Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

Список литературы

1.Wilson, K., Phys. Rev. 179, 1499 (1969).

2.Zimmermann, W., in Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory — 1970 Brandeis University Summer Institute in Theoretical Physics, eds. S. Deser, H. Pendleton, and M. Grisaru (MIT Press, Cambridge, 1970).

3.Weinberg, S., Phys. Rev., 118, 838 (1960).

4.Bernard, C., Duncan, A., LoSecco, J., and Weinberg, S., Phys. Rev., D12, 792 (1975).

5.Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 18, 507 (1967). Общий случай см. [4].

6.Kawarabayashi, K. and Suzuki, M., Phys. Rev. Lett., 16, 255 (1966); Riazuddin and Fayyazuddin, Phys. Rev., 147, 1071 (1966).

7.Ademollo, M., Veneziano, G., and Weinberg, S., Phys. Rev. Lett., 22, 83 (1969).

8.Donoghue, J.F. and Golowich, E., Phys. Rev., D49, 1513 (1994).

9.Этот результат был доложен на Рочестерской конференции 1968 г. в Вене и опубликован в работах: Bloom, E.D. et al., Phys. Rev. Lett., 23, 930 (1969); Breidenbach, M. et al., Phys. Rev. Lett., 23, 935 (1969).

10.Bjorken, J.D., Phys. Rev., 179, 1547 (1969).

11.Feynman, R.P., Phys. Rev. Lett., 23, 1415 (1969); Photon-Hadron Interactions (Benjamin, New York, 1972).

12.Callan, C.G. and Gross, D.J., Phys. Rev. Lett., 22, 156 (1969). Следует предупредить читателей, что символ ω в работе Каллана и Гросса в используемых здесь обозначениях есть 2/ω.

13.Gross, D.J. and Treiman, S., Phys. Rev., D4, 1059 (1971).

14.Christ, N., Hasslacher, B., and Mueller, A.H., Phys. Rev., D6, 3543 (1972).

15.Altarelli, G. and Parisi, G., Nucl. Phys., B126, 298 (1972).

16.Georgi, H. and Politzer, H.D., Phys. Rev., D9, 416 (1974).

17.Gross, D.J. and Wilczek, F., Phys. Rev., D9, 980 (1974).

18.Dyson, F.J., Phys. Rev., 85, 631 (1952).

19.См. , например: Hardy, G.H., Divergent Series (Oxford University press, Oxford, 1949).

20.Lipatov, L.N., Leningrad Nuclear Physics Institute report, 1976 (unpublished); Proc. of the XVIII Int. Conf. on High Energy Physics at Tbilisi, 1976.

21.′t Hooft, G., in The Whys of Subnuclear Physics — Proc. of the

1977 Erice Summer School, ed. by A. Zichichi (Plenum, New York, 1978). Сборник работ по ренормалонам и высоким порядкам терии возмущений см.: Large Order Behavior of Perturbation Theory, eds. J.C. Le Guillou and J. Zinn-Justin (North Holland, Amsterdam, 1990). Дальнейшие работы по инфракрасным ренормалонам: Mueller, A.H., Phys. Lett., B308, 355 (1993); Nucl. Phys., B250, 327 (1995), Duncan, A. and Pernice, S., Phys. Rev., D51, 1956 (1995) и цитированные там работы.

22.Lautrup, B., Phys. Lett., 76B, 109 (1977).

21

Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Поначалу казалось, что доказанная в 1961 году теорема 1 о том, что нарушенная симметрия влечет появление безмассовых голдстоуновских бозонов спина нуль, является серьезным основанием для поиска нарушенных симметрий в природе. Несколькими годами спустя рядом авторов было отмечено уже упоминавшееся в разделе 19.2 исключение из этой теоремы: если нарушенная симметрия не глобальна, а локальна, то голдстоуновские бозоны отсутствуют 2. Соответствующие степени свободы проявляются как связанные с нарушенной локальной симметрией состояния векторных частиц нулевой спиральности, приобретающие поэтому массу. Это явление, общеизвестное сейчас как механизм Хиггса, не было сначала сразу использовано в какой-то реалистической теории, возможно, потому, что в середине 1960-х годов стало ясно, что пион является голдстоуновским бозоном спонтанно нарушенной приближенной симметрии, и поэтому попыткам избежать появления голдстоуновских бозонов стали уделять меньше внимания. Однако вскоре оказалось, что спонтанно нарушенные локальные симметрии обеспечивают естественную основу для понимания слабых и электромагнитных взаимодействий элементарных частиц 3.

