Для студентов / (1)Векторы / 9Градієнт, дівергенція, ротор в криволінійних координатах

Основні диференціальні операції в криволінійних координатах

В цьому розділі основна увага буде сконцентрована на побудові явних виразів для градієнта скалярного поля, дивергенції і ротора векторного поля, а також оператора Лапласа в криволінійних координатах.

Градієнт скалярного поля ()

Почнемо з градієнта скалярного поля. За означенням, це є вектор, направлений вздовж напрямка найбільш швидкого зростання скалярної функції і модуль якого дорівнює швидкості зростання функції в цьому напрямку. У згоді з означенням розглянемо приріст скалярної функції , який відповідає приростам координат : .

Оскільки символ Крон екера можна представити у вигляді (див. ()), то

, (1)

де вектор задається співвідношенням

,

а є диференціалом вектора зміщення, ,  - кут між векторами і .

Найбільший приріст функції відповідає такому зміщенню, коли вектор є паралельним вектору (). Модуль швидкості зростання в цьому напрямку згідно (1) дорівнює: . Таким чином, вектор має всі ознаки градієнта функції в точці , тобто

. (2)

Прийнято говорити, що є ковектором, оскільки його компоненти мають смисл коваріантних компонент вектора. Для вектора зміщення ситуація є зворотною: диференціали є його контраваріантними компонентами.

Вектор

(3)

має смисл оператора набла в криволінійних координатах.

Дивергенція векторного поля ()

За своїм змістом дивергенція векторного поля є густиною його скалярних джерел. Найбільш загальний вираз для неї подається формулою:

, (4)

де є оператор набла. Беручи його у вигляді (3), отримуємо

.

Оскільки , то

. (5)

На щастя, цей вираз для дивергенції вектора допускає подальші спрощення. Для цього скористаємось явним виразом () для символів Кристофеля:

.

Звідси випливає, що

.

Другий і третій доданки в дужках скорочуються внаслідок сумування по індексам і .

Виходячи з означення () контраваріантних компонент метричного тензора

,

знаходимо:

.

Згортка є не чим іншим, як похідною від детермінанту матриці :

.

В цьому можна переконатись, диференціюючи первісне означення детермінанта:

,

де символ приймає значення або в залежності від того чи є перестановка

різних чисел () парною чи непарною по відношенню до .

Таким чином,

,

і після його підстановки у формулу (5) остання приймає вигляд:

.

. (6)

Оператор Лапласа

За означенням, оператор Лапласа визначається співвідношенням:

. (7)

Приймаючи до уваги явний вигляд (6) оператора дивергенції, формулу (7) можна переписати у вигляді:

. (8)

Тут входять контраваріантні компоненти вектора , які пов’язані з його коваріантними компонентами (2) стандартним чином:

.

Підставляючи їх у (8), знаходимо:

. (9)

Ротор векторного поля