Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

may05119

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.05.2015

Размер:

670.28 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Рас с мот рим примеры ис с л едования функции и пос т рое ния ее графи-

ка.

Пр им ер 1.

И с с л е доват ь функцию

y =

4x3 - x4

, пос т роит ь график.

Ф ункция опреде л енанавс ейч ис л овойос и, т .е . D( f )

( ,

¥)+. =¥-

П роверим ч ет нос т ь функции, дл я эт ого рас с мот рим

f (- x) =

)3 - (- -)4

- 4 -

= -

4 + x4

3 x4

П ол уч аем, ч т о

) ¹

(x)f,f (x )- - ¹(x)f, значf xит , эт о функция общ е го вида.

И с с л едуемая функция не явл яе т с я периодич ес кой.

Д анная функция непрерывнав каж дойт оч ке обл ас т и опреде л ения, т .к.

(4x3 lim- x4 )=

4x0

- x0

, т .е. lim (

) =

(x0 f). f x

5 x→ x0

x→x0

Н айдем т оч ки перес е ч ения функции с ос ями координат .

x = 0 , т огда f (x)= 0

f (x) = 0 , при

x = 4 , x = 0 .

Знач ит , (

40,) и (

0,)

- т оч ки пере с еч ения с координат ными ос ями.

Верт икал ь ных ас импт от функция

не

име ет ,

т .к.

вс ю ду

не прерывна.

П роверим, имее т л и функция накл онную ас импт от у:

lim

x2 (4

x) lim-¥ ,=

5 x

+∞

→

→+∞

lim

x2 (4

x) lim+¥ =

5 x

−∞

→

→−∞

Сл едоват ел ь но, накл оннойас импт от ы функция не име ет .

7. ' ( ) =	4	2 (3 - x), f 'xx( )=f 0x, при x = 0 и x = 3, кот орые явл яю т с я крит ич е -
	5

с кими т оч ками. И с с л едуем эт и т оч ки, опреде л яя знакпроизводной, с л еваи с праваот эт ихт оч ек

		+			+		max	-	Знакf’(x)
							3		Знакf(x)
						0	3		Знакf(x)
	f ' (x) > 0	при x			( Î¥,-3), т .е. функция наэт ом инт ервал е возрас т ает ;
	f ' (x)< 0	при x			(3,Î ¥)+, т .е. функция наэт ом инт ервал е убывает .
	f ' (x) при переходе ч ере з т оч ку x = 3 ме няе т знакс «+» на«-», т .е. эт о
т оч камакс имума,					fmax ( ) =3 4, .5
	f ' (x) при переходе ч ере з т оч ку x = 0 не ме няе т знак, поэт ому в эт ойт оч -
ке экс т ремуманет .
8.	' ' ( ) =		12	(2 − x ), fx (xf)= x0			при''	x = 0 и	x = 2 . Э т и знач е ния	x могут
8.	' ' ( ) =			(2 − x ), fx (xf)= x0			при''	x = 0 и	x = 2 . Э т и знач е ния	x могут
		5
быт ь абс цис с ами т оч е кпе региба. И с с л едуе м их, определ яя знак f ''										с л е ваи

с праваэт ихт оч ек:

перегиб

- Знакf’’(x)

Знакf(x)

при' '

(x)< 0

x (

)U (

,+2¥),,т0.е. функцияÎ¥-

наэт ихинт ервал ахиме ет

выпукл ос т ь, направл енную вверх;

(x)> 0

при' '

x Î(

02,), т .е. функция наэт ом инт ервал е имее т выпукл ос т ь ,

направл енную вниз;

f '' (x) при переходе ч ерез т оч ки x = 0 , x = 2 функция имее т разные направл е ния выпукл ос т и, т .е. эт о т оч ки перегиба, f (2)= 165 = 32,, f (0)= 0 .

Уч ит ывая вс е пол уч е нные ре зул ь т ат ы ис с л едования, с т роим график:

Пр им ер 2.						1 - x3
И с с л е доват ь функцию y =						1 - x3		, пос т роит ь график.
И с с л е доват ь функцию y =								, пос т роит ь график.
						x2
1.	Ф ункция опреде л енанавс ейч ис л овойос и, кроме т оч ки x = 0 , т .е.
	D( f ) (		)U ( , 0 ¥)+,.0					=¥-
2.	П роверим ч ет нос т ь функции, дл я эт ого рас с мот рим
	f (- x)=	1 - (- x)3		=	1 + x3
	f (- x)=	(- x)2		=	x2
		(- x)2			x2
П ол уч аем, ч т о			(-	) ¹ (x)f,f			(x )- - ¹(x)f, значf xит , эт о функция общ е го вида.

