- •Оглавление
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Задайте множество а перечислением его элементов:
- •3. Пусть (X, y ) - координаты точек плоскости. Укажите штриховкой множествa a b и a b:
- •Практическое занятие №2. Операции над множествами Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна в двух вариантах расположения следующие множества:
- •Практическое занятие №3. Равносильные преобразования множеств
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Докажите тождества:
- •Практическое занятие №4. Отображение и отношение множеств
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Для отображения f: {10,20,30,40} {а,б,в,г}, заданного рисунком, найдите f({10,40}), f({10,20,30}), f - 1(б), f - 1 ({а,в}), f - 1 ({б,в,г}).
- •3. Выясните, к какому типу относятся отображения f1: а в и f2: а в.
- •4. Пусть f: {1,2,3} {1,2,3}, g: {1,2,3} {1,2,3}, h: {1,2,3} {1,2,3} – отображения, показанные на рисунке:
- •Контрольные вопросы по теме «Элементы теории множеств»
- •Глава 2. Элементы математической логики Практическое занятие №6. Основы алгебры логики
- •1. Элементы логики высказываний
- •2. Равносильные преобразования формул алгебры логики
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Переформулируйте высказывания, если необходимо. Разбейте составные высказывания на простые и запишите их с помощью логической символики. Постройте таблицу истинности.
- •2. Вычислите значения выражений:
- •3. Постройте таблицы истинности формулы алгебры логики:
- •Практическое занятие №7. Основы алгебры логики
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Найдите суперпозицию функций для формул:
- •2. Постройте канонические формы для функций:
- •3. С помощью теоремы о полноте установите полноту системы:
- •4. Булевская функция f(X, y, z) задана таблично. Представьте эту же функцию формулой логики и функциональной схемой:
- •Практическое занятие №9. Применение алгебры логики
- •1. Минимизация логических функций
- •2. Применение булевых функций для анализа и синтеза дискретных устройств. Упрощение и преобразование комбинационных схем
- •3. Применение булевых функций для анализа и синтеза релейно-контактных схем. Упрощение и преобразование релейно-контактных схем.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Минимизируйте методом Квайна - МакКласски булеву функцию f(x1, x2 ,x3, x4) , заданную таблицей истинности:
- •2. Укажите функцию f(x1, x2, x3, x4), реализуемую схемой из функциональных элементов:
- •3. Требуется произвести анализ и, если возможно, упрощение переключательных схем, приведенных на следующих рисунках:
- •Практическое занятие №10. Применение алгебры логики
- •Контрольные вопросы на тему: «Логические основы информатики»
- •Глава 3. Элементы логики предикатов Практическое занятие №11. Понятие предиката.
- •1. Постройте матрицу одноместного предиката р(X), если:
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1.Постройте матрицу одноместного предиката q(X), если:
- •2. Изобразите геометрически множество истинности одноместных предикатов g(X) и p(X), если:
- •3. Изобразите геометрически множество истинности предиката p(X), решив систему неравенств:
- •4. Изобразите геометрически множество истинности двуместного предиката a(X, y).
- •5. Изобразите геометрически множество истинности двуместного предиката q(X,y).
- •Практическое занятие №12. Операции над предикатами и кванторами.
- •1. Пусть предикат q(X,y) определен на конечных множествах:
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Практическое занятие №13. Формулы логики предикатов.
- •1. Приведите формулу логики предикатов к приведенной форме:
- •3. Приведите формулу логики предикатов к предваренной нормальной форме XyP(X, y) XyQ(X, y).
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Практическое занятие №13. Применение логики предикатов.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Запишите аксиомы положительных величин на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы:
- •2. Запишите некоторые аксиомы действительных чисел на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы:
- •3. Подберите элементарные предикаты и запишите следующие высказывания:
- •5. Запишите определения на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
- •6. Запишите теоремы и свойства на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
- •0) Основная теорема алгебры.
- •7. Запишите теоремы на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
- •Глава 4. Элементы теории алгоритмов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Опишите алгоритмы в словесной форме:
- •2. Опишите алгоритмы в словесно-формульной форме:
- •4.2.Практическое занятие №15. Виды алгоритмов.
- •1. Опишите графическим способом алгоритм расчета нормы расхода гербицида (л/га) по формуле:.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •2. Опишите алгоритмы в графической форме. Даны положительные вещественные числа X и y. Присвойте целой переменной z:
- •1. Опишите графическим способом алгоритм вычисления значения выражения:
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •4. Даны действительные числа X, y и z. Вычислите:
- •Практическое занятие №16. Виды алгоритмов.
