2.3. Скорость точки.

Скоростью точки называется векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в пространстве. При векторном способе задания движения скорость определяется первой производной радиуса-вектора по времени:

(2.10)

Вектор скорости можно выразить через его проекции на координатные оси.

(2.11)

При координатном способе задания движения точки модуль скорости определяется по проекциям вектора скорости на оси декартовых координат:

, (2.12)

где ,

,

. (2.13)

Направление вектора-скорости можно найти через направляющие косинусы углов, которые вектор скорости точки составляет с координатными осями:

, ,. (2.14)

При естественном способе задания движения точки вектор скорости определяется формулой:

, (2.15)

где - единичный вектор (орт) касательной, направленный в сторону возрастающих значений дуговой координаты (рис.60).

Алгебраическую величину скорости точи определяются по формуле:

, (2.16)

Если , точка движется в сторону возрастающих, а прив сторону убывающих значений дуговой координаты.

0. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ.

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая быстроту изменения во времени скорости движения.

При векторном способе задания движения точки вектор ускорения определяется первой производной по времени от вектора скорости или второй производной по времени от радиуса-вектора:

. (2.17)

Вектор ускорения точки можно выразить через проекции на оси декартовых координат:

, (2.18)

где ;

; (2.19)

.

Модуль ускорения точки определяется выражением:

. (2.20)

Направление вектора ускорения точки в пространстве можно определить через направляющие косинусы:

, ,. (2.21)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ ПО ЗАДАННОМУ ЗАКОНУ ДВИЖЕНИЯ.

Решение первой задачи кинематики рекомендуется осуществлять в такой последовательности:

а) выбрать систему координат;

б) записать уравнения движения в выбранной системе координат;

в) по уравнениям движения определить проекции скорости на оси координат, модуль и направление вектора скорости;

г) определить модуль и направление вектора ускорения по проекциям на координатные оси.

Пример №2. Координатный способ задания движения точки.

По заданным уравнениям движения точки ,(,- в метрах,- в секундах) определить для момента временискрость и ускорение, радиус кривизны траектории движения точки.

Решение:

1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения параметр :

, .

Следовательно, траекторией движения точки будет парабола (рис.61). В заданный момент времени точка имеет координаты:

, .

2. Скорость точки найдем по проекциям на координатные оси:

, ,

.

При

; ;

.

3. Аналогично найдем ускорение точки:

; ;.

4. Радиус кривизны траектории можно найти по формуле:

.

Ускорение точки можно выразить через проекции на естественные оси координат:

,

где ,- соответственно нормальная и касательная составляющие ускорения.

Так как величина ускорения для заданного момента времени уже определена, можно выразить нормальное ускорение:

.

Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство:

.

Получим

или

.

Для заданного момента времени:

;

;

.

При естественном способе задания движения точки ускорение точки определяется по проекциям на естественные оси координат. Пусть точка движется по криволинейной траектории (рис. 62).

Построим с началом в точке естественную систему координат: ка­сательную ,нормаль и бинормаль . Орт касательной направлен в сторону возрастания дуговой координаты (в положительном направлении). Нормаль перпендикулярна касательной. Орт нормали направлен к центру кривизны траектории, в сторону вогнутости траек­тории и определяет положительное направление второй естественной оси.

Бинормаль перпендикулярна нормали и касательной. Еди­ничный вектор бинормали направлен так, чтобы три вектора

, , образовали правую систему координат.

При движении точки по криволинейной траектории естественные оси изменяют свое положение в пространстве, т.е. орты ,, также изменяют свое направление в пространстве (явля­ются переменными). Вектор ускорения лежит в плоскости, проходя­щей через касательную и нормаль. Дифференцируя (2.15) по време­ни, выразим вектор ускорения через проекции на естественные оси:

(2.22)

где

- касательное или тангенциальное ускорение, проекция век­тора ускорения на касательную, характеризует изменение скорости по величине, может иметь положительное или отрицательное значение (рис. 63):

. (2.23)

Нормальное ускорение является проекцией вектора ускорения на нормаль, характеризует изменение скорости по направлению. Величина нормального ускорения всегда положительна (рис. 63) и определяется формулой:

, (2.24)

где - радиус кривизны траектории.

Модуль ускорения можно определить по проекциям на естественные оси координат.

. (2.25)

Пример №3. Естественный способ задания движения точки.

Точка движется по криволинейной траектории согласно закону (- в метрах,- в секундах).

Определить скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории в момент времени от начала движения, если в этот момент угол между векторами ускоренияи скоростиравен(рис.64).

Решение:

Обозначим угол между векторамии.

;

.

При ,,.

Следовательно, выражение позволяет установить соотношение между полным и касательным ускорением точки.

Полное ускорение точки:

.

Учитывая, что , найдем нормальное ускорение точки в заданный момент времени:

Радиус кривизны траектории определим по формуле:

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ

В ВЫБРАННОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ.

Решение задачи необходимо проводить в такой последовательности:

1. выбрать систему координат, исходя из условия задачи;

2. составить проекции ускорения на оси координат;

3. проинтегрировать полученные зависимости и найти уравнения, определяющие изменения координат точки как функции времени;

4. определить постоянные интегрирования по начальным условиям.

Пример №4.

Ускорение равно и направлено по осив отрицательном направлении. Прискорость точки равнаи была направлена по осив положительном направлении. Приточка находилась на осина расстоянииот своего начального положения (рис. 65). Определить уравнение движения точки.

Решение:

Точка движется прямолинейно вдоль оси , следовательно, проекция ускорения на осьравна:

. (1)

Представим уравнение (1) в виде:

или (2)

После интегрирования (2) получим:

. (3)

Зная скорость точки при , можно найти произвольную постоянную:

;

.

Тогда получим выражение для вычисления скорости в любой момент времени:

. (4)

Учитывая, что и разделяя переменные, получим:

(5)

Интегрируя (5), получим:

. (6)

Постоянную интегрирования найдем из условия, что при,:

;

.

В окончательном виде уравнение движения имеет вид:

.