3.И с с л едуемая функция не явл яе т с я периодич ес кой.

4.Д анная функция непрерывнав каж дойт оч ке обл ас т и опреде л ения, т .к.

lim

1 - x3

1 - x0

, т .е .

lim ( )= (x0 f). f x

x0 2

x→x0

В т оч ке x = 0 функция имее т разрыв 2 рода, т .к. lim

1 - x3

= +¥ .

x→0−

5. Н айдем т оч ки перес е ч ения функции с ос ями координат .

f (x)= 0 , при

x = 1. Т оч ка( 0,1)- т оч капере с еч ения с ос ь ю

абс цис с .

С ос ью

ординат перес еч е ния не т , т ак как т оч ка x = 0 , не явл яе т с я т оч кой

обл ас т и опреде л е ния.

П рямая x = 0

(ос ь ординат) явл яет с я верт икал ь ной ас импт от ой, т .к. при

x = 0 онаимее т бе с конеч ныйразры в.

П роверим, име ет л и функция накл онную

ас импт от у:

k =

= lim

1 - x3

=lim-1.

+∞

→x3

→+∞

1- x

kx= ) = ylim-ç

+ x

÷ =limlim

2 = 0 .

x +∞ →

→+∞

x +∞ x →

Сл едоват ел ь но, прямая y = −x

- накл онная ас импт от а.

f ' (x) = -

x3 + 2

f '(x)= 0 , при x = -3

, кот орая явл яе т с я крит ич ес койт оч -

кой; f '(x)

не с ущ е с т вует в т оч ке

x = 0 , но эт ат оч кане явл яет с я крит ич е-

с кой, т .к.

= 0Ïx

( f ).D

min

Знакf’(x)

Знакf(x)

− 3

f '(x)> 0

при x Î (- 3

20,), т .е. функция наэт ом инт ервал е возрас т ает ;

f '(x)< 0

при x

(

)U (

, 0, ¥)+,2т .е. функция- Î¥- наэт ом инт ервал е убывает .

f ' (x) при переходе ч ерез т оч ку x = -3

меняет знакс «-» на«+», т .е . эт о

т оч каминимума, fmin (- 3

f ' ' (x)=

(x)¹ 0

f '''(x) не с ущ е с т вуе т при x = 0 , но т .к. x = 0 т оч ка

x 4

разрыва, т о графикфункции не имее т пере гибав эт ойт оч ке .

П о вс е йобл ас т и опре дел е ния

(x)> 0 , поэт''

ому е е графиквс ю ду обращ ен

выпукл ос т ью вниз.

Уч ит ывая вс е пол уч е нные ре зул ь т ат ы ис с л едования, с т роим график:

Г л а в а 5. Н еопр едел енны й и опр едел енны й интегр а л ы

§1. Пер в ообр а зна я функ ции

О дной из ос новных задач диффере нциал ь ного ис ч ис л ения явл яет с я от ыс кание производной заданной функции. Разнообразные вопрос ы мат е - мат ич ес кого анал изаи его многоч ис л енные прил ож е ния в геомет рии, ме - ханике, физике и т ехнике приводят к обрат нойзадач е: по даннойфункции

f (x) найт и

т акую

функцию

F(x) , производная кот орой был а бы равна

функции f (x) , т .е.

x) f.(F

x) '(

Опр едел ение 1.

ункция

F(x)

называе т с я

перво о б ра зно й

дл я функции

f (x) нане кот ором промеж ут ке Х, ес л и дл я вс ех знач е ний x

из эт ого про-

меж ут кавыпол няет с я раве нс т во

x)f.(F x) '(

Пр им ер ы .

1. Ф ункция

= sin x( явл) Fяетx

с я первообразнойдл я функции

= cos x

на( ) f x

вс ейч ис л овойпрямой, т аккакпри л ю бом знач е нии x

x = cos x . )'

(sin

2. Ф ункция

(

) = x3 Fявлx яе т с я первообразной дл я функции

= 3(x2 ) fнаx

вс ейч ис л овойпрямой, т аккакпри л ю бом знач е нии x

= 3(x2)'.

Т еор ем а . Ес л и функция F(x)

- первообразная дл я функции

f (x)

нанеко-

т ором промеж ут ке Х, т о л ю бая другая первообразная дл я

f (x) нат ом ж е

проме ж ут ке мож ет быт ь пре дс т авл е нав виде

F(x) + с , где с

– произвол ь ная

пос т оянная.

