадлежащей кривошипу:
.
2. Определим скорость точки , принимая за полюс точку:
, , (1)
где - угловая скорость звена.
Спроецируем векторное равенство (1) на оси и, направляя осьвдоль звена.
На ось :;
;
На ось :;
.
Проекции скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой.
(2.33)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТЕЛА ПО ТЕОРЕМЕ
О ПРОЕКЦИЯХ СКОРОСТЕЙ ДВУХ ТОЧЕК ТЕЛА.
Пример №10.
Стержень в точкешарнирно связан со стержнем, который в точкескользит по наклонной плоскости (рис.90). Определить скорость точкистержняв положении, когдаи скоростьстержняравна.
Решение:
1. Стержень совершает поступательное движение, следовательно, скорость точкиравна скорости.
2. Скорость точкинаправлена вдоль плоскости, наклоненной к горизонту под углом. Применим теорему о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки:
, откуда
При определении скоростей точек тела за полюс можно принять точку , скорость которой равна. Такую точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС). В этом случае скоростьлюбой точки тела будет равна:
(2.34)
где .
Следовательно, скорость любой точки тела пропорциональна расстоянию этой точки до МЦС (рис.91):
;
,
т.е. для всех точек тела соблюдается соотношение:
. (2.35)
При определении положения мгновенного центра скоростей (МЦС) возможны следующие случаи:
Положение МЦС заранее известно (рис.92).
Если колесообкатывается по неподвижному колесу, то МЦС - точка находится в точке касания этих колес.
Скорость точки , принадлежащей кривошипу:
.
Угловая скорость колеса :
.
Скорость точки пропорциональна расстоянию:
.
Вектор скорости точкинаправлен перепендикулярно отрезку.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТЕЛА С ПОМОЩЬЮ
МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ.
Пример №11.
Определить скорости точек и ступенчатого колеса, имеющего размеры,(рис.93), если скорость центра колеса.
Решение:
Мгновенный центр ступенчатого колеса находится в точке , где колесо касается неподвижной поверхности. Для скоростей точек колеса можно составить соотношение:
Угловая скорость колеса:
.
2. Если известны по направлению скорости двух точек тела и модуль скорости одной точки, то МЦС находится на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторам скоростей этих точек. Если для кривошипно-ползунного механизма (рис.94) задана угловая скорость ведущего звена, то скорость точки можно определить по формуле:
.
Вектор скорости точки направлен перпендикулярно звену . Ползун движется поступательно в горизонтальных направляющих, т.е. направление скорости точки известно. МЦС звена находится на пересечении перпендикуляров и , проведенных к векторам скоростей и .
Для определения скорости точки и угловой скорости шатуна можно составить соотношение:
.
Пример №12.
Конец стержня скользит со скоростью по наклонной плоскости. Другой конец шарнирно связан с роликом, который катится без скольжения (рис.95). Определить скорость центра ролика и угловую скорость ролика, если угол .
Решение:
Мгновенный центр скоростей ролика находится в точке , где ролик касается неподвижной поверхности. Векторы и скоростей точек и направлены перпендикулярно линии .
Скорость точки определим с помощью мгновенного центра скоростей звена , который находится в точке на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторам скоростей и . Скорости и пропорциональны расстояниям соответствующих точек до МЦС:
.
Так как - равносторонний,,
.
Скорости точек и ролика с его угловой скоростью связаны соотношением:
,
где - угловая скорость ролика;
;
.
3. Если скорости точек итела параллельны между собой, а линия не перпендикулярна вектору (рис.96), то мгновенный центр скоростей звена будет находиться в бесконечности. Так как, , угловая скорость звена будет равна нулю, что видно из соотношения:
.
Шатун при повороте ведущего звена насовершает мгновенно поступательно движение. Для такого движения скорости всех точек звена равны между собой:
, .
Пример №13.
Для заданного положения механизма (рис. 97) определить скорость ползуна , угловую скорость звена, если кривошипразмеромвращается с угловой скоростью=1с-1, , длина звена , .
Решение.
1. Определяем скорость точки , принадлежащей кривошипу:м/с. Векторскорости точки направлен перпендикулярно звену . Ползундвижется в горизонтальных направляющих. Векторыискоростей точекипараллельны между собой. Мгновенный центр скоростей звенанаходится в бесконечности, что следует из соотношения:
,
где ,,.
