may05119

61

Сл уч айному с обыт ию

бл агоприят с т вует л иш ь

ч ас т ь

из общ е го ч ис л а

эл емент арныхис ходов ис пыт ания. В эт ом с л уч ае 0 < m < n , знач ит , 0 < m <1,

с л едоват ел ь но 0 < P(A)<1.

n

И т ак, вероят нос т ь

л ю бого

с обыт ия

удовл ет воряет

нераве нс т ву

0 ≤ P( A) ≤ 1.

Опер а ции на дсобы тиям и

1.

С ум м о й с о б ы тий А и В называю т с обыт ие , с ос т оящ ее в появл ении с о-

быт ия А, ил и с обыт ия В, ил и обоихэт ихс обыт ий. О бознач аю т : А+В.

2.

П ро изведением с о б ы тий А и В называю т

с обыт ие АВ, с ос т оящ ее в с о-

вмес т ном появл ении (с овмещ е нии) эт ихс обыт ий.

Т еор ем а 1 (о веро ятно с ти с ум м ы

с о б ы тий).

1.

Е с л и с обыт ия А и В не с овме с т ны, т о P( A + B) = P ( A) + P (B) .

2.

Е с л и с обыт ия А и В с овмес т ны , т о P( A + B) = P ( A) + P (B) − P ( AB) .

Т еор ем а 2.

Сумма вероят нос т ей

прот ивопол ож ных

с обыт ий

равна

единице:

( ) + (

А)Р= 1Р. А

Пр им ер 2.

В урне 30 ш аров: 10 крас ных, 5 с инихи 15 бе л ы х. Н айт и вероят нос т ь по-

явл ения цвет ного ш ара.

Реш ение .

П оявл е ние цвет ного ш араознач ает

появл ение л ибо крас ного, л ибо с ине го

ш ара.

m

10

==1 . =

Вероят нос т ь появл е ния крас ного ш ара(с обыт ие А): Р (А)

m

n

5

30

1

3

Вероят нос т ь появл е ния с ине го ш ара(с обыт ие В ): Р (А)

==

. =

n

30

6

Событ ия А и В нес овме с т ны (появл ение ш араодного цвет аис кл ю ч ает по-

явл ение ш арадругого цвет а), поэт ому т еоре мас л ож ения применима.

И с комая вероят нос т ь опреде л яет с я:

(

)

( )

(В )Р 1 А1Р= 1 В=Р0,А5 .

+

=

+ + =

Пр им ер 3.

3

6

2

П о миш ени производят с я 3

выс т рел а и

рас с мат риваю т с я

с обыт ия:

B1

-

промахпри пе рвом выс т ре л е ;

B2

- промахпри вт ором выс т рел е;

B3 - про-

мах при т ре т ь е м выс т рел е , т о с обыт ие

=

BB31Bс1Bос т оит

в т ом,

ч т о в ми-

Заус л овную ве роят нос т ь принимаю т вел ич ину:

PB ( A) =

P ( AB)

.

P(B)

Пр им ер .

В урне 3 бе л ых и 7

ч ерны х ш аров. Вынимаю т

один ш ар, азат ем вт орой.

Н айт и вероят нос т ь

т ого, ч т о первы й из взят ых ш аров – бел ы й, авт орой

ч ерны й.

Реш ение .

(

)

( )

А (В )

3

7

7

230,=. ×

Р

А Р

Р АВ»=

=

10

9

30

§4. Ф ор м ул а пол ной

в ер оятности

П ус т ь с обыт ие А мож ет нас т упит ь при ус л овии появл ения одного из

нес овме с т ных с обыт ий

1,

2 ,..., Н nН ,

Нобразую щ их пол ную группу, с л едо-

ват ел ь но, они е динс т венно возмож ны

и не с овме с т ны.

П ос кол ь ку заранее

неизвес т но, какое из эт ихс обыт ийнас т упит , ихназываю т гипо теза м и. Т о-

гдавероят нос т ь т акого с обыт ия А опреде л яе т с я по формул е :

Р (А) (

1

)

( )

(

2

)

(

) ... +

(+= )

(A) P + H P

H

A P H P A

1

2

H n n H

63

ч у взят адет ал ь и пере л ож енав первую . Н айт и вероят нос т ь т ого,

ч т о де -

т ал ь , наудач у извл еч енная из первойкоробки, будет с т андарт ной.

Реш ение .

О бознач им ч ерез А с обыт ие «из первойкоробки извл еч енас т андарт ная де -

т ал ь».

И з вт орой коробки могл абыт ь извл еч енал ибо с т андарт ная де т ал ь (с обы -

т ие Н 1 ) ил и нес т андарт ная (с обыт ие Н 2 ).

Вероят нос т ь

т ого,

ч т о из вт орой коробки извл еч е на с т андарт ная де т ал ь ,

Р (Н 1 ) =

9

.