Опр едел ение 2. Е с л и функция F(x) пе рвообразная

дл я функции f (x)

на

некот ором промеж ут ке Х,

т о множ ес т во функций F(x) + с

, где с

– произ-

вол ь ная пос т оянная, называет с я нео пределенны м интегра л о м от

функции

f (x) наэт ом проме ж ут ке и обознач ает с я

) +(c .

dxf x

П ри эт ом

функция

f (x)

называе т с я

подынт еграл ь ной функцией,

( )dxf -x подынт еграл ь ным выраж ение м, переме нная

x – пере менной ин-

те грирования.

От ыс кание неопредел енного инт еграл апо данной подынт еграл ь ной функции называе т с я инт егрированием эт ойфункции.

Введенная операция - инт егрирование функции, в от л ич ие от операции дифференцирования, многознач на. Э т им объяс няет с я т ермин «не опре - дел енныйинт еграл ».

		Св ой ств а неопр едел енного интегр а л а
1. Н еопреде л е нный инт еграл				от ал ге браич ес кой с уммы двух функций ра-
вен	ал гебраич ес кой			с умме	инт еграл ов,	т .е.
ò[	]	ò	±±ò	)dx( .=x g ) ( dx x f ) ( (dx) x g f x

1≤i≤n

2. П ос т оянный множ ит ел ь мож но выне с т и из-под знака инт еграл а, т .е.

ò	ò	k ¹ 0dx. x× , f )k( =dx k(x )f
		Т а бл ица основ ны хинтегр а л ов

	xn +1
1. ò xndx =		+ С , n ¹ -1

	n +1

2.ò dxx = ln x +С

= e x e+ dxС

òa x dx =

a x

+С

ln a

= sin x + С

cosxdx

cos x + С

= - xdxsin

arctg

+ С

+ a

8.ò cosdx2 x = tgx + С

ctgx + С

= -

sin2 x

10.

arccos x + С

- = + arcsin

1 - x

11.

arctgx

arcctgx + С

= - =

+ x

12.

x - a

+ С

x + a

- a

13.

= arcsin

+ С

- x

14.

+ С +=

+ λ

§2. Опр едел енны й интегр а л

П ус т ь функция = y(x)fопредел е на на[a,b], a < b . Разобь ем [a,b] наn произ-

вол ь ны х	ч ас т е й				т оч ками:
	−1 0	1	.....	2	n	= b . < x	i
						i
Т оч ки, раздел яю щ ие			от ре зок [a,b]
на ч ас т ич ны е	от ре зки	[xi−1, xi ]				дл иной

i -Dxi −1=,xбуде м называт ь т оч ками раз-

бие ния. Выберем в каж дом из ч ас т ич ных от резков [xi−1, xi ] т оч ку ξi : [x −1 £ ξ £ ixi ] i О бразуем с умму σ :

y
f(ξn)			xn
f(ξn)		xi
		xi
f(ξ2)	x2
f(ξ2)	< x	=< x	< xa	x
<....f(ξ1)<<x	< x	=< x	< xa	x
	x1
0 x0=a ξ1 x1 ξ2 x2		xi-1 ξi xi xn-1 ξn xn		x
0 x0=a ξ1 x1 ξ2 x2		xi-1 ξi xi xn-1 ξn xn

			n
2	2 1	1	å ξξ )Dx(i , i f = ξ )Dx(n n+f.... + i Dxi)
			i =1
кот орую назовем инт еграл ь нойс уммойдл я функции			f (x) на[a,b], с оот вет -
с т вую щ ейданному разбиению	[a,b]	нач ас т ич ны е от ре зки и данному выбо-
ру промеж ут оч ныхт оч ек ξi .
Геомет рич ес кий с мыс л	с уммы σ : эт о с уммапл ощ адей прямоугол ь -
ников с ос нованиями Dxi и выс от ами		f (ξi ) .

О бознач им ч ерез λ дл ину наибол ьш его ч ас т ич ного от ре зкаразбие - ния λ = max{Dxi }.

Опр едел ение. Е с л и с ущ е с т вует конеч ныйпредел I инт е грал ь нойс уммы при λ → 0 , т о эт от предел называе т с я о пределенны м интегра ло м от функ-

ции

f (x)

по от ре зку [a,b] и обознач ае т с я

) dxI

x f

λ →0 i=1

)Dx(= f lim= (

ункция

f (x) называет с я инт егрируемой на[a,b],

ч ис л о а

– ниж ним пре -

дел ом, ч ис л о b – верхним пре дел ом,

f (x) - подынт еграл ь ной функцие й, x

– переме ннойинт е грирования.

