may05119

Сос т авит ел ь

пре подават е л ь кафедры

«М е ж дународнойэкономики и

внеш неэкономич ес койдеят ел ь -

нос т и», кандидат т ехнич е с ких

наукГайворонс кая С.А.

Реце нзент

Ст арш ийпреподават ел ь , кафедры

М М И О факул ь т ет а П М М Воро-

неж с кого гос ударс т ве нного уни-

верс ит е т а, Б ондаре нко Ю .В.

принадл е ж ит к первич ным, неопре дел яемы м понят иям.

М ы т ол ько мож е м

привес т и примеры : множ е с т во с т уде нт ов в аудит ории,

множ ес т во с т уден-

т ов, пол уч ивш ихнаэкзамене оце нку «пят ь», и т .д.

О бъект ы, входящ ие в множ е с т во, будем называт ь э л ем ента м и м но -

ж ес тва .

М нож ес т ваобознач аю т с я бол ь ш ими буквами, аих эл е ме нт ы – ма-

л е нь кими.

Т акж е

множ е с т ва обознач аю т с я кругами,

их называю т

круги

Э йлер-В ена .

Е с л и x явл яет с я эл емент ом множ ес т ва X , т о пиш ут x X , в прот ив-

ном с л уч ае -

x X .

Е с л и

31 ,...,2 xn,

,x– x

некот орые

эл е ме нт ы,

т о

запис ь

= {

31 ,...2, xn,}

,означx X x аеx т ,

ч т о

множ е с т во

X с ос т оит

из эл емент ов

31 ,...,2 xn, . ,x

x

П ус т ь

X и Y – двамнож е с т ва. Ес л и

X и Y с ос т оят из однихи т ехж е

эл емент ов, т о говорят , ч т о они с овпадаю т :

X = Y .

Е с л и множ ес т во с одерж ит

л иш ь коне ч ное ч ис л о эл еме нт ов,

т о оно

называе т с я ко нечны м , в прот ивном с л уч ае множ е с т во – б ес ко нечно .

Способы за да ния м ножеств

1. П ереч ис л ение вс ехэл емент ов данного множ ес т ва:

= {

, d,}cA. b a

Н о не вс е гдаэл емент ы мож но переч ис л ит ь .

2. С помощ ь ю характ ерис т ич е с кого с войс т ва,

кот оры м обл адаю т

эл емен-

т ы данного множ ес т ваи не обл адаю т эл емент ы другого множ ес т ва.

П ус т ь

P (x)

– какое-т о с войс т во ч ис л а x ,

т огда запис ь {

(xx)}Pознач ае т

множ ес т во вс е хч ис ел , обл адаю щ ихс войс т вом

P (x).

Пр им ер ы .

1. {

2

x

x−=3x0}+-2ес т ь с овокупнос т ь корне йуравне ния x2

x

−=30 ,+т2.е.

эт о множ ес т во с ос т оит из двухэл е мент ов {

21,}.

2. {x

3 < x < 7} –

4

множ е с т во вс ех ч ис ел , удовл ет воряю щ их нераве нс т ву

3 < x < 7 , т .е . x (

7,3).

3.

Q={ m - нес ократ имы е, mÎZ, nÎN} – множ е с т во рационал ь ны хч ис ел .

n

4.

R={-¥, +¥} – множ ес т во де йс т вит ел ь ныхч ис ел .

Опер а ции на дм ножеств а м и

1.

О бъединение м ножеств .

Об ъединением двух м но ж ес тв Х и Y назы -

вает с я множ ес т во, с ос т оящ е е

из

эл еме нт ов,

кот оры е принадл е ж ат множ ес т ву Х

ил и мно-

X

Y

ж е с т ву Y. О бознач ает с я Х ÈY.

Х ÈY = {x½ х Х ил и х Y }.

2.

Пер есечение м ножеств .

П ерес ечением двух м но ж ес тв Х и Y называ-

ет с я множ е с т во, с ос т оящ ее из эл еме нт ов, кот о-

ры е принадл е ж ат как множ ес т ву Х , т ак и мно-

X

Z

Y

ж е с т ву Y, т .е. их общ ая ч ас т ь .

О бознач ает с я

Х ÇY, Х ÇY = {x½ х Х и х Y },

нарис унке пе-

рес еч ение множ ес т в Х и Y – множ ес т во Z.

3. Ра зностьм ножеств .

Разнос т ью

множ ес т в Х

и Y

называе т с я

множ ес т во, с ос т оящ ее из вс ех эл е мент ов мно-

ж е с т ваХ , не принадл еж ащ ихмнож ес т ву Y.

X

Y

О бознач ает с я Х \Y = {х½хÎХ и хÏY},

(нарис унке разнос т ь множ е с т в заш т рихована)

Допол нение м ножеств

М нож ес т во вс ех эл емент ов

Х , не

принадл е ж ащ их

множ ес т ву Y, явл яе т с я до по лнением

множ е с т ваY до

множ ес т ва Х .

