17. Принцип возможных перемещений.

Рисунок 57

Возможным перемещением системы называется совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых наложенными на систему связями. Возможные перемещения не зависят от приложенных сил, а зависят только от наложенных связей. Кривошипно-шатунный механизм поршневого двигателя имеет одну степень свободы. Положение всех точек системы зависит от угла поворота ведущего звена ОА. Кривошип ОА закреплен в точке О шарнирно. Возможным перемещением кривошипа ОА будет поворот на бесконечно малый угол . Поршень движется в вертикальных направляющих, следовательно, возможные перемещения , точек В и С штока, совершающее поступательное движение, направлены вдоль оси у.

Так как возможные перемещения являются бесконечно малыми величинами, их можно считать линейными и направленными по скоростям соответствующих точек. Тогда для нахождения взаимосвязи между возможными перемещениями точек можно использовать метод мгновенного центра скоростей или теорему о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки, т.е. , (17.1) где .

Идеальными называются наложенные на систему связи, работа реакций которых на возможном перемещении равна нулю. Такими связями являются неподвижная гладкая поверхность, цилиндрические и сферические шарниры, невесомые стержни.

Для того, чтобы механическая система с идеальными связями находилась в равновесии в данном положении, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на систему, на любом возможном перемещении точек системы равнялась нулю.

, (17.2) где -- возможное перемещение произвольной точки М_к системы.

Используя принцип возможных перемещений, можно решать следующие задачи:

1. при заданном положении равновесия системы определить силы, действующие на систему, или найти зависимость между этими силами;

2. при заданных силах, действующих на систему, определить положение равновесия этой системы;

3. отбросить связи и, заменив их соответствующими реакциями орпеделить реакции связей.

При решении задач необходимо:

1. выделить систему, равновесия которой следует рассмотреть;

2. показать активные силы, действующие на систему;

3. составить уравнение принципа возможных перемещений (17.2);

4. решить полученное уравнение относительно искомой величины.

ПРИМЕР 24.

Определить величину усилия , способного удержать механизм (рис. 58) в положении равновесия, если на механизм действует окружное усилие , момент трения в опоре О₂. Масса звеньев механизма равна m₁, m₂, m₃, радиусы колес R₁, r₂, R₂.

РЕШЕНИЕ.

1. Механизм, состоящий из колес 1 и 2 и груза 3, имеет одну степень свободы. Положение всех точек механизма зависит от угла поворота ведущего звена 1 под действием окружного усилия . На механизм действуют заданные силы , , , , и момент сопротивления М_С.

2. Дадим системе возможное перемещение: колеса 1 и 2 повернутся соответственно на углы , , груз 3 опустится на .

Выразим сумму работ всех активных сил на соответствующих возможных перемещениях: . (1)

Возможные перемещения всех точек системы выразим через : . Определим взаимосвязь между и и . Выразим возможное перемещение точки D: ; откуда ; .

С учетом полученных соотношений уравнение (1) примет вид:

Рисунок 58

. (2) Так как , приравниваем нулю выражение , (3) откуда выражаем силу Q: .

ПРИМЕР 25.

Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости (рис. 59), находится под действием приложенных сил в равновесии, определяемым углами , , . Длины стержней механизма равны: =0,4м, =0,6м, AE=ED. На ползун В механизма действует сила упругости пружины , где с=180н/см—коэффициент жесткости пружины, -- ее деформация. Кроме того, на ползун D действует сила Q=400Н, а на кривошип О₁А – пара сил с моментом М=100Нм. Определить, чему равна при равновесии деформация пружины.

РЕШЕНИЕ.

1. Для нахождения деформации пружины используем принцип возможных перемещений, согласно которому , (1) где -- элементарная работа активных сил на соответствующих возможных перемещениях. Изображаем действующие на механизм активные силы: , и пару сил с моментом М.

2. Сообщим механизму возможное перемещение и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на соответствующих перемещениях: -- поворот стержня 1 вокруг оси О₁; . Взаимосвязь между перемещениями , , найдем с помощью мгновенного центра скоростей звена 2: . Так как -- равносторонний: , следовательно, ; . (2)

Рисунок 59

Взаимосвязь между перемещениями и найдем с помощью мгновенного центра скоростей звена 3. Так как -- равнобедренный: ВР₃=ЕР₃; ; . (3) Составляем уравнение (1): (4) или с учетом (2) и (3) получим (5) или . Так как , то приравниваем нулю выражение , откуда находим силу F: Н. Зная, что , находим деформацию пружины см.

Знак минус указывает, что пружина сжата, а предварительно в расчете была принята растянутой.