Сферична система координат

Проілюструємо застосування загальних формул на прикладі тривимірної сферичної системи координат. В ній координати точки задаються модулем радіус-вектора і двома кутами: полярним і азимутальним . Неважко впевнитись, що коваріантні базисні вектори мають вигляд:

, , , (27)

де - стандартним чином означені орти ССК (див.). Коваріантні і контраваріантні компоненти метричного тензора будуються за формулами (4), (5) і дорівнюють:

, (28)

. (29)

Контраваріантні базисні вектори

, , (30)

є побудованими за формулою (8). Вони явно задовольняють умові ортогональності (9).

Для побудови символів Кристофеля простіш всього скористатись формулою (18) і таблицею похідних:

.

У такий спосіб знаходимо:

, , .

Для перевірки самоузгодженості формул розрахуємо похідну . Будемо використовувати отримані значення символів Кронекера і приймемо до уваги, що . Маємо

.

Результат, як і повинно бути, співпадає з очікуваним.