10

Вероят нос т ь т ого,

ч т о из вт орой коробки извл е ч енанес т андарт ная дет ал ь,

Р (Н 21 )=

1

.

10

Ус л овная вероят нос т ь т ого,

ч т о из первой коробки извл еч енас т андарт ная

дет ал ь, при ус л овии, ч т о из вт орой коробки в первую

был а перел ож е на

с т андарт ная дет ал ь, равнаР Н 1 (А) =

19

.

21

Ус л овная вероят нос т ь т ого,

ч т о из первой коробки извл еч енас т андарт ная

дет ал ь, при ус л овии, ч т о из вт оройкоробки в пе рвую был апере л ож енане -

с т андарт ная дет ал ь, равнаР Н 2 (А) =

18 .

21

И с комая вероят нос т ь

т ого,

ч т о из пе рвой коробки будет

извл еч енас т ан-

дарт ная дет ал ь , по формул е пол нойвероят нос т и равна

Р (А)

( 1 )

H1 (

)

( 2 ) H 2 (A)

9

19

1

18

9

P

H P

A

PP

H= 0,9=.

×

+

× ==

+

10

21

10

21

10

§5. Ф ор м ул а Бей еса

П ус т ь с обыт ие А мож ет

нас т упит ь при ус л овии появл ения одного из

нес овме с т ныхс обыт ий

1,

2 ,..., Н nН- гипотН

ез, образую щ ихпол ную

группу.

П риведенны е

ниж е формул ы

называю т

формул ами Б ейе с а и позвол яю т

переоце нит ь

вероят нос т и

гипот ез пос л е

т ого,

как с т ановит с я изве с т ны м

резул ьт ат ис пыт ания, в ит оге кот орого появил ос ь с обыт ие А.

Р А (Н i )=

P(H i )Р H (A)

i

P(H

1

)Р

( )

A(H P)+Р

(

)

...A +

(+H P)Р

(A)

H

Пр им ер .

1

2

2

H n nH

В т орговую фирму пос т упил и т е л евизоры от

т рех пос т авщ иков в от нош е -

нии 1:4:5. П ракт икапоказал а, ч т о т е л евизоры ,

пос т упаю щ ие от

пе рвого,

вт орого и т рет ь его пос т авщ иков,

не пот ребую т

ремонт ав т е ч ение гаран-

т ийного с рокав 98%, 88%

и 92% с л уч аев. Н айт и вероят нос т ь т ого, ч т о по-

с т упивш ий в т орговую

фирму т е л евизор не пот ре бует

ремонт ав т еч е ние

гарант ийного с рока.

Реш ение .

О бознач им: ч ерез A1

с обыт ие,

с ос т оящ ее в т ом,

ч т о т ел евизор пос т упил от

первого пос т авщ ика,

ч ере з

A2 -

от вт орого пос т авщ ика и ч ере з

A3 -

от

64

т рет ь его пос т авщ ика; H - т ел е визор не пот ре бует ремонт ав т еч ение гаран-

т ийного с рока. П о ус л овию :

P(A1 ) =

1

= 01, ;

PA1 (H ) = 980;,

1

+ 4 + 5

4

P(A2 )=

=

04, ;

PA2

(H ) =

880;,

1

+ 4 +

5

P(A1 ) =

5

=

05, ;

PA3

(H )=

920.,

1

+ 4 +

5

П о формул е пол нойвероят нос т и: P(H )

= 91×., 0 + 92 , ×0 ,5 0+= 88× , 0

формул ы Б е рнул л и:

Pn (k) =

n!

p q −kk n

!(

- kk)! n

да

эл ект роэнергии в

каж ды е

с ут ки

т акж е

пос т оянна

и

равна

q =

− p = −

=

25,, 0n =

751k ,=04. 16,

И с комая вероят нос т ь по формул е Б ернул л и равна

n!

−kk

n

6!

4

2

Pn (k) =

p q

(

) (

) = 30., 0

25 , 0

750,

=

( -

!( - kk)! n

)! 4

64!

§7. Сл уча й ны е в ел ичины .

Опр едел ение 1. С л уча йно й на зы ва ю т величину, кот орая в резул ь т ат е

ис -

пыт ания примет

одно и т ол ь ко одно возмож ное

знач е ние, заранее

не из-

ес т ь с л уч айная вел ич ина,

кот орая имеет с л е дую щ ие

возмож ны е

знач е ния

0, 1, 2, … ., 100.

Б уде м обознач ат ь

с л уч айны е вел ич ины пропис ными

буквами

X , Y , Z , ихвозмож ные знач е ния - с оот вет с т вую щ ими с т роч ными буквами

x, y, z .

