
- •Теоретическая механика
- •Часть 2 динамика
- •Предисловие
- •Введение
- •Динамика
- •1. Предмет и основные задачи динамики.
- •2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •Решение первой задачи динамики.
- •4. Решение второй задачи динамики.
- •5. Прямолинейые колебания точки.
- •Колебания груза, подвешенного на пружине.
- •6. Относитеельное движение точки.
- •7. Дифференциальные уравнения движения механической системы.
- •8. Теорема о движении центра масс.
- •9. Теорема об изменении количества движения.
- •10. Теорема об изменении момента количества движения.
- •11. Работа и мощность силы.
- •12. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
- •13. Теорема об изменении киннетической энергии системы.
- •14. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •15. Принцип даламбера для материальной точки.
- •16. Принцип даламбера для механическойй системы. Главный вектор и главный момент сил инерции.
- •17. Принцип возможных перемещений.
- •18. Общее уравнение динамаики.
- •19. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах (уравнение лагранжа 2-го рода).
- •20. Собственные колебания механической системы.
6. Относитеельное движение точки.
Законы динамики
описывают абсолютное движение точки
относительно неподвижной (инерциальной)
системы отсчета
.
(6.1)
Абсолютное ускорение
определяется по теореме Кориолиса
,
(6.2)
где
--
относительное ускорение;
--
переносное ускорение;
--
ускорение Кориолиса.
Дифференциальное
уравнение относительного движения
точки имеет вид
,
(6.3)
где Фе—переносная сила инерции;
Фк—сила инерции Кориолиса;
;
;
.
Относительное
движение точка совершает относительно
подвижной системы отсчета. В случае
переносного поступательного движения
=0,
следовательно,
=0.
Точка может
находиться в состоянии относительного
покоя в том случае, если соблюдается
условие
,
(6.4)
т.е. активные силы, приложенные к точке, уравновесятся переносной силой инерции.
Задачу динамики относительного движения материальной точки рекомендуется решать в следующем порядке:
1. определить неподвижную систему отсчета, относительно которой точка совершает абсолютное движение;
2. выделить подвижную систему отсчета, относительно которой точка совершает относительное движение;
3. рассмотреть движение подвижной системы отсчета, являющееся переносным движением для точки; по уравнению переносного движения вычислить переносное ускорение и ускорение Кориолиса, если переносное движение является вращательным;
4. записать начальные условия относительного движения точки;
5. вычислить
переносную силу инерции
и силу инерции Кориолиса
;
приложить к точке силы, заданные
и добавить силы инерции
и
;
6. составить дифференциальное уравнение относительного движения точки в проекциях на подвижные оси координат;
7. проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения; постоянные интегрирования определить по начальным условиям;
8. определить искомые величины.
ПРИМЕР 8.
Груз массой m1
может скользить без трения по наклонной
плоскости (рис. 16), составляющей с
горизонтом угол
.
Наклонная плоскость принадлежит телу
массойm2,
перемещающемуся без трения вдоль
горизонтальной плоскости. С какой силой
надо двигать наклонную плоскость, чтобы
груз находился в состоянии покоя
относительно движущегося тела?
РЕШЕНИЕ:
1. Груз М совершает
относительное движение относительно
подвижной системы отсчета Ох. Тележка
движется под действием силы
.
На груз М действуют силы:
--
сила тяжести;
--
нормальная реакция наклонной плоскости.
Приложим к грузу
переносную силу инерции
.
Переносная сила инерции
направлена переносному ускорению
.
2. Выразим ускорение
относительного покоя груза на наклонной
плоскости
.
(1)
Спроецируем
равенство (1) на ось х подвижной системы
координат :
.
(2)
Из уравнения (2):
.
Тележка вместе с находящимся на ней
грузом движется при отсутствии
сопротивления по горизонтальной
плоскости с ускорением
.
Составим уравнение движения тележки
относительно неподвижной системы
отсчета
,
следовательно,
.
ПРИМЕР 9.
Груз 1 массой m=0,4
кг укреплен на пружинной подвеске в
лифте (рис. 17). Лифт движется вертикально
по закону z=0,5gt2
(ось z
направлена по вертикали вверх; z
– в метрах, t
– в секундах). На груз действует сила
сопротивления
,
гдеV
– скорость груза по отношению к лифту,
=4нс/м.
Найти закон относительного движения
груза при С1=60н/м,
С2=120н/м,
=0,V0=2м/с.
РЕШЕНИЕ.
1. Заменим прикрепленные к грузу пружины, соединенные параллельно, одной эквивалентной с жесткостью С=С1+С2=60+120=180н/м.
2. Изобразим груз в положении, когда пружина растянута. Начало координат помещаем в положение статического равновесия. На груз действуют силы:
--
сила тяжести;
--
сила упругости пружины;
--
переносная сила инерции;
--
сила сопротивления.
;
Фе=mae;
.
переносное ускорение определим из закона переносного движения. По условию задачи z=0,5gt2;
;
;
.
Рисунок 17
3. Составим
дифференциальное уравнение движения
груза
(1) или в проекции на ось х
.
(2) Разделим уравнение
(2) на массуm
и введем обозначения
;
;
;
(3) или
.
(4) Получили неоднородное
дифференциальное уравнение второго
порядка. Его решение х: х=х1+х2,
где х1
– общее решение неоднородного уравнения
.
(5) Решение дифференциального уравнения
(5) зависит от соотношения между
коэффициентамиn
и k.
Так как в нашем случае n<k,
имеем случай малого сопротивления:
,
(6) где
;
х2
– частное решение уравнения (4). Так как
правая часть уравнения представляет
собой постоянную величину, частное
решение х2
ищем в виде х2=В=const.
Подставляем это решение в уравнение
(5) и находим величину В:
;
.
Тогда решение уравнения (4) имеет вид:
.
(7)
Постоянные интегрирования С1
и С2
определяем из начальных условий. При
t=0
;x0=V0;
;
.
.
При t=0
;
;
;
;
Окончательно
уравнение относительного движения
груза имеет вид
.