О бознач ает с я

Х ,

(на рис унке за-

Y

X

ш т рихованная

ч ас т ь ). Н апример, множ е с т во цел ых

непол ож ит е л ь ных ч ис е л ес т ь

допол не ние множ ес т ва

Х

Y

N нат урал ь ны хч ис ел до множ е с т вацел ы хч ис е л .

ч ении x , т огда{

(

)

} {

x x(

,+¥)x}.¥x- Î x 14= ++6 =7 2 3

П роводя анал огич ные рас с уж дения мож но ре ш ит ь с л едую щ ие задач и:

3.

{

} {

x x[0, x¥x)+}x Î= =

4.

{

} {

x Z[ , x2 ¥x )+},

Îx ,ZxÎx2Î = ³

В примерах5-8 необходимо рас с мот ре т ь корни уравнения, ими явл яю т -

с я ч ис л а- 1, 1 , ±

.

2

2

ì

æ

1 ö

2

ü

5.

íx

x Î N,

(x +1)ç x -

÷

(x

- 2) = 0ý

= Æ

î

è

2 ø

þ

ì

æ

1 ö

2

ü

6.

íx

x Î Z,

(x +1)ç x

-

÷

(x

- 2) = 0ý

= {-1}

î

è

2 ø

þ

ì

æ

1 ö

2

ü

ì

1

ü

7.

íx

x ÎQ,

(x +1)ç x

-

÷

(x

- 2) = 0ý

= í-1,

ý

î

è

2 ø

þ

î

2

þ

ì

æ

1 ö

2

ü

ì

1

ü

8.

íx

x Î R, (x +1)ç x

-

÷

(x

- 2) = 0ý

= í-1,

, -

2, 2ý

î

è

2 ø

þ

î

2

þ

x>0

x<0

0

x

О ч е видно,

ч т о

множ ес т ва

не

пе рес екаю т с я,

т .е.

М нож е с т во {x

x N, x = 2n}

- эт о множ ес т во нат у-

N

рал ь ныхч ет ныхч ис ел . Разнос т ь ю множ ес т вавс ех

нат урал ь ныхи нат урал ь ныхч ет ныхч ис ел явл яет -

x=2n

с я

множ е с т во нат урал ь ны х неч е т ных ч ис е л , т .е.

N \{x

x N, x = 2n} = {x

x N, x = 2n −1} .

b)

= NZ \ UN{0} _

c) Z \ {x

x Z, x ≤ 0} = N

Z

Z

N_

N

c)

K \ P , где

K – множ ес т во т оч екпл ос кос т и, рас с т ояние от кот орыхдо

т оч ки О

не превыш ает

2 с м, P – множ ес т во т оч ек пл ос кос т и, рас -

дл я л ю бого пол ож ит ел ь ного ч ис л а А с ущ ес т вует эл е мент

xn эт ойпос л едо-

ват ел ь нос т и, удовл ет воряю щ ий нераве нс т ву

xn

> A, т .е.

л ибо xn > A , л ибо

xn < -A.

2.

{-n} = {-1, - 2, - 3, ..., - n,...} - огранич ена с верху, но не огранич ена с низу

M = −1, т .е. xn £ -1.

3.

íì1,

1

,

1

, ...,

1

, ...ýü - огранич е на, " xn Î{xn }: 0 £ xn £1.

2

î

3

n

þ

4.

{-1, - 2, - 3, - 4, - 5,..., (-1)n ,...} – неогранич енная, т аккаккакого бы не был о

ч ис л о

A , с реди эл еме нт ов эт ой пос л е доват е л ь нос т и найдут с я т акие эл е -

мент ы, ч т о:

xn

> A .

равенс т во

xn

> A, например, {n} = {1, 2, 3, ..., n,...}, {n2} = {1, 4, 9, ..., n2 ,...}.

Символ ич ес кая запис ь

опреде л ения бес коне ч но бол ь ш ой пос л едова-

т е л ь нос т и: (

0)( ): (

)

n

> A . Þx > N"A n $"N >

Опр едел ение 6. П ос л едоват е л ь нос т ь {αn } называе т с я

б ес ко нечно м а ло й,

ес л и дл я л ю бого пол ож ит ел ь ного ч ис л аε с ущ ес т вует

номер N т акой, ч т о

равенс т во

αn

< ε , например,

íì

1

ýü , íì

1

ýü .

în

þ în3

þ

Символ ич ес кая запис ь опре дел ения бес конеч но мал ой пос л е доват е л ь -

нос т и: (

0)(

):ε(

N N ) n

n

< ε .

Þα > "

$" >

Т еор ем а .

Е с л и

{xn }

– бес коне ч но бол ь ш ая пос л едоват ел ь нос т ь , и вс е ее

ì

1

ü

ч л е ны от л ич ны от нул я, т о пос л едоват ел ь нос т ь

í

ý - бес конеч но мал ая, и

обрат но, ес л и {αn }

î

хn þ

- бес коне ч но мал ая пос л едоват ел ь нос т ь и αn ¹ 0 , т о по-

ì

1

ü

с л едоват ел ь нос т ь í

ý - бе с конеч но бол ь ш ая.

