- •Оглавление
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Задайте множество а перечислением его элементов:
- •3. Пусть (X, y ) - координаты точек плоскости. Укажите штриховкой множествa a b и a b:
- •Практическое занятие №2. Операции над множествами Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна в двух вариантах расположения следующие множества:
- •Практическое занятие №3. Равносильные преобразования множеств
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Докажите тождества:
- •Практическое занятие №4. Отображение и отношение множеств
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Для отображения f: {10,20,30,40} {а,б,в,г}, заданного рисунком, найдите f({10,40}), f({10,20,30}), f - 1(б), f - 1 ({а,в}), f - 1 ({б,в,г}).
- •3. Выясните, к какому типу относятся отображения f1: а в и f2: а в.
- •4. Пусть f: {1,2,3} {1,2,3}, g: {1,2,3} {1,2,3}, h: {1,2,3} {1,2,3} – отображения, показанные на рисунке:
- •Контрольные вопросы по теме «Элементы теории множеств»
- •Глава 2. Элементы математической логики Практическое занятие №6. Основы алгебры логики
- •1. Элементы логики высказываний
- •2. Равносильные преобразования формул алгебры логики
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Переформулируйте высказывания, если необходимо. Разбейте составные высказывания на простые и запишите их с помощью логической символики. Постройте таблицу истинности.
- •2. Вычислите значения выражений:
- •3. Постройте таблицы истинности формулы алгебры логики:
- •Практическое занятие №7. Основы алгебры логики
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Найдите суперпозицию функций для формул:
- •2. Постройте канонические формы для функций:
- •3. С помощью теоремы о полноте установите полноту системы:
- •4. Булевская функция f(X, y, z) задана таблично. Представьте эту же функцию формулой логики и функциональной схемой:
- •Практическое занятие №9. Применение алгебры логики
- •1. Минимизация логических функций
- •2. Применение булевых функций для анализа и синтеза дискретных устройств. Упрощение и преобразование комбинационных схем
- •3. Применение булевых функций для анализа и синтеза релейно-контактных схем. Упрощение и преобразование релейно-контактных схем.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Минимизируйте методом Квайна - МакКласски булеву функцию f(x1, x2 ,x3, x4) , заданную таблицей истинности:
- •2. Укажите функцию f(x1, x2, x3, x4), реализуемую схемой из функциональных элементов:
- •3. Требуется произвести анализ и, если возможно, упрощение переключательных схем, приведенных на следующих рисунках:
- •Практическое занятие №10. Применение алгебры логики
- •Контрольные вопросы на тему: «Логические основы информатики»
- •Глава 3. Элементы логики предикатов Практическое занятие №11. Понятие предиката.
- •1. Постройте матрицу одноместного предиката р(X), если:
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1.Постройте матрицу одноместного предиката q(X), если:
- •2. Изобразите геометрически множество истинности одноместных предикатов g(X) и p(X), если:
- •3. Изобразите геометрически множество истинности предиката p(X), решив систему неравенств:
- •4. Изобразите геометрически множество истинности двуместного предиката a(X, y).
- •5. Изобразите геометрически множество истинности двуместного предиката q(X,y).
- •Практическое занятие №12. Операции над предикатами и кванторами.
- •1. Пусть предикат q(X,y) определен на конечных множествах:
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Практическое занятие №13. Формулы логики предикатов.
- •1. Приведите формулу логики предикатов к приведенной форме:
- •3. Приведите формулу логики предикатов к предваренной нормальной форме XyP(X, y) XyQ(X, y).
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Практическое занятие №13. Применение логики предикатов.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Запишите аксиомы положительных величин на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы:
- •2. Запишите некоторые аксиомы действительных чисел на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы:
- •3. Подберите элементарные предикаты и запишите следующие высказывания:
- •5. Запишите определения на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
- •6. Запишите теоремы и свойства на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
- •0) Основная теорема алгебры.
- •7. Запишите теоремы на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте их отрицания:
- •Глава 4. Элементы теории алгоритмов
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Опишите алгоритмы в словесной форме:
- •2. Опишите алгоритмы в словесно-формульной форме:
- •4.2.Практическое занятие №15. Виды алгоритмов.