Св ой ств а опр едел енного интегр а л а

dxf=x0 . (

)

òb

= -òa

)dx( . x f (

)

dxf

а ,

b, с , име ет

К аковы бы

ни

был и

ч ис л а

мес т о

раве нс т во:

)dx( . x

=ò

+ ò

f )

( dx

x( f)

dxf x

П ос т оянный множ ит ел ь

мож но вынос ит ь

зазнак опреде л е нного инт е -

грал а: òb

= òb

)dx( . x f

(k )

kx f

О пре дел енный инт е грал

от

ал ге браич ес кой с уммы

функций равен ал -

ге браич е с койс умме ихинт еграл ов: ò(

)

±±ò

)dx( .=x g )

( dx

x f ) ( (dx)

òb

- a . b

Св язьм еждуинтег р а л ом и пер в ообр а зной (фор м ул а Н ью тона - Л ей бница )

Е с л и F(x) пе рвообразная дл я																		f (x)	на[a,b], т о		b	( )	= x)	b-F( a) F( (b) F dxf x
Е с л и F(x) пе рвообразная дл я																		f (x)	на[a,b], т о		ò	( )	= x)	b-F( a) F( (b) F dxf x
																								a
																								a
																					a
Пр им ер ы
1				1			1	1						1		1
1. ò	7			1		8	1	1			8			1		1		. =- × =
					x		0	x dx1							0	=	×
					x		0	x dx1							0	=	×
0				8				8						8		8
π										π			π
4										π								2	2
2. ò																				. =

							x		40		sinxdx					0sinsin			0 =co-s			=-	=
0													4					2	2
§3. Основ ны е м етоды														интегр ир ов а ния
	I. Н епоср едств енное интегр ир ов а ние
æ		5	1								1				ö
1. òç x						7 sin x							- 5÷+dx =+					-
1. òç x			x	2		7 sin x						x	- 5÷+dx =+					-
è			x									x			ø

пре дс т авим инт е грал какс умму инт еграл ов, пос т оянныймнож ит е л ь выне- с е м зазнакинт е грал а(ис пол ь зуя с войс т ванеопреде л енного инт еграл а):

5òdx =

ò +

xdx

-7

sin +

= -

ис пол ь зуя формул ы 1, 2 и 6 т абл ицы ос новныхинт е грал ов, находим:

+ Clnx-x

7x+cos

2. ò

x dx =2x5 3

x x = (ab)x , aи b

преобразуем подынт еграл ь ную функцию , ис пол ь зуя формул у

вос пол ь зуемс я формул ой4 т абл ицы ос новныхинт еграл ов:

60x

ò(

)

+ С

dx =25 3

= = × ×

ln 60

3. ò

= arcsin

+ C

2 - x

И нт еграл т абл ич ны й, по формул е 13, где a =

4. ò

dx =

+ x

инт еграл

не

т абл ич ный,

поэт ому

преобразуем

его.

Т ак

как

(

)(x

)+x1:- 1 x

+x1 ==1 + 1-

)(x2 + 1)+ 1 - 1 (x2 + 1)(x2 - 1)

(

dx =

dx +

arctgx

x + C dx x + a

1 + x2

+ x2

II. М

етодподв едения функ ции подзна к диффер енциа л а

5. ò

5xdxcos=

П ерейдем кновойпеременнойинт егрирования. Т .к.

(5 )= 5dx , умножd x им и

разде л им данны йинт еграл на5:

(5 )

51=cos5 +sinC x

(cos x)

cos6

x × sin xdx =

xd-

cos + C

- =

cos

П ереходим к новой пе ременной инт е грирования,

(

) = - sin xdx . Умноdcos- x

ж им и разде л им данны йинт е грал на-1:

	(arctgx)4				4		(arctgx)5
7. ò	1	+ x	2 dx = ò(	)		(arctgx)=	d	+arctgxC
	1	+ x					5		1
П ереходим кновойпеременнойинт егрирования, d(arctgx) =									1	dx .
П ереходим кновойпеременнойинт егрирования, d(arctgx) =									1 + x2	dx .
III . М етодза м ены				пер ем енной :

(вводя новую переменную , необходимо вс е с ос т авл яю щ ие подынт е грал ь - ного выраж е ния заме нит ь ч ерез не е)

