Для студентов / (1)Векторы / 4Перетворення компонентів векторів при поворотах
.docПеретворення компонентів векторів при поворотах системи координат
В загальному випадку поворот ДСК є комбінацією трьох елементарних поворотів, які описуються кутами Ейлера. Як перший крок, розглянемо поворот ДСК на кут навколо вісі вихідної системи координат.
Компоненти радіус-вектора перетворюються стандартним чином:
. (1)
Скориставшись формулами Ейлера:
,
перетворення (1) можна переписати у вигляді:
. (2)
За означенням, комбінації:
(3)
прийнято називати циркулярними компонентами радіус-вектора точки. Обернене перетворення компонентів радіус-вектора описується формулами:
(4)
Окрім циркулярних компонентів радіус-вектора можна ввести також циркулярні базисні вектори. Для цього замість компонентів в представлені радіус-вектора підставимо його циркулярні компоненти. У такий спосіб отримуємо:
, (5)
де
(6)
є циркулярні базисні вектори. На відміну від ортів вихідної ДСК базисні вектори не є ні ортогональними, ні нормованими. Завдяки уявній одиниці, взагалі, .
Перетворення можна подати також в матричній формі:
, (7)
де
, , . (8)
Оберненому перетворенню
(9)
Відповідає матриця:
. (10)
Довільний поворот ДСК можна описати сукупністю трьох послідовних елементарних поворотів:
1) навколо осі на кут ; 2) навколо осі на кут ; 3) навколо осі на кут .
Тут - вісь нової ДСК, утвореної в результаті другого поворота. Кути є відомими кутами Ейлера.
Компоненти радіус-вектора в ДСК, утвореній внаслідок першого елементарного поворота на кут , визначаються рівнянням:
,
де
. (11)
Після другого поворота компоненти радіус-вектора в новій ДСК є пов’язаними з аналогічним рівнянням:
, (12)
де
. (13)
Третій поворот на кут виконується навколо осі . Йому відповідає наступне перетворення компонентів радіус-вектора:
, (14)
де
. (15)
Остаточно, результатом трьох послідовних перетворень компонентів радіус-вектора буде рівняння:
, (16)
де матриця дорівнює:
Використовуючи формули (7), (9) і (16), неважко зрозуміти, що перехід від вихідних циркулярних компонентів до кінцевих виконується за допомогою перетворення:
. (17)
Надаючи формулі (17) вигляд
, (18)
ми приходимо до означення функцій Вігнера першого порядку. Безпосереднім розрахунком за формулою (17) можна впевнитись, що
Зазначимо, що формули Вігнера знаходять широке застосування в теорії обертального руху, особливо в квантовій механіці.
Циркулярні компоненти довільного вектора утворюються цілком аналогічно (4):
=, (19)
де - його декартові компоненти. Зв'язок між декартовими і циркулярними компонентами вектора описується формулами, які є структурно тотожні (16) і (18):
ДСК: , , (20)
і
ЦСК: , . (21)
З умови інваріантності вектора відносно довільних поворотів систем координат:
,
можна знайти також матрицю , яка описує перетворення циркулярних базисних векторів:
. (22)
Неважко бачити, що компоненти матриці задовольняють рівнянню:
. (23)
Зокрема, якщо поворотам навколо осі відповідає (див. (2))
,
то компоненти матриці дорівнюють:
. (24)