Опр едел ение 2. Дис кретно й (прерывной) называю т

с л уч айную

вел ич ину,

ве л ич ины пе рвая с т рокат абл ицы с одерж ит

возмож ные знач ения, авт орая

– ихвероят нос т и:

X

x1

x2

…

xn

p

p1

p2

…

pn

Опр едел ение 4.

Н епреры вно й

называю т

с л уч айную ве л ич ину, кот орая

в 50 руб. и дес ят ь

выигрыш е й по 1 руб. Н айт и закон рас преде л ения с л у-

ч айнойве л ич ины

Х - с т оимос т и возмож ного выигрыш адл я вл аде л ь цаод-

ного л от ерейного бил ет а.

Реш ение .

Н апиш е м возмож ны е знач е ния Х : x1 = 50 ,

x2

= 1,

x3

= 0 . Ве роят нос т и эт их

возмож ных

знач е ний

т аковы :

р1

=

1

=

010,,

p2 =

10

= 01, ,

p3

(

) = 89 .,+0 = −01 , 01 1, 0

100

100

X

50

1

0

p

0,01

0,1

0,89

ч ины мож но изобразит ь

графич ес ки, дл я ч е го в прямоугол ь ной с ис т еме

координат с т роят т оч ки

(хi , pi ), азат е м с оединяю т их от ре зками прямых.

П ол уч е нную фигуру называю т м но го уго л ьнико м ра с пределения.

ве роят нос т и:

( )

2

...

=

n

p+ x.

i

+=

p+x

p x p x M X

2 1 1

å

i

n n

( )

[

(

)]2

[ 1

( )]2

1 [ 2

(

)]2

2

... [ n

( )]2 × pn

X -M +x + ×

Пр им ер 2.

с л уч айной вел ич ины Х,

Н айт и дис перс ию

кот орая заданас л е дую щ им за-

коном рас предел ения:

X

1

2

5

Реш ение .

p

0,3

0,5

0,2

Н айдем мат е мат ич ес кое ож идание: M (X )

=

,3×.2 +2, 0 ×5

+,5=0 ×2 1,3 0

П о опре дел ению

дис перс ии:

D(X ) (

)

(

)

(

)2

= 01× , 2 2 2,- 0 +,3 2× 5 ,5- 0 + 3, 2× 2=

67

2.

П ос т оянныймнож ит е л ь мож но вынос ит ь зазнакдис перс ии, возводя е го

в квадрат: D( )= С 2 D(ХС)Х

3.

Д ис перс ия с уммы двух не завис имых с л уч айны х вел ич ин равнас умме

дис пе рс ийэт ихвел ич ин: D(Х Y ) D(Х) + D+(Y ) =

4.

Д ис перс ия разнос т и двухне завис имыхс л уч айныхвел ич ин равнас умме

ихдис перс ий: D(Х Y ) D(Х)+ D−(Y ) =

изуч аю щ ий мет оды

с бора, с ис т емат изации и обработ ки резул ь т ат ов на-

бл ю дений с цел ь ю

выявл е ния с т ат ис т ич ес ких закономернос т е й. Законы

ч ес т венны х характ ерис т иках бол ь ш ой группы объе кт ов, изуч ая

с равни-

т е л ь но небол ь ш ие группы объект ов.

Совре менную мат е мат ич ес кую с т ат ис т ику опреде л яю т как науку о

принят ии реш енийв ус л овияхнеопредел е ннос т и.

З а да ча м а тем а тичес ко й с та тис тики с ос т оит в с оздании

ме т одов

В ы б о ро чно й с о во купно с тью

ил и

вы б о рко й называю т

с овокупнос т ь

с л уч айно от обранны хобъект ов.

Генера льно й с о во купно с тью

называю т с овокупнос т ь

объект ов, из

кот оры хпроизводит с я выборка.

Об ъем о м с о во купно с ти (выбороч ной ил и ге нерал ь ной) называю т

ч ис л о объект ов эт ойс овокупнос т и.

По вто рно й называю т выборку,

при кот орой от обранны й объе кт

набл ю дал ос ь n1 раз,

x2

- n2 раз, xk

- nk раз. Э т у выборку запис ываю т в ви-

де т абл ицы :

Вариант ы

x1

x2

n 3

...

...

...

xk

Ч ас т от ы

n1

n2

n3

...

...

...

nk

åni = n

68

xi называю т с я ва риа н-

- объем выборки. Н абл ю даемы е знач ения

i

та м и, апос л едоват ел ь нос т ь

вариант ,

запис анны х в возрас т аю щ е м поряд-

ке , ва риа цио нны м рядо м . Ч ис л анабл ю денийназываю т ча с то та м и.

