Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Для студентов / (1)Векторы / 3Представлення довільного вектора в сферичній системі координат

.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
20.05.2015
Размер:
175.1 Кб
Скачать

Представлення довільного вектора в сферичній системі координат

Розглянемо представлення довільного вектора в сферичній системі координат (ССК), а також взаємозв’язок його декартових та сферичних компонент. Відносне розташування вектора , а також осей декартової та сферичної систем координат зображене на Рис..

Нехай в декартовій системі координат (ДСК) вектор має представлення:

. (1)

Напрямки ортів в ДСК є фіксованими, тому

, для усіх і . (2)

Похідна вектора по одній з просторових координат визначається тривіальним чином:

. (3)

Встановимо зв'язок між ортами ССК і і ортами ДСК. Безпосередньо з Рис.. видно, що орт , направлений вздовж радіуса-вектора , задається наступною формулою:

. (4)

Орт , дотичний до координатної лінії, яка співпадає з меридіаном, може бути отриманим з (4) заміною :

. (5)

Орт , дотичний до паралелі, яка відіграє роль координатної лінії, є паралельним площині і має вигляд:

. (6)

Для знаходження зворотного перетворення від до достатньо розв’язати систему алгебраїчних рівнянь (4)-(6). Але більш осмислено скористатися іншим методом. Проекцію орта ДСК на орти ССК , , можна знайти, помножив скалярно ліві і праві частини (4)-(6) на орт . У такий спосіб знаходимо:

, , .

Це дає нам підстави зразу ж записати:

. (7)

Таким самим чином без зайвих зусиль знаходимо:

, (8)

. (9)

Довільний вектор у ССК має представлення:

. (10)

Для знаходження зв’язку між компонентами вектора у ДСК і ССК, підставимо у (10) явні вирази ортів через орти . Таким чином отримуємо:

,

, (11)

.

Для знаходження зворотного перетворення достатньо в (1) підставити рівняння (7)-(9), які зв’язують орти ДСК з ортами ССК. Збираючи доданки, пропорційні ортам ССК, знаходимо:

,

, (12)

.

Зазначимо, що при паралельних переносах вектора його компоненти в ДСК залишаються незмінними. А от виконання тієї ж самої операції в ССК в загальному випадку супроводжується зміною сферичних компонентів вектора згідно (12). Тільки при зсувах вектора вздовж радіальних напрямків його сферичні компоненти залишаються незмінними.

Похідні ортів ССК по координатам

В багатьох задачах електродинаміки та механіки доводиться стикатися із задачею диференціювання векторів, заданих у ССК. Для знаходження відповіді, фактично, треба знати похідні ортів по координатам . Проілюструємо метод розрахунку похідних на прикладі . Згідно (6),

=.

Підставляючи сюди вирази (7) і (8) для ортів ДСК через орти ССК, знаходимо:

. (13)

Аналогічні розрахунки приводять до наступної таблиці похідних:

. (14)

Геометрична інтерпретація

Надамо наглядну геометричну інтерпретацію результатам, які підсумовуються формулою (14). Для цього розглянемо дві похідні: і .

Нехай кут отримує приріст . Вихідний і кінцевий орти знаходяться в одній і тій же площині меридіана (див. Рис.). Приріст орта є добутком його модуля на одиничний вектор, який задає напрямок приросту. Модуль приросту орта , як видно з Рис., в лінійному за наближенні дорівнює приросту меридіонального кута:

.

Напрямок вектора = є близьким до напрямку орта і наближується до нього тим більше, чим меншим стає . Звідси випливає, що

=.

Похідна будується цілком аналогічно. За означенням,

. (15)

Вектор лежить в площині паралелі одиничної сфери, якій відповідає кут . Радіус круга, утвореного цією паралеллю, дорівнює . Модуль дорівнює добутку модуля орта на приріст кута: . Напрямок вектора задається ортом , який лежить в меридіональній площині, так само як і вектори і . З Рис. видно, що . Підставляючи ці результати в (15), отримуємо:

.

Результати аналітичного і геометричного розрахунків, як і повинно бути, співпадають.