8. ò

2 x−1

dx =

2x -

П ол ож им t =

, т огдаx =

t 2 + 1

;

= tdt=×. Н× аходимtdt

2x - 1

t + C=.=Возвращe dt=

eаяс ь tdtкпере менной x , оконч ат ел ь но имеем:

2 x−1

+ C

2 x−1

ò 2x -1

9. ò3

1 - 4xdx =

Вос пол ь зуе мс я заме ной t = 3

, т огдаx =

1 - t 3

;

= -

2 dt . Тt огда dx

1 - 4x

+ C . Оt-конч=

атdtе л ь-ноt= имее×

мdt=:t-t

ò3

(

+1 1C .-4x

-x-

- =

xdx

IV. М

етодинтегр ир ов а ния по ча стям

с ис пол ь зованием формул ы ò

- òVdU ,

UdV

где U и V - диффе ренцируе мы е функции от

x .

П риме нение эт ой формул ы це л е с ообразно в т ех с л уч аях, когдапос л е дний

инт еграл

будет

прощ е

ис ходного ил и подобны й е му. За U

принимает с я

функция,

кот орая

при

дифференцировании

упрощ ает с я

(например:

,xx3x),lnза, xdV

arccosвс егдавыбирает, arcsinс я т акое выраж ение,

с одер-

ж ащ е е dx ,

из кот орого пос ре дс т вом инт егрирования мож но найт и V .

10. ò x ln xdx =

П ол ож ив

;

ln= xdx , найдеudv м xdu

;

ò xdx==

,vподс= dx т авл яя в фор-

мул у, пол уч им:

x 1

ò xdx

ln x

çln x

÷ + C =

2 x

11. ò xarctgxdx =

П ол ож ив

;

= xdx , найдеdv м

, подс т авл яя в форму-

du =arctgx

; v =dx

2 + 1

л у, пол уч им:

arctgx -

dx =

+ 1

пос л еднийинт еграл ре ш им от дел ь но:

x2 + 1 - 1

+ 1

dx =

dx -

arctgx + С

= x -

x2 +

ò x

+ 1

x + 1

+ 1 2

ò 2

подс т авл яем в ис комы йинт еграл :

x 2

x 2 +1

arctgx

C =

+ arctgx= arctgx+-

-+ C

12. òex sin xdx =

П ол ож ив

x ; = sin xdx , найде мdvu e

- cos= = x , подс; =т авлxdxsinяя в

v dx e d

формул у, пол уч им:

ò x cos xdx =

e ecos x +

= -

		39
Д л я ре ш е ния пол уч енного инт е грал авос пол ь зуемс я инт егрированием по
ч ас т ям. П ол ож ив =	x ; = cos xdx , найдемdvu e x		ò	= sin= x , под; =- xdxcos	v dx
с т авл яя в формул у, пол уч им:
- ò	x xsin xdx+	x = -esin x e e cosx

П еренос я инт еграл из правойч ас т и в л евую , пол уч аем:

x sin x + С

x e

xcos+

ee = -2xdx sin

О конч ат е л ь но имее м: òe x sin xdx

e x

(

cos=x) + С

sin-

V. И нтегр ир ов а ние с пом ощ ью

фор м ул

cos

[ sin(

)

sin(

- β )]

α+ sin+ β×

α=

cos

[ cos(

)

cos(

- β )]

α+

cos+ β ×

α=

sin

sin[ (

)

cos(

+ β )]

α-

cos- β ×

α=

13.

sin

[

sin(

)

(

4 ) 2 6cos]dxcos=x

2 x- cos-

4 )] 2 cos[

2 cos 1

cos

sin1

+sinC

xdx

Г л а в а 6. Ф унк ции м ногихпер ем енны х.

§1. Понятие функ ции м ногихпер ем енны х

Опр едел ение. Е с л и		упорядоч е нной паре (x, y) из не кот орого ч ис л ового
множ ес т ва	D = {(x, y)} пос т авл ено в с оот вет с т вие, с огл ас но не кот орому
правил у f ,	ч ис л о z	из множ е с т ва Z , т о говорят , ч т о намнож ес т ве D за-

данафункция z = f (x, y) . П ереме нные x и y называю т с я не завис имыми пе - реме нными ил и аргуме нт ами, z - завис имая пе реме нная ил и функция двух переменных, D - обл ас т ь определ е ния функции, Z = { f (x, y)}- множ ес т во

