3.2. Операции над графами

Пусть даны два графа G₁(V₁, E₁) и G₂(V₂, E₂).

Объединением графов G₁(V₁, E₁) и G₂(V₂, E₂) при условии, что V₁V₂ = ; E₁E ₂ = , называется граф G₁(V₁, E₁)  G₂(V₂, E₂), множеством вершин которого является множество V₁ V_2, а множеством его ребер является множество E₁E _2.

Пересечением графов G₁(V₁, E₁) и G₂(V₂, E2) называется граф G₁ (V₁, E₁)  G₂ (V₂, E₂), множеством вершин которого является множество V₁ V_2, а множеством его ребер - множество E₁E _2.

Суммой по модулю два графов G₁(V₁, E₁) и G₂(V₂, E₂) при условии, что V₁V₂ = ; E₁E ₂ = , называется граф G₁(V₁, E₁)  G₂(V₂,E₂), множеством вершин которого является множество V₁ V_2, а множеством его ребер - множество E₁  E _2.. Этот граф состоит только из ребер, присутствующих либо в первом, либо во втором графе, но не в обоих одновременно.

Дополнением графа G₁ (V₁, E₁) называется граф множеством вершин которого является множествоV₁, а множеством его ребер является множество = {e V₁ x V₁: eE₁}

Примеры выполнения заданий

Пусть заданы два графа G₁(V₁, E₁) и G₂(V₂, E₂). Изобразите геометрически объединение, пересечение и сумму по модулю два.

a 1 2 e b d 3 4 c Решение:	4 g 1 a 2 b 3 c f
G1(V1, E1)G2(V2, E2) g f	G1 (V1, E1)G2(V2, E2)
G1(V1, E1)  G2(V2,E2) g f

Задания для самостоятельного выполнения

3.2.1. Пусть заданы два графа g1(v1, e1) и g2(v2, e2). Изобразите геометрически объединение, пересечение и сумму по модулю два.

0) d	f
1)
2) d	f g
3) 1 a 2 f d e 3 4 c	g d
4)	f
5) k e d g f g f g a 1 2 d b e c 4 3 d
6)
7) d
8)
9)	f c a g

3.3. Представление графов в пэвм

3.3.1. Неориентированные графы

Неориентированный граф G (V, E) – непустое конечное множество узлов (вершин) V и набор неупорядоченных пар вершин (ребер) E.

Способы задания графа:

1) аналитический (в виде алгебраической системы);

2) геометрический (в виде произвольного рисунка);

3) матричный (в виде матриц смежности и инцидентности).

Пусть v₁, v₂, ... v_n - вершины графа G (V, E), а e₁, e₂, ... e_m - его ребра.

Матрицей смежности графа G называется матрица A(G) = ||a_ij||, i=1,...,n; j = 1, ..., n, у которой элемент a_ij равен числу ребер, соединяющих вершины v_i и v_j (соответственно, идущих из вершины v_i в вершину v_j).

Свойства матрицы смежности:

1) симметричная относительно главной диагонали,

2) значениями являются натуральные числа и ноль,

3) количество петель записывается на главной диагонали,

4) сумма значений по строке или в столбце равна валентности вершины.

Матрицей инцидентности для неориентированного графа с n вершинами и m ребрами называется матрица В(G) = [b_ij], i=1, 2,..., n, j = 1,2,..., m, строки которой соответствуют вершинам, а столбцы - ребрам. Элемент b_ij=1, если вершина v_i инцидентна ребру e_j и b_ij=0, если вершина v_i не инцидентна ребру e_j.