Динамика

1. Предмет и основные задачи динамики.

Динамика изучает механическое движение материальных тел под действием приложенных сил. Простейшим материальным объектом является материальная точка. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как неизменяемую систему материальных точек. Расстояние между точками остаются постоянными.

Силы, действующие на материальные тела, могут быть постоянными или переменными. Постоянной можно считать силу тяжести. Переменные силы могут зависеть от времени, от положения тела или от его скорости. В частности, сила упругости зависит от положения груза, сила сопротивлениязависит от скорости (рис. 1). От времени зависит сила тяги электровоза при постепенном включении реостата. На тело одновременно может действовать несколько разных сил. Так, при возвращении на землю космического аппарата на него действуют: постоянная сила тяжести, сила сопротивления, зависящая от скорости, сила тяготения, зависящая от положения тела. Законы сложения или приведения переменных сил такие же, как и постоянных сил.

Движение материальных объектов рассматривается по отношению к определенной системе отсчета. Систему отсчета, связанную с землей, называют инерциальной. В такой системе соблюдается основной закон динамики:

, (1.1)

где m-масса точки,

- ускорение точки.

Масса – это мера инертности. Она не зависит от природы силы, приложенной к точке. Чем больше масса, тем большую силу необходимо приложить к точке, чтобы изменить ее скорость.

Материальная точка является свободной, если на нее не наложены связи. Движение такой точки зависит от действующих на нее активных (заданных) сил и начальных условий. Если на точку наложены какие-либо связи, то ее движение зависит от активных сил и реакций связей.

Множество частных задач динамики можно свести к двум основным задачам:

1. по заданному движению материальной точки или системы определить силы, действующие на точку или систему – прямая задача динамики;

2. по заданным силам, действующим на точку или систему, определить закон движения этой системы – обратная задача.

2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

Для решения соответствующей задачи динамики необходимо составить уравнения, устанавливающие зависимость между массой движущей точки, ее ускорением и действующими на нее ускорениями. Дифференциальное уравнение движения точки в векторной форме и имеет вид: (2.1)

Уравнение (2.1) можно спроецировать на оси декартовой системы координат:

, ,(2.2)

Если точка по криволинейной траектории, то для решения соответствующей задачи динамики используют дифференциальные уравнения движения точки в естественной форме (в проекциях на естественные оси координат):

, . (2.3)

3. Решение первой задачи динамики.

При решении первой задачи динамики можно использовать дифференциальные уравнения движения точки в векторной, координатной и естественной форме. Решение задачи необходимо осуществлять в следующем порядке:

1. изобразить точку в текущий момент времени;

2. показать активные (заданные) силы, действующие на точку;

3. освободить точку от связей, заменяя действие связей реакциями;

4. выбрать систему координат, если она не указана в задаче;

5. составить дифференциальные уравнения движения точки в выбранной системе координат;

6. по заданным уравнениям движения определить проекции ускорения на оси координат;

7. из дифференциальных уравнений движения определить проекции силы, действующей на точку.

РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ДЛЯ СВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ПРИМЕР 1.

Материальная точка массой m движется по окружности радиуса R согласно уравнению OM=S=Re^2t (рис. 2). Определить величину равнодействующей сил, приложенных к точке, как функцию времени.

РЕШЕНИЕ.

1. Так как точка движется по криволинейной траектории, используем дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси: касательную и нормаль:

, . (1)

2. Выразим из закона движения точки проекции ускорения на естественные оси

;

; (2)

Рисунок 1

. (3)

Подставим (2) и (3) в (1), выразим проекции силы

на естественные оси:

; .

Силу, действующую на точку, выразим через ее

проекции на естественные оси

.

РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ПРИМЕР 2.

Определить давление автомобиля весом Р=10000Н, движущегося с постоянной скоростью 36км/ч по мосту с радиусом кривизны20м, если автомобиль находится в центре вогнутого (рис. 3,а) и выпуклого (рис. 3,б) моста.

Рисунок 2

РЕШЕНИЕ .

1. Применим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на нормаль n:

, (1)

где -- сумма проекций на нормаль заданных сил и реакций связей;

для схемы а):

;

Н;

для схемы б):

;

Н.