- •1.Составьте блок-схему алгоритма вычисления среднеквадратической взвешенной по формуле:
- •2.Составьте блок-схему алгоритма вычисления суммы кубов последовательности, состоящей из положительных чисел до первого введенного отрицательного числа.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Практическое занятие №17. Машина Тьюринга.
- •1. Пусть требуется добавить 1 к натуральному числу n, представленному на ленте машины Тьюринга в двоичной системе счисления, то есть в алфавите {0,1}.
- •3. Составьте программу машины Тьюринга, подсчитывающую число вхождений символа a в слово р в алфавите {a, b, c}.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Постройте машину Тьюринга,
- •3. Постройте машину Тьюринга, осуществляющую перевод натурального числа n
- •4. Постройте машину Тьюринга,
- •Рекомендуемая литература
5. Запишите определения на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
Действительная функция f(x) действительного переменного x есть функция ограниченной вариации на интервале [a, b], если существует такое положительное число M, что для всех разбиений a = x0 < x1 < … < xn = b интервала [a, b] выполняется равенство
Абсолютным экстремумом числовой функции f называется точка P0 в области определения D функции, обладающая свойством f(P0) f(P) для всех P, принадлежащих D (абсолютный максимум) или свойством f(P0) f(P) для всех P, принадлежащих D (абсолютный минимум).
Однозначная функция f комплексного переменного z = x + iy называется аналитической функцией в точке z0, если в некотором круге |z – z0| < r с центром z0 и радиусом r > 0 она определена и представима степенным рядом:
f(z) = a0 + a1(z - z0) + … + an(z – z0)n + …
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке (a, b) из ее области определения D(f), если для x из (a, b) выполняется равенство F’(x) = f(x).
Точка x0 из области определения D(f) функции f называется точкой максимума этой функции, если найдется - окрестность (x0 - ; x0 + ) точки x0, такая, что для всех x x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) f(x0).
Число b называется пределом функции f(x), если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что если всех x a, удовлетворяющих неравенству x - a < , будет выполняться неравенство f(x) - b <
Точка x0 из области определения D(f) функции f называется точкой минимума этой функции, если найдется - окрестность (x0 - ; x0 + ) точки x0, такая, что для всех x x0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) f(x0).
Вектор-функция v(t) ограничена, если для каждого положительного числа существует такое число , что из 0 < |t – t1| < следует |v(t) – v1| <
Аппроксимация функции f на отрезке [a, b] функциями X1, X2, …Xn, … при условии, что отклонение f от Xn измеряется с помощью (f, Xn) = max |f(X) - Xn(x)| при a x b, называется равномерной аппроксимацией.
Интервалом числовой прямой называется множество действительных чисел x, удовлетворяющих неравенству a < x < b, где a и b – действительные числа, x0 = (a + b)/2- центр интервала. Интервал числовой прямой называется - окрестностью точки x0, если |x - x0|< .
6. Запишите теоремы и свойства на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
0) Основная теорема алгебры.
Всякий отличный от константы многочленвида:
с действительнымикоэффициентами имеет, по крайней мере, одинкореньвполекомплексных чисел.
Общие свойства числовых полей:
Для любых элементов а и в поля F определены их сумма а + в и произведение а x в. В поле существует нуль и единица.
Основная теорема алгебры по Эйлеру:
Всякий многочлен с вещественнымикоэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами.
Теорема о достаточном условии монотонности
Если функция f(x) дифференцируема в промежутке X и f'(x)>0 (f'(x)<0) для всех xX , то f(x) возрастает (соответственно убывает) в промежутке X.
Следствие из основной теоремы алгебры:
Любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней, с учётом кратности корней.
Лемма Д'Аламбера
Если для какого-нибудь x f(x)≠0, где f(x) - многочлен степени ≥1 , то найдется точка x1 такая, что |f(x1)|<|f(x)|.
Общие свойства числовых полей:
Для любого числового поля F справедливы тождества:
а + в = в + а (ав)с = а(вс)
(а + в)+ с = а+(в + с) а x 1= а
а + 0 = а а x 1/а = 1
а + (-а) = 0 а(в + с) = ав + ас
ав = ва
Теорема о производной
Функция y = f(x) имеет в точке x (конечную) производную в том и только в том случае, если она дифференцируема в этой точке. При этом верно равенство
Общие свойства числовых полей:
Для любого числа а из поля F в F есть противоположное ему число –а, а если а ≠ 0, то и обратное ему число 1/а.
Теорема о достаточном условии выпуклости вверх и вниз
Если функция f(x) дифференцируема дважды в интервале X и в ней f''(x) >0 (f''(x) <0), то f(x) является выпуклой вниз (соответственно выпуклой вверх) в интервале X.