знач е нийфункции.
Т ак как каж дой упорядоч е нной паре ч ис е л				(x, y) при фикс ированной
прямоугол ь ной с ис т еме координат		с оот вет с т вуе т		е динс т венная т оч ка М
пл ос кос т и и, обрат но, каж дойт оч ке		М	с оот вет с т вует единс т венная упоря-
доч енная парач ис ел	(x, y) , т о функцию		двух пе реме нных мож но рас с мат-
риват ь как функцию	т оч ки М и вме с т о z = f (x, y) пис ат ь z = f (M ) , где
M = (x, y) . О бл ас т ью	определ е ния функции в эт ом с л уч ае явл яет с я некот о-

рое множ ес т во {М } т оч екпл ос кос т и.

			40
	Анал огич но мож но определ ит ь функцию			л ю бого конеч ного ч ис л а
независ имы х		пе реме нны х	z = f ( x1,x2 , x3 ,..., xn )	ил и	z = f (M ) ,	где
=	31	2 xn ) . Mx ,...x , x (,	,
	П римеры функции двухпереме нных:
1. z = x2 + y2 .		О бл ас т ь определ е ния эт ой функции – множ ес т во {М }				вс ех

пар ч ис е л (x, y) , т .е. вс я пл ос кос т ь xOy , амнож ес т во знач ений – проме ж у-

т ок Z = [0, + ∞) .

2. z = 1- x2 - y2 . О бл ас т ью опре дел ения данной функции явл яет с я множ е - с т во вс ех т оч ек, дл я кот орых выраж ение 1- x2 - y2 определ е но, т .е. мно- ж е с т во т оч е к, дл я кот орых1- x2 - y2 ³ 0 ил и x2 + y2 £ 1, - эт о круг с цент ром в нач ал е координат и радиус ом – е диница. М нож ес т во знач е ний –от резок

[0,1] .

§2. Ча стны е пр оизв одны е и диффер енциа л ы 1-го пор ядк а	дл я
функ ции м ногихпер ем енны х
П ус т ь функция z = f (M ) опре дел е нав некот орой окре с т нос т и т оч ки
M (x, y) . П ридадим пе ре ме нной x в т оч ке M произвол ь ное приращ е ние	x ,

ос т авл яя знач е ние пе реме нной y не изме нны м, т .е. пере йде м напл ос кос т и

от т оч ки M (x, y) к т оч ке	M1 (x + Dx, y) . П ри эт ом	x т аково, ч т о M1		л еж ит в
указанной окрес т нос т и	т оч ки M . Т огда с оот вет с т вую щ ее		приращ е ние
функции	Dzx = f (x + Dx, y) - f (x, y)
			x
называе т с я ча с тны м прира щением функции по		перем енно й		в то чке

M (x, y) .

Анал огич но опре де л яет с я ч ас т ное приращ е ние функции по переменной y :

( ,

)- (D,+y).xDf = y

zy x f

Опр едел ение. Ч а с тно й про изво дно й функции

z = f (x, y)

по пере ме нной x

называе т с я конеч ныйпредел при x → 0 от нош ения:

(

f ¶xz

lim

) - (+,Dy)x f yzxx

x (

f, y)' x

lim

x→Δ0 Dx

¶x

x 0

→

Анал огич но:

Ч а с тно й про изво дно й функции z = f (x, y)

по

перем енно й

y называет -

с я конеч ны йпреде л при

y → 0 от нош е ния:

lim

( ,

)- + (D, y)x f

yz y

yf¶xz

y ( f, y)' x.

lim

y→0 Dy

¶y

y 0

→

Пр им ер ы .

¶z

1. z = x2 - 2xy2 + y3 . Н айт и ч ас т ны е производные

¶x

¶y

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.05.2015694.81 Кб9malware_report_vimal_kumar.pdf
#
19.03.2016315.17 Кб5mar06012.pdf
#
20.05.2015401.41 Кб6MARINA_P_O.doc
#
20.05.201567.03 Кб61matan.docx
#
21.05.2015898.18 Кб11matmod.pdf
#
21.05.2015670.28 Кб6may05119.pdf
#
20.05.201583.51 Кб98MChP.docx
#
20.05.2015244.74 Кб47MChP_EKZ_Ch1_Ch2.doc
#
21.05.2015441.1 Кб8method_dynamics.pdf
#
21.05.2015975.4 Кб5method_statics.pdf
#
21.05.2015404.83 Кб15Metodicheskie_ukazania_po_Istorii_dlya_Matfaka.pdf