21.1. Унитарная калибровка

Мы видели в гл. 19, что в теории с глобальной группой симметрии G, которая спонтанно нарушается до подгруппы Н, для каждой независимой нарушенной симметрии существует безмассо-

соответственно условия ∂μAμ = 0 или С•A = 0, но с тем же успехом можно выбрать калибровку, наложив условие на ϕ, например, потребовав, чтобы ϕ было действительным, или, иначе говоря, повернув 2-вектор {Reϕ, Imϕ} в направлении первой оси.)

Калибровка, определенная условием (21.1.2), называется унитарной калибровкой 3à, т. к. в этой калибровке будет очевидно, что в теории отсутствуют любые степени свободы с отрицательной вероятностью типа времениподобных калибровочных бозонов. Выражаясь более общо, унитарная калибровка делает очевидным меню физических частиц в теории.

Из условия (21.1.2) видно, что в унитарной калибровке нет полей голдстоуновских бозонов. Поскольку теория калибровочноинвариантна, это означает, что в любой калибровке, какую бы мы не выбрали, отсутствуют физические голдстоуновские бозоны. Что можно сказать о векторных бозонах? Если ϕn — элементарные канонически нормированные скалярные поля ϕn, лагранжиан бу-

дет содержать слагаемое

ãäå tα принимает значения всех генераторов калибровочной группы

G. (С этого момента будем опускать тильды, понимая при этом, что везде в данном разделе мы работаем в унитарной калибровке.) Мы предполагаем, что симметрия G нарушена вакуумным средним vn ïîëÿ ϕn, поэтому, чтобы понять происхождение спектра частиц, определим сдвинутое поле ϕ′:

(Иногда удобно задавать vn в формулах (21.1.2) и (21.1.4) как среднее по вакууму в древесном приближении. Чтобы породить приемлемую теорию возмущений, необходимо всего лишь, чтобы vn согласовывалось с истинным средним по вакууму в низшем порядке.) Разлагая выражение (21.1.3) до второго порядка по ϕ′ и А, имеем

398 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Используя условие (21.1.2), видим, что перекрестное по полям j¢

и А слагаемое обращается в нуль, так что

Комбинируя это с квадратичными слагаемыми в лагранжиане Янга–

Миллса − 1 FαμνFαμν , видим, что у векторных частиц появилась мас-

4

совая матрица. В наших обозначениях генераторы tnmα пропорцио-

нальны калибровочным константам связи, поэтому выражение (21.1.7) приводит к массам векторных бозонов, которые также пропорциональны этим константам связи.

Рассмотрим некоторые алгебраические свойства m2αβ. Поскольку матрица tnmα мнима и антисимметрична (и поэтому эрмитова), матрица m2αβ действительна, симметрична и положительна. Кроме того,

если какая-то действительная линейная комбинация генераторов не нарушена, тогда

и в этом случае из (21.1.7) видно, что, как отмечено Кибблом 2,

Это означает, что у нас все еще на каждую ненарушенную симметрию есть безмассовый калибровочный бозон. Обратное также верно: из выражения (21.1.7) следует, что для произвольных действительных констант cα

и это выражение может обратиться в нуль только, если cα óäîâ-

летворяет условию (21.1.8).

