- •Теоретическая механика
- •Часть 2 динамика
- •Предисловие
- •Введение
- •Динамика
- •1. Предмет и основные задачи динамики.
- •2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •Решение первой задачи динамики.
- •4. Решение второй задачи динамики.
- •5. Прямолинейые колебания точки.
- •Колебания груза, подвешенного на пружине.
- •6. Относитеельное движение точки.
- •7. Дифференциальные уравнения движения механической системы.
- •8. Теорема о движении центра масс.
- •9. Теорема об изменении количества движения.
- •10. Теорема об изменении момента количества движения.
- •11. Работа и мощность силы.
- •12. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
- •13. Теорема об изменении киннетической энергии системы.
- •14. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •15. Принцип даламбера для материальной точки.
- •16. Принцип даламбера для механическойй системы. Главный вектор и главный момент сил инерции.
- •17. Принцип возможных перемещений.
- •18. Общее уравнение динамаики.
- •19. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнение лагранжа 2-го рода).
- •20. Собственные колебания механической системы.
4. Решение второй задачи динамики.
Для нахождения закона движения точки по заданным силам необходимо дважды проинтегрировать дифференциальные уравнения движения точки, составленные в проекциях на соответствующие координатные оси. Постоянные интегрирования определяются по начальным условиям. В случае прямолинейного движения составляется одно дифференциальное уравнение движения в проекции на ось, совпадающую с направлением движения точки:
, (4.1)
где -- сумма проекций всех сил, приложенных к точке, на координатную ось.
Уравнение (4.1) можно представить в виде
(4.2)
и проинтегрировать дважды.
В решение уравнения входят две произвольные постоянные, которые находятся из начальных условий:
t=0, Vx=V0, x=x0.
За начальный момент времени принимается момент начала движения точки под действием заданных сил, для которого известны положение точки и ее скорость.
Введение начальной скорости учитывает влияние на ее движение сил, действующих на материальную точку до того времени, который принят за начальный момент времени. Например, скорость электровоза в момент начала торможения, принимается за начальный момент, учитывает результат действия на него силы тяги и силы трения о поверхность рельсов до момента выключения реостата.
при решении второй задачи динамики применительно к материальной точке необходимо придерживаться следующей последовательности:
1. изобразить точку в текущий момент времени;
2. показать активные силы, действующие на точку;
3. освободить точку от связей, заменяя их действие соответствующими реакциями;
4. выбрать систему координат; начало координат следует поместить в начальном положении точки, и оси координат направить так, чтобы координаты точки и проекции ее скорости на эти оси в текущий момент времени были положительными, если точка движется прямолинейно, то координатную ось следует направить вдоль траектории движения; если точка движется по криволинейной траектории, то целесообразно использовать естественную систему координат, совместив начало координат с текущим положением точки и направив касательную к траектории так, чтобы для текущего положения точки естественная координата и проекция скорости точки на касательную были положительными;
5. найти сумму проекций всех сил, действующих на точку, на выбранные оси координат;
6. составить дифференциальные уравнения движения точки;
7. проинтегрировать дифференциальные уравнения соответствующим методом, зависящим от вида полученных уравнений;
8. установить начальные условия движения материальной точки;
9. определить произвольные постоянные интегрирования;
10. подставить произвольные постоянные в результат интегрирования, выразив затем уравнение движения точки.
Произвольные постоянные интегрирования можно определять по мере их появления. В некоторых случаях при интегрировании дифференциальных уравнений удобно пользоваться определенными интегралами.
Рассмотрим решение второй (основной) задачи динамики для случаев прямолинейного движения точки под действием следующих сил:
а. сила постоянна по модулю;
б. сила зависит от времени;
в. сила зависит от положения точки;
г. сила зависит от скорости.
ПРИМЕР 3.
Груженый самосвал начинает спускаться с горы с выключенным двигателем (рис. 4), имея начальную скорость V0=10м/с. Найти, за какое время автомобиль закончит спуск, если длина участка l=1000м, коэффициент трения f=0,2, =.
РЕШЕНИЕ.
1. Принимаем автомобиль за материальную точку и изображаем ее в текущий момент времени.
2. Изображаем силы, действующие
на точку:
-- вес автомобиля с грузом.
Реакцию шероховатой опорной
поверхности раскладываем на две
составляющие:
-- нормальное давление;
-- сила трения скольжения;
Fтр=fN, N=Pcos, Fтр=fPcos.
3. выбираем систему координат, как показано на рис. 4.
4. Так как автомобиль движется по прямолинейному участку пути, составляем одно дифференциальное уравнение движения в проекциях на ось x:
(1)
или . (2)
После сокращения m и разделения переменных получим
dVx=g(sin-fgcos)dt.(3)
Интегрируя дважды полученное уравнение, получаем:
Vx=g(sin-fgcos) t C1 ; (4)
x=g(sin-fgcos)+C1t+C2. (5)
5. Начальные условия движения:
при t=0, V0=10м/с, х0=0.