- •1. Опишите графическим способом алгоритм расчета нормы расхода гербицида (л/га) по формуле:.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •2. Опишите алгоритмы в графической форме. Даны положительные вещественные числа X и y. Присвойте целой переменной z:
- •1. Опишите графическим способом алгоритм вычисления значения выражения:
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •4. Даны действительные числа X, y и z. Вычислите:
- •Практическое занятие №16. Виды алгоритмов.
- •1.Составьте блок-схему алгоритма вычисления среднеквадратической взвешенной по формуле:
- •2.Составьте блок-схему алгоритма вычисления суммы кубов последовательности, состоящей из положительных чисел до первого введенного отрицательного числа.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •Практическое занятие №17. Машина Тьюринга.
- •1. Пусть требуется добавить 1 к натуральному числу n, представленному на ленте машины Тьюринга в двоичной системе счисления, то есть в алфавите {0,1}.
- •3. Составьте программу машины Тьюринга, подсчитывающую число вхождений символа a в слово р в алфавите {a, b, c}.
- •Задания для самостоятельного выполнения
- •1. Постройте машину Тьюринга,
- •3. Постройте машину Тьюринга, осуществляющую перевод натурального числа n
- •4. Постройте машину Тьюринга,
- •Рекомендуемая литература
Практическое занятие №13. Применение логики предикатов.
Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений и определений. Он дает возможность выражать логические связи между понятиями, записывать определения, теоремы, доказательства.
Примеры выполнения заданий
Запишите определение на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы, и постройте его отрицание:
Функция f непрерывна в точке x0, если и только если для всякого положительного числа существует положительное число такое, что для всякого x из области определения D функции f, если |x - x0| < , то |f(x) - f(x0)| < .
Решение. Запишем это определение на языке логики предикатов двумя разными способами.
1 способ:
, где
2 способ, используя ограниченные кванторы:
Построим отрицание этого определения:
Задания для самостоятельного выполнения
1. Запишите аксиомы положительных величин на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы:
Коммутативность сложения
Для любых двух величин a, b A справедливо a + b = b + a.
Ассоциативность сложения
Для любых двух величин a, b, с A справедливо a + (b + c) = (a + b) + c.
Монотонность сложения
Для любых двух величин a, b A справедливо a + b > a.
Транзитивность отношения
Для любых трех величин a, b, с A. Если a < b и b < c, то a < c.
Возможность суммирования
Для любых двух величин a, b, с A существует однозначно определенная величина c = a + b.
Возможность вычитания
Для любых двух величин a, b, с A если a > b, то существует одна и только одна величина c A, для которой b + c = a.
Возможность деления
Какова бы ни была величина a A и натуральное число n, найдется такая величина b A, что n * b = a.
Возможность сравнения
Для любых двух величин a, b A имеет место одно из трех отношений: a = b, a < b, a > b.
Аксиома Архимеда или Евдокса
Каковы бы ни были величины a, b A, существует такое n, что n* b > a
9) Аксиома соизмеримости отрезков
Пусть последовательность величин ai A, i = 1…n обладает свойством a1 < a2 <… < an <…, а последовательность bi A, i = 1…n свойством b1 < b2 <… < bn <… , при этом ai < bi для любых i, j N.
Пусть для любого > 0 существует такое N(), что при всех n > N разность |an – bn| < . Тогда существует единственный элемент c A, удовлетворяющий условиям ai < с, с < bj для любых i, j N.
2. Запишите некоторые аксиомы действительных чисел на языке логики предикатов, используя ограниченные кванторы:
x + x’ = 0 (для любого x R существует x’ R, противоположный x)
x y x > y или y > x (для любых x, y R)
(x * y) * z = x * (y * z) (для любых x, y, z R)
x > x ( для любого x R)
(x + y) * z = x * z + y * z (для любых x, y, z R)
(x > y, y > z) (x > z) (для любых x, y, z R)
x 0 x* x’ = 1 (для любого x R. и x 0 существует x’ R, x’ – обратный элемент для x)
(x > y) (x + z > y +z) (для любых x, y, z R)
x * 1 = x, 1 R (для любого x R)
(x > y, z > 0) (x* z > y * z) (для любых x, y, z R)