îαn þ

о крес тно с тью

ил и

δ-окре с т нос т ь ю т оч ки a .

0

а-d

а

а+d

Ут верж дение

x δ -окрес т нос т и т оч ки a эквивал ент но выпол не нию

нераве нс т ва

x - а

£ δ .

{xn } ,

Опр едел ение 2. Ч ис л о а называет с я пре дел ом пос л е доват е л ь нос т и

ес л и дл я л ю бого пол ож ит ел ь ного ч ис л аε с ущ ес т вует

номер N т акой, ч т о

при n > N выпол няет с я неравенс т во

xn - a

< ε .

С

помощ ью

с имвол ов

эт о

опреде л ение

мож но запис ат ь :

( ε 0)(

): (

)

n a

< xε -. N NÞn > " $" >

П ос л е доват е л ь нос т ь, име ю щ ая преде л называет с я с хо дящейс я.

Е с л и пос л едоват ел ь нос т ь с ходит с я и име ет с воим предел ом ч ис л о a ,

т о с имвол ич е с ки эт о запис ывае т с я: xn ® a

при n → ∞ ил и lim xn = a .

n→∞

П ос л едоват ел ь нос т ь ,

не явл яю щ аяс я с ходящ е йс я, называе т с я ра с хо -

дящ ейс я.

Св ой ств а сходящ

ихся посл едов а тел ьностей

1.

Сходящ аяс я пос л е доват е л ь нос т ь име ет т ол ько один предел .

2.

Сходящ аяс я пос л е доват е л ь нос т ь огранич е на.

3.

Сумма (разнос т ь ) двух с ходящ ихс я

пос л едоват ел ь нос т е й {xn } и

{yn}

4.

П роизве дение двух с ходящ ихс я пос л едоват ел ь нос т е й {xn } и {yn }

ес т ь

с ходящ аяс я пос л е доват ел ь нос т ь , преде л кот орой равен произведению

пре -

дел ов пос л едоват ел ь нос т е й{xn } и {yn } .

5.

Ч ас т ное двухс ходящ ихс я пос л е доват е л ь нос т ей {xn }

и {yn } при ус л овии

n→∞ yn ¹ 0 , е с т ь limс ходящ аяс я пос л едоват е л ь нос т ь , пре дел

кот орой равен ч а-

с т ному преде л ов пос л едоват ел ь нос т е й{xn } и {yn } .

6.

Е с л и эл емент ы с ходящ е йс я пос л едоват ел ь нос т и {xn } , нач иная с некот о-

рого номера, удовл ет воряю т нераве нс т ву xn ³ b ( xn £ b ), т о и преде л а

эт ой

пос л едоват ел ь нос т и удовл ет воряет неравенс т ву a ³ b ( a £ b ).

возрас т аю щ ей, ес л и xn

< xn+1

дл я вс ех n ;

не убываю щ е й, ес л и xn

£ xn+1

дл я вс ех n ;

убываю щ ей, е с л и xn > xn+1

дл я вс ех n ;

не возрас т аю щ е й, е с л и xn

³ xn+1 дл я вс ех n .

Пр им ер ы .

1.

1, 1

, 1

, ...,

1

, ... - убываю щ ая и огранич е нная.

2

3

n

2.

1

1

,

1

,

1

, ...,

1

,

1

,... - невозрас т аю щ ая и огранич е нная.

, 1, ,

2

3

3

n

n

2

1.

1, 2, 3,…

…

., n,…

.. – возрас т аю щ ая и неогранич е нная.

2.

1 ,

2 ,

3

, ...,

n

, ... - возрас т аю щ ая и огранич енная.

4

n +1

2

3

Рас с мот рим пос л едоват ел ь нос т ь {xn } с общ им эл емент ом

æ

1

ön

xn = ç1

+

÷

. Э т а

n

è

ø

пос л едоват ел ь нос т ь

с ходит с я

и

ее

преде л

равен

æ

1 ön

x

n

=

ç1

+

lim÷ = e

elim»

...

7182,

, 2

n

n

∞ →

→∞

è

n ø

a)

xn =

n

n + 1

И с пол ь зуе м

опреде л ение

ч ис л овой

пос л е доват ел ь нос т и

n =

5,.4, 3, 2,1

П одс т авл яем

знач е ния в

формул у

общ его

ч л е на xn ,

пол уч ае м:

1 ;

2 ;

3 ;

4 ;

5

2

3

4

5

6

b)

xn =

1

2n + 1

5,,4,имее3, 2,1 м: 1 ;

1 ;

1

1 ;

1

Анал огич но, пол агая n =

;

7

11

3

5

9

a)

1;

1

;

1

;

1

;

1

;...

3

5

7

92

2

2