Для студентов / (1)Векторы / 3Представлення довільного вектора в сферичній системі координат
.docПредставлення довільного вектора в сферичній системі координат
Розглянемо представлення довільного вектора в сферичній системі координат (ССК), а також взаємозв’язок його декартових та сферичних компонент. Відносне розташування вектора , а також осей декартової та сферичної систем координат зображене на Рис..
Нехай в декартовій системі координат (ДСК) вектор має представлення:
. (1)
Напрямки ортів в ДСК є фіксованими, тому
, для усіх і . (2)
Похідна вектора по одній з просторових координат визначається тривіальним чином:
. (3)
Встановимо зв'язок між ортами ССК і і ортами ДСК. Безпосередньо з Рис.. видно, що орт , направлений вздовж радіуса-вектора , задається наступною формулою:
. (4)
Орт , дотичний до координатної лінії, яка співпадає з меридіаном, може бути отриманим з (4) заміною :
. (5)
Орт , дотичний до паралелі, яка відіграє роль координатної лінії, є паралельним площині і має вигляд:
. (6)
Для знаходження зворотного перетворення від до достатньо розв’язати систему алгебраїчних рівнянь (4)-(6). Але більш осмислено скористатися іншим методом. Проекцію орта ДСК на орти ССК , , можна знайти, помножив скалярно ліві і праві частини (4)-(6) на орт . У такий спосіб знаходимо:
, , .
Це дає нам підстави зразу ж записати:
. (7)
Таким самим чином без зайвих зусиль знаходимо:
, (8)
. (9)
Довільний вектор у ССК має представлення:
. (10)
Для знаходження зв’язку між компонентами вектора у ДСК і ССК, підставимо у (10) явні вирази ортів через орти . Таким чином отримуємо:
,
, (11)
.
Для знаходження зворотного перетворення достатньо в (1) підставити рівняння (7)-(9), які зв’язують орти ДСК з ортами ССК. Збираючи доданки, пропорційні ортам ССК, знаходимо:
,
, (12)
.
Зазначимо, що при паралельних переносах вектора його компоненти в ДСК залишаються незмінними. А от виконання тієї ж самої операції в ССК в загальному випадку супроводжується зміною сферичних компонентів вектора згідно (12). Тільки при зсувах вектора вздовж радіальних напрямків його сферичні компоненти залишаються незмінними.
Похідні ортів ССК по координатам
В багатьох задачах електродинаміки та механіки доводиться стикатися із задачею диференціювання векторів, заданих у ССК. Для знаходження відповіді, фактично, треба знати похідні ортів по координатам . Проілюструємо метод розрахунку похідних на прикладі . Згідно (6),
=.
Підставляючи сюди вирази (7) і (8) для ортів ДСК через орти ССК, знаходимо:
. (13)
Аналогічні розрахунки приводять до наступної таблиці похідних:
. (14)
Геометрична інтерпретація
Надамо наглядну геометричну інтерпретацію результатам, які підсумовуються формулою (14). Для цього розглянемо дві похідні: і .
Нехай кут отримує приріст . Вихідний і кінцевий орти знаходяться в одній і тій же площині меридіана (див. Рис.). Приріст орта є добутком його модуля на одиничний вектор, який задає напрямок приросту. Модуль приросту орта , як видно з Рис., в лінійному за наближенні дорівнює приросту меридіонального кута:
.
Напрямок вектора = є близьким до напрямку орта і наближується до нього тим більше, чим меншим стає . Звідси випливає, що
=.
Похідна будується цілком аналогічно. За означенням,
. (15)
Вектор лежить в площині паралелі одиничної сфери, якій відповідає кут . Радіус круга, утвореного цією паралеллю, дорівнює . Модуль дорівнює добутку модуля орта на приріст кута: . Напрямок вектора задається ортом , який лежить в меридіональній площині, так само як і вектори і . З Рис. видно, що . Підставляючи ці результати в (15), отримуємо:
.
Результати аналітичного і геометричного розрахунків, як і повинно бути, співпадають.