2.Следовательно, звено совершает мгновенное поступательное движение. Все точки звенадвижутся с одинаковыми по модулю и направлению скоростями, т.е.
м/с.
3. Ползун движется в вертикальных направляющих. Мгновенный центр скоростей звеналежит в точке. Для звенасоблюдаются следующие соотношения:
.
Так как - равнобедренный,, скорости точекиравны между собой:
;
угловая скорость звена :.
4. Если скорости точек итела параллельны между собой и при этом линияперпендикулярна вектору, то МЦС звена определяется геометрическим построением (рис. 98,а, б).
Численные значения скоростей точек идолжны быть известны. Положение МЦС определяются из соотношения:
Пример №14.
Дифференциальный ворот состоит из двух валов ис радиусамии, где.
На оба вала намотана одна нить, на которой находится подвижный блок радиусас подвешенным к нему грузом(рис. 99). Определить скорость груза, угловую скорость подвижного блока, если валам рукоятки сообщена угловая скорость.
Решение:
1. Принимая, что нить наматывается без проскальзывания, выразим скорости точек ичерез угловую скорость барабана и его размеры:
; .
Подвижный блок совершает плоскопараллельное движение. Скорости двух точек блока ипараллельны и направлены в противоположные стороны. Мгновенный центр скоростей блока – точку, найдем построением. Положение точкиопределим из соотношения:
.
Из свойства пропорции получим:
;
, откуда
.
Угловая скорость подвижного блока:
.
Скорость груза равна скорости центра блока, которая пропорциональна расстоянию точки до мгновенного центра скоростей блока:
;
.
.
Пример №15.
Для заданного положения механизма (рис. 100) определить скорости точек ,,, угловые скорости всех его звеньев, если,,,.
Решение:
Зная угловую скорость кривошипа , найдем скорость точки:
Для колеса мгновенный центр скоростей находится в точкекасания с неподвижным колесом 1. Угловая скорость колеса:
.
Скорость точки , принадлежащей колесу, пропорциональна расстоянию:
Найдем скорость точки , принадлежащей кривошипу:
Скорости точек иколеса 3 известны по модулю и направлению. Мгновенный центр скоростей колеса 3 находится в точке Р3. Положение точки Р3 найдем из соотношений
;
;
;
;
.
Пример №16.
Кривошип (рис. 101) вращается с угловой скоростью. Колесо, соединенное с кривошипом в точке, обкатывается по колесу, вращающемуся с угловой скоростью. Определить угловую скорость колесаи скорость точки, если,.
Решение:
1. Найдем скорость точки , принадлежащей кривошипу:.
2. Определим скорость точки , принадлежащей колесу 1, вращающемуся с угловой скоростью:.
3. Для колеса , совершающего плоское движение, известны скорости точеки. Мгновенный центр скоростей колеса-точкунайдем построением. Угловую скорость колесаопределим из соотношения:
.
Для определения положения мгновенного центра скоростей используем свойство пропорции:
;
.
Скорость точки пропорциональна расстояниюдо МЦС:;
.
Вектор скорости точкинаправлен перпендикулярно отрезкув сторону угловой скорости.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ТЕЛА ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ.
Ускорение любой точки тела при плоском движении равно геометрической сумме ускорения точки, принятой за полюс, и ускорение точки в ее вращении вместе с телом вокруг оси, проходящей через полюс (рис. 102),
. (2.36)
Вектор направлен под угломк отрезку АВ, где
. (2.37)
Так как значение угла неизвестно, предварительно векторраскладывают на нормальную и касательную составляющие:
, (2.38)
где ,. (2.39)
Вектор направлен всегда вдоль прямойк полюсу, векторнаправлен перпендикулярно отрезкув сторону вращения, если оно ускоренное (рис. 103,а) или против вращения, если оно замедленное (рис. 103, б).
Пример №17.
Для механизма, изображенного на рис. 104, определить ускорение ползуна и точки, если колесорадиусакатится с постоянной скоростью его центра, угол,.
Решение:
1. Колесо катится по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью его центра, т.е. .
Выразим ускорение точки , принимая за полюс точку, (1)
где ,;
и - соответственно угловая скорость и угловое ускорение колеса.
Так как центр колеса движется с постоянной скоростью, то ,. Следовательно,
.
Угловую скорость колеса найдем, принимая во внимание, что мгновенный центр колеса находится в точке касания его с неподвижной поверхностью. Тогда
;
.
