14. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.

Из общих теорем динамики можно получить дифференциальные уравнения движения твердого тела. При поступательном движении твердого тела все его точки движутся так же, как и центр масс. Поэтому дифференциальные уравнения поступательного движения получим из теоремы о движении центра масс: ;;, (14.1) где М—масса тела;

x_c, y_c, z_c, -- координаты центра масс тела;

, ,-- проекция главного вектора внешних сил на оси координат. Используя дифференциальные уравнения (14.1), можно решать две задачи динамики поступательного движения твердого тела:

1. по заданным уравнениям движения тела определять главный вектор внешних сил, приложенных к твердому телу;

2. по заданным внешним силам, действующим на тело, и известным начальным условиям определять закон движения тела, если оно движется поступательно;

Таким образом, изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения одной его точки – центра масс тела.

Из теоремы об изменении кинетического момента системы относительно оси (10.15) с учетом (10.6) можно получить дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела или. (14.2) Уравнение (14.2) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела, с помощью которого можно решать следующие задачи:

1. по заданному уравнению вращения тела и известному моменту инерцииопределять главный момент внешних сил, действующих на тело:;

2. по заданным внешним силам, приложенным к телу, и известным начальным условиям вращения ии моменту инерциинаходить уравнение вращения тела;

3. по заданному закону вращательного движения тела и известному моменту внешних силопределять момент инерции телаотносительно оси вращения.

Если к твердому телу приложен постоянно действующий момент внешних сил, то угловое ускорение тела также будет постоянным, т.е. может вращаться равноускоренно или равнозамедленно. Решение задачи целесообразно проводить в следующем порядке:

1. изобразить тело, вращение которого рассматривается;

2. приложить все активные силы и моменты, действующие на тело;

3. освободить тело от связей, заменив их реакциями;

4. составить уравнение вращательного движения;

5. решить полученное уравнение в соответствии с условием задачи.

ПРИМЕР 19.

Рисунок 46

К ведущему валу ременной передачи (рис. 46) приложен вращающий момент М_вр=200н/м. Натяжение ведущей и ведомой ветви ремня соответственно равны: Т₁=1500Н, Т₂=750Н. Определить момент трения в опорах ведущего вала, если вал вращается в соответствии с уравнением , радиус шкиваR=0,25м, масса вала со шкивом m=5кг и радиус инерции =0,15м.

РЕШЕНИЕ.

1. На вал действует сила тяжести , вращающий момент М_вр, момент трения в опорах М_тр, реакции опор ,,,, натяжение ведущейи ведомойветвей ремня.

2. Составим дифференциальное уравнение вращательного движения вала . (1) Момент инерциикгм². Момент внешних сил относительно оси вращения . (2) Зная закон вращательного движения, определим угловое ускорение вала. (3) Выразим момент трения в опорах из уравнения (2) с учетом (1) и (3):

Нм.

Так как плоское движение твердого тела состоит из поступательного движения с центром масс и вращения вокруг оси, проходящей через центр масс, то дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела имеют вид: ;;. (14.3) Первые два уравнения описывают поступательную часть движения тела вместе с центром масс. Третье уравнение выражает закон вращения тела вокруг оси, проходящей через центр масс. При решении задач динамики плоского движения твердого тела необходимо:

1. изобразить все внешние силы, приложенные к телу;

2. выбрать систему координат и определить положительное направление отсчета угла поворота ;

3. составить дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела;

4. решить систему уравнений в соответствии с условием задачи.

ПРИМЕР 20.

Барабан радиуса R весом представляет собой ступенчатый цилиндр с радиусомr=0,6R (рис. 47). К концу намотанной на барабан нити приложена постоянная сила , направление которой задано углом. Кроме силык барабану приложена пара сил с моментом М=0,3РR. Барабан приводит в движение из состояния покоя и катится без скольжения по шероховатой горизонтальной поверхности. Пренебрегая сопротивлением качения, определить закон движения центра масс С барабана , т.е. и наименьшее значение коэффициента

трения f о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.

РЕШЕНИЕ.

1. Барабан совершает плоскопараллельное движение под действием заданных сил: ,и момента М. Полная реакция шероховатой поверхности состоит из нормального давленияи силы трения, направленной вдоль горизонтальной шероховатой поверхности. Так как направление движения барабана под действием приложенных сил заранее не известно, направление силы трения показываем произвольно.

2

;

; (1)

.

. Составим дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения барабана:

или ; (2)

; (3)

. (4)

3. Определение уравнение движения центра масс барабана. Так как ,, то уравнение (2), (3) и (4) содержат 4 неизвестных величины:N, F_тр, ,. Так как центр масс барабана движется по прямолинейной траектории,. Мгновенный центр скоростей барабана находится в точке В:;; следовательно,. (5) Момент инерции однородного цилиндра. Подставив (5) в (4), и разделив наR, получим ;

. (6) Сложив равенства (2) и (6), получим (7) или. (8) Дважды проинтегрируем уравнение (8):; (9)

. (10) Постоянные интегрирования С₁ и С₂ определим из начальных условий:

при t=0; V_C0=0; C₁=0;

x_C0=0; C₂=0 . Окончательное уравнение движения центра масс барабана имеет вид: х_с=-0,266gt². (11) Знак «-» показывает, что движение барабана происходит в направлении противоположном положительному направлению оси х.

4. Определение f_min.

При качении без скольжения сила трения удовлетворяет неравенству: . (12) Величину нормального давления N определим из уравнения (3):;. Значение силы тренияF_тр определим из уравнения (6), подставив в него значение :. Подставляя полученное значение силы трения в неравенство (12), получим, откуда. Следовательно, наименьшее значение коэффициента трения, при котором возможно качение барабана без скольженияf_min=0,38.