О т нош е ние ч ас т от к объему выборки называю т о тно с ительны м и ча с то -

та м и, ил и ча с то с тям и,

и обознач аю т Wi

=

ni

n

С та тис тичес ким ра с пределением вы б о рки называю т переч е нь вари-

ант

и с оот вет с т вую щ

их им ч ас т от

ил и от нос ит е л ь ныхч ас т от . Ст ат ис т ич е -

с кое рас преде л е ние мож но задат ь т акж е в виде пос л едоват ел ь нос т и инт ер-

вал ов и с оот вет с т вую щ ихим ч ас т от (в кач ес т ве ч ас т от ы , с оот вет с т вую щ ей

инт ервал у, принимаю т с умму ч ас т от , попавш ихв эт от инт ервал ).

Пр им ер 1.

Задано рас предел ение ч ас т от выборки

xi

2

6

12

ni

3

10

7

Запис ат ь рас пре дел ение

от нос

ит ел ь ны

хч ас т от .

Реш ение .

Н айдем объе м выборки

1

2

n3

nn

n

= 20+.

7+3 =10 +=

+

П ол ь зуяс ь формул ой, найде м

от нос ит е л ь ны е ч ас т от ы :

W1

n1

3

= 150=, W2

= 10

= 500, W3

=

7

=

350., П роверка:

+

+

= 1. 35 , 0 50 , 0 1

n

20

20

20

xi

2

6

12

Wi

0,15

0,50

0,35

§2. Пол игон и гистогр а м м а .

Д л я нагл яднос т и с т роят

разл ич ные графики с т ат ис т ич е с кого рас пре -

дел ения и, в ч ас т нос т и, по лиго ни гис то гра м м у.

П ол игон ч ас т от ис пол ь зую т дл я характ ерис т ики дис кретно го

ряда ,

т .е вариант ы в нём принимаю т конкре т ны е знач е ния (0, 1,

2, ...). П о лиго -

но м ча с то т называю т

л оманную ,

от резки

кот орой с ое диняю т

т оч ки

(x1 , n1 ), (x2 , n2 ),… ,(xk , nk ).

Д л я пос т роения пол игонач ас т от

наос и абс цис с

xi

2

6

12

ni

3

10

7

ni

10

7

3

1

xi

0

2

6

12

В с л уч ае непреры вно го

призна ка цел ес ообразно с т роит ь гис т ограм-

му, дл я ч е го инт ервал , в кот ором

закл ю ч е ны

вс е набл ю даемы е знач е ния

ходят дл я каж дого ч ас т ич ного инт ервал а ni - с умму ч ас т от

вариант , по-

павш ихв i -йинт е рвал .

Гис то гра м м о й ча с то т называю т

с т упенч ат ую фигуру,

с ос т оящ ую

из прямоугол ь ников, ос нованиями кот оры х с л уж ат ч ас т ич ные

инт ервал ы

дл иной h , авыс от ы равны от нош ению

ni

(признакч ас т от ы ).

h

ni

П л ощ адь i -го ч ас т ич ного прямоугол ь ника равна h ×

= ni - с умме

h

ча с то т равнас умме вс ехч ас т от , т .е. объему выборки.

Гис то гра м м о й о тно с ительны х ча с то т называю т с т упенч ат ую

фи-

гуру, с ос т оящ ую из прямоугол ь ников, ос нованиями кот орых с л уж ат

ч ас -

Ч ас т ич ныйинт ервал

Суммач ас т от вариант

П

л от нос т ь ч ас т от ы

ni

дл иной h = 5

ч ас т ич ного инт ервал аni

h

5-10

4

0,8

10-15

6

1,2

15-20

16

3,2

20-25

36

7,2

25-30

24

4,8

30-35

10

2,0

35-40

4

0,8

0

x

5

15

25

35

k

с умму ч ас т от :

å xi ni

,

x

=

i=1

n

л ю : åk

i ( i −

)n= 0x.

x

i=1

k

2

ni

Дис перс ией называет с я вел ич ина, равная:

( )= å( i −

x

)

x

,

D x

i=1

n

где n - объём с т ат ис т ич е с койс овокупнос т и вариационного ряда;

xi - знач е ние признакаx .

С реднеква дра тично е о ткло нение, эт о вел ич ина, равная σ =

.

D

М о до й

M 0 называю т вариант , кот орому с оот вет с т вуе т наибол ь ш ая ч ас т о-

т а. Н апример, модаравна7 дл я ряда

вариант

1

4

7

9

ч ас т от а

5

1

20

6

ч ас т и, равные

по ч ис л у

вариант ов.

Ес л и ч ис л о

вариант

неч ет ное,

т .е.

n = 2k + 1, т о me

= xk +1 ; при ч ет ном n = 2k

ме дианаme

=

xk + xk +1

.

2

Н апример, дл я ряда2

3 5

6 7 медианаравна5; дл я ряда2

3 5 6 7

9,

медианаравна

(5 + 6)

=

55, .

2