2. Определим ускорение точки , принимая за полюс точку:
. (2) В векторном равенстве (2) для вектора ускорение точкиизвестно направление, так как ползундвижется в горизонтальных направляющих. Предполагаем, что векторнаправлен по горизонтали вправо. Вектор ускорения точки(полюса) известен по модулю и направлению. Определим нормальную составляющую ускорения звенаво вращательном движении вокруг полюса:,
где - угловая скорость звена.
Так как векторы скоростей иточекизвенапараллельны между собой (рис. 104), мгновенный центр скоростей звенанаходится в бесконечности, т.е. звеносовершает мгновенно поступательное движение. Следовательно,
, .
Выразим касательную составляющую ускорения:
.
Численное значение углового ускорения звена неизвестно. Векторнаправлен перпендикулярно составляющей.
В векторном равенстве (2) неизвестны численные значения ускорений ,.
Для их нахождения спроецируем (2) на две взаимно перпендикулярные оси координат и, направляя осьвдоль звена:
на ось :; (3)
на ось у: . (4)
Из уравнения (3) с учетом того, что , получим.
Из уравнения (4) определим составляющую :
Угловое ускорение звена :
.
3. Выразим ускорение точки , принимая за полюс точку.. (5)
Определим предварительно величину составляющих ,:
,
так как ;
Так как ускорение точки неизвестно ни по модулю, ни по направлению, определим его по проекциям на координатные оси. Для этого необходимо спроецировать векторное уравнение (5) на координатные оси.
;
;
.
Пример №18.
Колесо радиуса катится без скольжения по горизонтальной поверхности (рис. 105), имея в данный момент времени скорость центраVA=1м/с и ускорение аА=2м/с2. Определить скорость и ускорение точки В.
Решение:
1. Выразим ускорение точки, принимая за полюс точку:
. (1)
Так как направление вектора ускорения точки неизвестно, необходимо определить численные значения всех слагаемых правой части векторного уравнения (1).
Выразим касательную и нормальную составляющие ускорения :
; ,
где ,- соответственно угловая скорость и угловое ускорение колеса.
Угловую скорость колеса определим, зная скорость точки и положение мгновенного центра скоростей колеса – точки:.
Угловое ускорение колеса определим как производную по времени от угловой скорости колеса: ;
;
.
Спроецируем векторное равенство (1) на координатные оси х и у: ;
;
.
Пример №19.
Для плоского механизма, состоящего из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна , соединенных между собой и с опорамиО1 и О2 шарнирно, положение механизма определяется углами ,,,(рис. 106).
Ведущее звено – кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью. Определить скорость точки, угловую скорость и угловое ускорение звена, если размеры звеньев механизма,,,,.
Решение:
1. Определим скорость точки кривошипа:.
Для звена известны направления скоростейиточеки, принадлежащих одновременно вращающимся звеньями. Мгновенный центр скоростей звенанаходится на пересечении перпендикуляров, проведенных к векторами. для точек,,звеназапишем соотношения:
;
;
.
Так как - равносторонний,, следовательно,
;
;
.
Вектор скорости точкиD направлен перпендикулярно отрезку , являющемуся высотой.
2. Скорость ползуна и угловую скорость звена 3 определим с помощью мгновенного центра скоростей звена 3, который находится в точке Р3. Запишем соотношения для звена 3:
.
Из выразим;;
;
;
;
.
3. Так как кривошип О1А вращается с постоянной угловой скоростью, ускорение точки определим по формуле:.
Принимая точку за полюс, выразим ускорение точки:
. (1)
Так как точка принадлежит звену, вращающемуся вокруг оси, ускорение точкисостоит из нормальной и касательной составляющих:
. (2)
Ускорение звена АЕ во вращательном движении состоит из двух слагаемых:
. (3)
С учетом (2) и (3) векторное равенство (1) примет вид:
(4)
Выразим слагаемые векторного равенства (4):
;
;
;
.
В векторном равенстве (4) слагаемые иизвестны только по направлению. Для нахождения двух неизвестных величин спроецируем (4) на две координатные оси, направляя ось х вдоль звена, а ось у – перпендикулярно звену:
на ось х: , (5)
на ось у: , (6)
из (5)
.
Знак (-) показывает, что направление вектора противоположно показанному на чертеже.
Из (6):
Зная ускорение , найдем угловое ускорение звена 2:.