- •Теоретическая механика
- •Часть 2 динамика
- •Предисловие
- •Введение
- •Динамика
- •1. Предмет и основные задачи динамики.
- •2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •Решение первой задачи динамики.
- •4. Решение второй задачи динамики.
- •5. Прямолинейые колебания точки.
- •Колебания груза, подвешенного на пружине.
- •6. Относитеельное движение точки.
- •7. Дифференциальные уравнения движения механической системы.
- •8. Теорема о движении центра масс.
- •9. Теорема об изменении количества движения.
- •10. Теорема об изменении момента количества движения.
- •11. Работа и мощность силы.
- •12. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
- •13. Теорема об изменении киннетической энергии системы.
- •14. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •15. Принцип даламбера для материальной точки.
- •16. Принцип даламбера для механическойй системы. Главный вектор и главный момент сил инерции.
- •17. Принцип возможных перемещений.
- •18. Общее уравнение динамаики.
- •19. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнение лагранжа 2-го рода).
- •20. Собственные колебания механической системы.
20. Собственные колебания механической системы.
С помощью уравнений Лагранжа можно исследовать колебания механической системы. Для систем с одной степенью свободы уравнение Лагранжа имеет вид:
, (20.1) где Q—обобщенная сила, равная . (20.2) Кинетическую и потенциальную энергию системы необходимо выразить обобщенные координаты и скорости
; , (20.3) где-- приведенный коэффициент инерции;
с—приведенный коэффициент жесткости.
Для линейной обобщенной координаты коэффициент инерции имеет размерность массы. С учетом (20.2) и (20.3) получим дифференциальное уравнение малых собственных колебаний системы с одной степенью свободы
, (20.4) где . (20.5) Постоянные интегрирования С1и С2 определим из начальных условий (см. п. 5). Амплитуда колебаний зависит от начальных условий
, (20.6) где k—циклическая частота.
. (20.7) Период колебаний . (20.8)
ПРИМЕР 30.
Механизм, расположенный в вертикальной плоскости (рис. 67) состоит из ступенчатых колес 1 и 2 с радиусами R1=0,4м, r1=0,2м, R2=0,5м, r2=0,3м, имеющими неподвижные оси вращения, однородного стержня 3 длиной =1,2м, закрепленного шарниром на одном из концов, груза 4, подвешенного к нити, намотанной на внешний обод колеса 2. На стержне расстояние АВ=(рис. 67). Стержень 3 соединен с колесом 1 невесомым стержнем 5. Колеса 1 и 2 соединены между собой невесомым стержнем 6. К стержню 3 в точке В прикреплена пружина жесткостью с=1000Н/см. Определить частоту и период малых колебаний системы около положения равновесия и статическую деформацию пружины, если известны массы телm1=16кг, m3=8кг, m4=3кг.
РЕШЕНИЕ.
. (1)
Рис. 67
2. Определим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, имеющих массу
Т=Т1+Т3+Т4. (2)
Скорость вех тел, входящих в систему, выразим через обобщенную скорость . Стержень 3 вращается вокруг горизонтальной оси А с угловой скоростью..
Колесо 1 связано со стержнем 3 невесомым стержнем 5, тогда или, откуда;
. Груз 4 совершает поступательное движение, поэтому
;
;
;
. (3) Вычислим производные:
; ;. (4)
3. Дадим системе возможное ускорение, при котором угол получит положительное приращение. Вычислим сумму элементарных работ всех действующих активных сил на соответствующих перемещениях.
Покажем активные силы, действующие на систему: ,,. Работа силиравна моментам этих сил относительно точки О1, работу силы вычисляем на перемещении:
. Сила упругости . Удлинение пружины равно, где-- удлинение пружины в начальном положении, соответствующем статическому равновесию;- деформация пружины вследствие поворота стержня 3 на угол..
Так как угол мал, можно принять,.
. (6) Вычислим обобщенную силу
Рисунок
66
см.
Подставляя значение в (7), находим обобщенную силу
.
После подстановки численных значений получим
. (8)
4. Составляем уравнение Лагранжа
или (9) Уравнение (9) является дифференциальным уравнением собственных колебаний. Введем обозначение, гдеk—циклическая частота.
Период колебаний .
ЛИТЕРАТУРА
Законы, формулы, задачи физики. Справочник / Гофман Ю.В. - К.: Внукова думка, 1977. - 576 с.
Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ во теоретической механике. - М.: Высшая школа, 1985. - 367 с,
Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики.- М.: Высшая школа, 1983. - 575 с.
Тарг СМ. Краткий курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1986. -416 с.
5. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1990. - 607 с.
6. Файн Н.М. Сборник задач по теоретической механике. - М.: Высшая школа, 1987. - 256 с.
7. Осадчий В.А., Файн А.Н. Руководство и решению задач по теоретической механике. -М.: Высшая школа, 1972. - 256 с.
8. Мовнин B.C., Израелит А.Б. Техническая механика. - Л.: Судостроение, 1971. - 344 с.
9. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т.1,2. - М., 1985,
10. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. - М., 1986. - 480 с.
Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К.С.Колесникова. -М.: Наука, 1989. - 448 с.
Бать М.И.,Джанелидзе Н.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах в задачах. Ч.2. - М., 1984. - 624 с.
Теоретическая механика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников машиностроительных, строительных, транспортных, приборостроительных специальностей высших учебных заведений /Л.И.Котова, Р.И.Надеева, С.М.Тарг и др. - М.: Высшая школа, 1989, - 111 с.
Гернет М.М. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1981. - 304 с.
Попов М.В. Теоретическая механика. - М.: Наука, I986. - 336с.
Зубов В.Г. Механика. - М.: Наука, 1976. - 352 с.
Стрелков С.П. Механика. - М.: Наука, 1975. - 560 с.
Старжинский В.М. Теоретическая механика. –М.: Наука, 1980. -464с.
Турбин Б.И. , Рустамов С.И. Сборник задач по теоретической механике. -К.: Высшая школа, 1988. - 232с.