6. Определяем произвольные постоянные С1 и С2, подставляя начальные условия в уравнения (4) и (5):
из уравнения (4): V0=C1;
из уравнения (5): С2=0.
7. Следовательно, закон движения автомобиля на наклонном участке пути имеет вид
x=g(sin-fgcos)+V0t. (6)
Зная пройденный автомобилем путь, равный l , находим время движения t1:
при t=t1 x=l;
1000=9,81(sin-)+10t1
или 0,16. (7)
Решая квадратное уравнение (7), получаем:
;
t1=75,9 с.
ПРИМЕР 4.
Машинист тепловоза начинает тормозить на прямолинейном участке пути (рис. 5), когда тепловоз имеет скорость V0. Сколько времени будет двигаться тепловоз до полной остановки и какой пройдет путь, если сила торможения пропорциональна времени (a—постоянный коэффициент).
РЕШЕНИЕ.
1. Так как тепловоз движется поступательно, можно рассматривать движение одной его точки, считая, что к ней приложены все заданные силы: сила тяжести, нормальная реакция рельсови сила торможения.
2. За начало отсчета принимаем момент начала торможения, когда скорость тепловоза V=V0.
3. Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось x:
(1)
или . (2)
Разделим уравнение (2) на m и, разделив переменные, дважды проинтегрируем
; (3)
. (4)
3. Определим постоянные интегрирования по начальным условиям при t=0, Vx=V0, x0=0 ;
из уравнения (1) получим C1=V0;
из уравнения (2): С2=0.
4. Следовательно, закон движения тепловоза на участке торможения имеет вид
. (5)
5. Время торможения найдем из уравнения (3) при условии, что в конце участка торможения скорость тепловоза равна 0.
, откуда .
Длину участка торможения найдем из уравнения (5)
.
ПРИМЕР 5.
Глубину реки измеряют грузом, опускаемым в воду до дна реки. При скорости груза V0 трос оборвался, и груз достиг дна через t секунд после момента обрыва троса.
Определить пройденный грузом путь Н, если при движении груз испытывает сопротивление Rx=-kmV, где m—масса груза, k—постоянный коэффициент. Силой выталкивания груза из воды пренебречь.
РЕШЕНИЕ.
1. За начало отсчета принимаем точку О, соответствующую положению груза в момент обрыва троса. Ось х направим в сторону движения груза.
2. Покажем все силы, действующие на груз во время движения в сопротивляющейся среде: силу тяжести и силу сопротивления, направленную противоположно скорости груза.
3. Составим дифференциальные уравнения движения груза в проекции на ось х:
(1)
или . (2)
Рисунок 6
Разделим уравнение (2) на m и проинтегрируем, разделяя переменные
,
. (3)
Определим постоянную интегрирования С1, принимая во внимание, что при t=0 Vx=V0,
. (4)
С учетом (4) уравнение (3) примет вид . (5)
Откуда . (6)
Уравнение (6) устанавливает зависимость скорости движения груза в сопротивляющейся среде от времени. Заменяя и разделяя переменные, получаем:
. (7)
После интегрирования уравнения (7) получим
. (8)
Постоянную интегрирования С2 определим из начальных условий. При t=0 x=x0, С2=, тогда уравнение (8) имеет вид
. (9)
Путь Н, пройденный грузом, найдем из условия, что при t=T x=H, тогда
.
Дифференциальные уравнения описывают движение материального объекта до тех пор, пока на него действуют силы, входящие в правую часть этих уравнений. Если в какой-либо момент времени действие этих сил изменяется или прекращается, то для описания последующего движения нужно составлять новые дифференциальные уравнения движения. Начальными условиями нового движения будут скорость и координаты тела в конце предшествующего движения.
ПРИМЕР 6.
Груз D массой m=4,5кг, получив в точке А начальную скорость V0, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости (рис. 7). Участок АВ наклонен к горизонтали под углом, участок ВС горизонтальный.
На участке АВ на груз кроме силы тяжести действует постоянная сила Q=9Н и сила сопротивления . В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на тело кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубуf=0,2 ) и переменная сила Fx=3sin(2t).
Считая груз материальной точкой и зная время его движения на участке АВ t1=3c, найти закон движения груза на участке ВС.
РЕШЕНИЕ.
1. Рассмотрим
движение груза на участке АВ, считая
груз материальной точкой. Составим
дифференциальное уравнение движения
точки в проекции на ось z:
,
(1)
(2)
Рисунок 7
или . (3)
Разделим обе части уравнения (3) на m и введем обозначения
; ;;
Тогда уравнение (3) примет вид . (4)
Разделив переменные и проинтегрировав уравнение (4), получим
; . (5)
При t=0 ;
; .
При t=t1 Vz=VB, т.е. м/с.
2. Рассмотрим движение точки на участке ВС. Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось х:
(6)
Fтр=fN2, где N2=P. Тогда (:m)
. (7)
При t=0 Vx=VB;
; С2=5,77.
Тогда . (8)
Учитывая, что и разделяя переменные, получаем
;
.
При t=0 x=0, C3=0. Тогда
.