Основные положения о вершинах графа:

1. В графе G сумма степеней всех его вершин — число четное, равное удвоенному числу ребер графа, так как каждое ребро участвует в этой сумме ровно два раза. Этот результат называют леммой о рукопожатиях: если несколько человек обменялись рукопожатиями, то общее число пожатых рук обязательно четно, ибо в каждом рукопожатии участвуют две руки (при этом каждая рука считается столько раз, сколько она участвовала в рукопожатиях).

2. Число нечетных вершин любого графа четно.

3. Во всяком графе с n вершинами, где n 2, всегда найдутся, по меньшей мере, две вершины с одинаковыми степенями.

4. Если в графе с вершинами n>2 две вершины имеют одинаковую степень, то в этом графе всегда найдется либо одна вершина степени 0, либо одна вершина степени n - 1.

Два графа G₁=(V₁,E₁) и G₂=(V₂,E₂) называются изоморфными, если между их вершинами существует взаимно однозначное соответствие.

Алгоритм распознавания изоморфизма двух графов g1(X, e)и g2(y,e)

1. Если X ≠ Y, то графы не изоморфны.

2. Выписываем все элементы обоих графов, определяя пары (x_i,x_j) и (y_i, y_j) для каждого элемента, где x_i, y_i - число исходов для каждой вершины обоих графов, а x_j, y_j – число заходов.

3. Для каждого элемента x графа G₁ ищем такой элемент y графа G₂, что выполняется условие: число исходов x совпадает с числом исходов y, и число заходов x совпадает с числом заходов y. Найденные элементы x и y соединяем дугой, т.е. строим граф соответствия. Если соответствия нет, то графы неизоморфны.

4. Выписываем подстановку, которая переводит граф G₁ в граф G₂.

Примеры выполнения заданий

1. Докажите, что валентности вершин графов А и Б совпадают.

   2

   3

   2

   3

1

4

5

6

1

4

5

6

А Б

Решение: А) (v₁)=2, (v₂)=3, (v₃)=3, (v₄)=2, (v₅)=3, (v₆)=3.

Б) (v₁)=2, (v₂)=3, (v₃)=3, (v₄)=2, (v₅)=3, (v₆)=3.

2. Докажите, что графы g1(x1, e1) и g2(y2, e2) изоморфны.

2 2 1 3 4 X2 X3 X4 X5 X1 3 4 5

Y1 Y5 Y3 Y4 Y2

Решение:

X1(3, 3)	X2(4, 4)	X3(3, 3)	X4(2, 2)	X5(2, 2)
Y1(4, 4)	Y2(2, 2)	Y3(3, 3)	Y4(3, 3)	Y5(2,2)

В результате получим подстановку:

Следовательно, графы G₁(X, E) и G₂(Y, E) изоморфны.

3. Решите задачу по вычислению валентности вершин графа

Школьник сказал своему приятелю: - У нас в классе 35 человек. Каждый из них дружит ровно с 11 одноклассниками... - Не может этого быть,  - сразу ответил приятель, победитель математической олимпиады. Почему он так решил?

Решение: представим себе, что между каждыми двумя друзьями протянута ниточка. Тогда каждый из 35 учеников будет держать в руке 11 концов ниточек, и значит, всего у протянутых ниточек будет 1135 = 385 концов. Но общее число не может быть нечётным, так как у каждой ниточки 2 конца.