17. Принцип возможных перемещений.

Рисунок 57

Возможным перемещением системы называется совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых наложенными на систему связями. Возможные перемещения не зависят от приложенных сил, а зависят только от наложенных связей. Кривошипно-шатунный механизм поршневого двигателя имеет одну степень свободы. Положение всех точек системы зависит от угла поворота ведущего звена ОА. Кривошип ОА закреплен в точке О шарнирно. Возможным перемещением кривошипа ОА будет поворот на бесконечно малый угол. Поршень движется в вертикальных направляющих, следовательно, возможные перемещения,точек В и С штока, совершающее поступательное движение, направлены вдоль оси у.

Так как возможные перемещения являются бесконечно малыми величинами, их можно считать линейными и направленными по скоростям соответствующих точек. Тогда для нахождения взаимосвязи между возможными перемещениями точек можно использовать метод мгновенного центра скоростей или теорему о проекциях скоростей двух точек на прямую, соединяющую эти точки, т.е., (17.1) где.

Идеальными называются наложенные на систему связи, работа реакций которых на возможном перемещении равна нулю. Такими связями являются неподвижная гладкая поверхность, цилиндрические и сферические шарниры, невесомые стержни.

Для того, чтобы механическая система с идеальными связями находилась в равновесии в данном положении, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на систему, на любом возможном перемещении точек системы равнялась нулю.

, (17.2) где -- возможное перемещение произвольной точки М_к системы.

Используя принцип возможных перемещений, можно решать следующие задачи:

1. при заданном положении равновесия системы определить силы, действующие на систему, или найти зависимость между этими силами;

2. при заданных силах, действующих на систему, определить положение равновесия этой системы;

3. отбросить связи и, заменив их соответствующими реакциями орпеделить реакции связей.

При решении задач необходимо:

1. выделить систему, равновесия которой следует рассмотреть;

2. показать активные силы, действующие на систему;

3. составить уравнение принципа возможных перемещений (17.2);

4. решить полученное уравнение относительно искомой величины.

ПРИМЕР 24.

Определить величину усилия , способного удержать механизм (рис. 58) в положении равновесия, если на механизм действует окружное усилие, момент тренияв опоре О₂. Масса звеньев механизма равна m₁, m₂, m₃, радиусы колес R₁, r₂, R₂.

РЕШЕНИЕ.

1. Механизм, состоящий из колес 1 и 2 и груза 3, имеет одну степень свободы. Положение всех точек механизма зависит от угла поворота ведущего звена 1 под действием окружного усилия . На механизм действуют заданные силы,,,,и момент сопротивления М_С.

2. Дадим системе возможное перемещение: колеса 1 и 2 повернутся соответственно на углы ,, груз 3 опустится на.

Выразим сумму работ всех активных сил на соответствующих возможных перемещениях: . (1)

Возможные перемещения всех точек системы выразим через :. Определим взаимосвязь междуии. Выразим возможное перемещение точкиD: ; откуда;.

С учетом полученных соотношений уравнение (1) примет вид:

Рисунок 58

. (2) Так как , приравниваем нулю выражение, (3) откуда выражаем силуQ: .

ПРИМЕР 25.

Механизм, расположенный в горизонтальной плоскости (рис. 59), находится под действием приложенных сил в равновесии, определяемым углами ,,. Длины стержней механизма равны:=0,4м,=0,6м,AE=ED. На ползун В механизма действует сила упругости пружины , где с=180н/см—коэффициент жесткости пружины,-- ее деформация. Кроме того, на ползунD действует сила Q=400Н, а на кривошип О₁А – пара сил с моментом М=100Нм. Определить, чему равна при равновесии деформация пружины.

РЕШЕНИЕ.

1. Для нахождения деформации пружины используем принцип возможных перемещений, согласно которому , (1) где-- элементарная работа активных сил на соответствующих возможных перемещениях. Изображаем действующие на механизм активные силы:,и пару сил с моментом М.

2. Сообщим механизму возможное перемещение и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на соответствующих перемещениях: -- поворот стержня 1 вокруг оси О₁; . Взаимосвязь между перемещениями,,найдем с помощью мгновенного центра скоростей звена 2:. Так как-- равносторонний:, следовательно,;. (2)

Рисунок 59

Взаимосвязь между перемещениями инайдем с помощью мгновенного центра скоростей звена 3. Так как-- равнобедренный: ВР₃=ЕР₃; ;. (3) Составляем уравнение (1):(4) или с учетом (2) и (3) получим(5) или. Так как, то приравниваем нулю выражение, откуда находим силуF: Н. Зная, что, находим деформацию пружинысм.

Знак минус указывает, что пружина сжата, а предварительно в расчете была принята растянутой.