7. Дифференциальные уравнения движения механической системы.

Механической системой называется совокупность материальных точек или тел, положение и движение которых зависят от положения и движения всех остальных точек.

Механическая система может быть образована из свободных точек, движение которых не ограничено какими-либо геометрическими связями. Примером механической системы из точек с геометрическими связями служит любой механизм.

силы, действующие на точки несвободной механической системы, можно подразделить на активные силы и реакции связей. с другой стороны, действующие на точки системы силы можно подразделить на внешниеи на внутренние. Внутренними силами взаимодействуют между собой точки данной системы. Внешними силами действуют на точки системы точки или тела, не входящие в данную систему. Главный вектори главный моментвсех внутренних сил системы относительно любого центра равны нулю:

; (7.1) . (7.2)

Для n точек механической системы можно записать n дифференциальных уравнений движения в векторной форме типа (7.3) или 3n дифференциальных уравнения движения в проекциях на координатные оси вида: ;

;

. (7.4)

Чтобы найти уравнение движения механической системы под действием заданных сил, необходимо проинтегрировать при известных начальных условиях систему дифференциальных уравнений второго порядка, что сопряжено с большими трудностями.

Дифференциальные уравнения движения механической системы можно использовать для вывода общих теорем динамики, с помощью которых можно решать задачи о движении материальной точки или механической системы, установить зависимость между основными динамическими характеристиками механического движения материальных тел.

8. Теорема о движении центра масс.

Центром масс или центром инерции системы является геометрическая точка, положение которой определяется в каждый момент времени:

, ,, (8.1) где М – масса системы, равная сумме масс всех точек системы;

m_k-- масса произвольной точки M_k;

x_k, y_k, z_k – координаты произвольной точки M_k системы.

В однородном поле земного тяготения центр масс совпадает с центром тяжести.

Центр масс существует для любой механической системы независимо от действующих сил.

Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложен все внешние силы, действующие на систему (теорема о движении центра масс).

, (8.2) где М—масса системы;

a_c—ускорение центра масс;

-- главный вектор всех внешних сил системы.

Теорема о движении центра масс имеет два следствия, которые определяют закон сохранения движения центра масс.

Рисунок 18

1. Если главный вектор всех внешних сил, действующих на систему, равен нулю, то центр масс системы будет находиться в покое или двигаться равномерно и прямолинейно.

В автомобиле (рис. 18) действие газов на поршень двигателя является внутренней силой. Внешние силы – это сила тяжести автомобиля , нормальна реакция дороги, сила трениямежду колесами автомобиля и дороги. При отсутствии сцепления колес с дорогой (=0) действие внутренних сил не может изменить закона движения центра масс. Если,, то поэтому. При начальной скорости центра масс, центр масс будет оставаться в покое.

2. Если сумма проекций всех внешних сил, действующих на систему, на какую-либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на данную ось будет оставаться постоянной. Если , то, поэтому. Если в начальный момент времени, то учитывая, что, координата центра масс остается постоянной (x_c=const). Для человека, стоящего на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности (рис. 19), внешними силами является его вес и нормальная реакция. Сила трения на гладкой поверхности отсутствует, т.е.,x_c=const.На гладкой поверхности человек может подпрыгнуть в вертикальном направлении, так как в проекции на ось у теорема о движении масс

поэтому>0, т.е. центр масс может переместиться по вертикали. Перемещение по горизонтали будет возможно при действии силы трения скольжения (рис. 19,б). Применяя теорему о движении центра масс, можно решать прямую и обратную задачи динамики поступательного движения в следующей последовательности:

имеет вид . При отталкивании от земли за счет деформации мышцR>P,

1. выбрать систему координат;

2. изобразить все внешние силы;

3. записать теорему о движении центра масс в проекции на ось координат;

4. определить искомые величины в соответствии с условиями задачи.

ПРИМЕР 10.

Определить действие фундамента кривошипного пресса при холостом ходе, если кривошип ОА=r вращается с постоянной угловой скоростью , длина кривошипа АВ=, вес фундамента и корпусаG₁, вес кривошипа G₂, вес штампа В G₃. В начальный момент кривошип занимал вертикальное нижнее положение (рис. 20).

РЕШЕНИЕ.

1. На пресс действуют внешние силы: сила тяжести корпуса с фундаментом , кривошипа, штампаи нормальная реакция грунта.

2. Запишем теорему о движении центра масс системы в проекции на ось у: , (1) где. (2)

3. Выразим ординату у_с центра масс , (3) гдеG=G₁+G₂+G₃.

Угол поворота кривошипа .

y₁=OC₁=const;

y₂=OC₂cos=0,5rcos;

y₃=OAcos+ABcos+BC₃=2cos+cos+BC₃; где ВС₃=const.

Из ОАВ:;;.

Если разложить в ряд, отбросив члены ряда, содержащиев степени выше второй, получим~; тогда;. (4)

Продифференцируем (4) дважды по времени и подставим в (1) ; (5)

; отсюда находим нормальную реакцию грунта, а следовательно, величину давления на фундамент в зависимости от угла поворота кривошипа .

ПРИМЕР 11.

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m₁=18кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m₂=6кг. В момент времени t₀=0, когда плита двигалась со скоростью u₀=2м/с, груз начал двигаться вдоль желоба в соответствии с уравнением S=AD=0,4sin(t²) (S—в метрах, t—в секундах (рис. 21)). Определить скорость плиты в момент времени t₁=1с.

РЕШЕНИЕ.

1. Внешними силами, действующими на систему, являются вес пластины , вес грузаи нормальная реакция поверхности.

2. Применим теорему о движении центра масс в проекции на ось х: . (1) Так как,, то. (2)

3. Выразим произведение , где х₁, х₂ – абсциссы плиты и груза. . Тогда. (3) Продифференцируем (3) по времени, (4) где-- искомая скорость плиты.

При t=0 u₁=u₀; .

Следовательно, С₁=(m₁+m₂)u₀. (5) С учетом (2), (4) и (5) получим , откуда находим скорость плиты.

При t₁=1c м/с.