400 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Подставляя соотношения (21.1.15) и (21.1.16) в (21.1.7), получаем массовую матрицы векторного бозона в виде

Рассмотрим теперь более детально пропагатор векторного поля. Включая в лагранжиан Янга–Миллса квадратичное слагаемое, видим, что часть полного лагранжиана, квадратичная по А, имеет вид

Предположим для простоты что все калибровочные симметрии нарушены, так что не имеет нулевых собственных значений. Согласно описанным в разделе 9.4 общим правилам, пропагатор калибровочного поля в импульсном представлении имеет вид

αν,βλ (k) = −(D−1) αν,βλ (ik) = (k2 + μ2 )−1(ηνλ + μ−2kνkλ ) αβ . (21.1.20)

Из-за слагаемого с kνkλ асимптотическое поведение пропагатора

(k) f O(k0), и это не позволяет для доказательства перенормируемости использовать обычные рассуждения, основанные на подсчете индекса расходимости. К счастью, как мы увидим в следующем разделе, существует другая калибровка, в которой перенормируемость становится очевидной, но ценой затуманивания вопроса о том, какие частицы содержатся в теории.

* * *

Важно отметить, что хотя в пределе нулевых констант связи голдстоуновские бозоны внезапно вновь возникают в физическом спектре, физические матричные элементы идеально непрерывны в этом пределе. Это происходит потому, что в унитарной калибровке в пределе нулевых калибровочных констант связи калибровочные бозоны отъединяются не полностью. Рассмотрим матричный элемент для процесса рассеяния A + B → C + D, ãäå À è Ñ

принадлежат некоторому представлению калибровочной алгебры, а B и D принадлежат какому-то другому представлению этой алгебры. Элемент S-матрицы для этого процесса содержит вклад от обмена векторным бозоном

SCD,AB = i(2π)4 δ4 (pA + pB − pC − pD)C JN ν A αν,βλ (k)D JNλ B,

α α

(21.1.21)

ãäå k = pA – pC = pD – pB, à JNαν — ток, с которым связаны

калибровочные бозоны, где нижний индекс N напоминает, что в данной калибровке мы опускаем в этом токе слагаемое с полюсом голдстоуновского бозона. Такой ток пропорционален калибровочным константам связи, так что единственные слагаемые в (21.1.21), выживающие в пределе нулевых констант связи, содержат матрицу μ–2, которая в этом пределе сингулярна. Поэтому при нулевых кон-

стантах связи элемент S-матрицы равен

Калибровочные константы связи в токах сократились с такими же константами в матрице μ2.

Сравним теперь этот результат со вкладом от обмена голдстоуновским бозоном. При обращающихся в нуль калибровочных константах имеется множество голдстоуновских бозонов Bα, связанных с генератором tα (для простоты предполагаем, что

все калибровочные симметрии спонтанно нарушены), для которых кинематическое слагаемое в лагранжиане имеет вид − ∂μϕα∂μϕβ ån ZαnZβn ãäå Zγn — компонента голдстоуновского бозона Bα в бесспиновом поле ϕn, определенная выражением (19.2.39).

402 Глава 21. Спонтанно нарушенные калибровочные симметрии

Для того, чтобы поля голдстоуновских бозонов были каноническим образом нормированы, мы должны поэтому иметь

Согласно формуле (19.2.49), голдстоуновский бозон Bα связан с токами JNβν с константой связи Fαβ−1 , ãäå Fαβ — константа связи голдстоуновского бозона, ассоциированного с генератором tα, ñ

током , определенная выражением (19.2.38). Таким образом, обмен голдстоуновскими бозонами дает матричный элемент

Но из соотношений (19.2.40), (21.1.7) и (21.1.23) получаем массовую матрицу векторного бозона в виде

так что в пределе нулевой калибровочной константы связи матрич- ный элемент с обменом калибровочным бозоном (21.1.22) совпадает с матричным элементом с обменом голдстоуновским бозоном. Это рассуждение можно обратить: требование непрерывности при нулевой калибровочной константе связи можно использовать для вывода формулы для масс калибровочных бозонов даже в случае, когда все другие константы связи велики.

21.2.Перенормируемые ξ-калибровки

Â1971 году ‘т Хоофт 4 показал, что функциональные интегралы в спонтанно нарушенных калибровочных теориях можно вы-

числять в калибровке, в которой пропагаторы векторных бозонов при импульсах k → ∞ обращаются в нуль как k–2, так что такие

теории удовлетворяют описанному в разделе 12.2 тесту на перенор-