Для студентов / (1)Векторы / 2Перетворення компонентів векторів при перетвореннях

Перетворення компонентів векторів при перетвореннях ортогональних систем координат

Для побудови закону перетворення компонентів векторів при перетвореннях ортогональних систем координат розглянемо спочатку закони перетворення їх базисних ортів.

Нехай і , , - базисні орти різних декартових систем координат. Внаслідок їх повноти можна написати:

, (1)

і

(2)

Компоненти матриць перетворення і можна знайти, помноживши ліві і праві части (1) і (2) на відповідні орти:

, (3)

. (4)

З (1) і (2) випливає, що

, (5)

тобто матриця є взаємно-оберненою по відношенню до матриці : .

Безпосередньо з порівняння (3) і (4) випливає, що

, або , (6)

де - матриця, що є транспонированою по відношенню до матриці .

З умови ортогональності базисних векторів і випливає, що

или , (7)

або

(8)

Закон перетворення компонентів вектора безпосередньо випливає з умови інваріантності останнього:

(9)

і приймає вигляд:

. (10)

Оскільки квадрат вектора є інваріантним відносно довільних перетворень систем координат, то:

, (11)

З урахуванням закону перетворення компонент вектора (10) формулу (11) можна переписати у вигляді:

. В загальному випадку існування такого рівняння є можливим, якщо компоненти матриці задовольняють умові ортогональності:

или (12)

Порівнюючи його з (7), можна стверджувати, що матриця перетворення компонент вектора задовольняє рівнянню:

. (13)

Нехай закон перетворення компонентів радіус-вектора задається співвідношеннями: , . Приріст радіус-вектора розкладається по

базисним ортам стандартним чином:

.

З нього випливає, що

.

Порівнюючи його з виразом для диференціалу ї координати:

,

і означенням (1), знаходимо:

. (14)

Таким чином, базисні орти перетворюються за законом:

. (15)

Приріст радіус-вектора можна також представити у вигляді:

.

Порівняння коефіцієнтів при незалежних приростах координат приводить ще до одного співвідношеннями між ортами

. (16)

Разом з тим узагальнюється і формула (14) для компонентів матриці :

, (17)

Підставляючи вирази (17) для в умову (12) ортогональності матриці перетворення, знаходимо наступні співвідношення між похідними координат:

(18)

Геометричний смисл першого з них стає зовсім тривіальним, якщо врахувати, що

.

Оскільки за означенням ортів , то

.

У згоді з (17) закон перетворення (10) компонентів радіус-вектора приймає наступний вигляд:

, (19)

Як бачимо, закон перетворення (19) компонентів довільного вектора при переході від однієї системи ортогональних координат до іншої є повністю еквівалентним закону перетворення компонентів диференціалів координат.

Формули зворотного перетворення компонентів векторів випливають з (10) і (13):

(20)

Зазначимо, що закон перетворення компонентів вектора був побудований нами на основі вимоги, що вектор є інваріантним об’єктом. Разом з тим, в літературі закон перетворення (19) часто розглядається як незалежне означення векторних величин.

Проілюструємо застосування законів перетворень компонентів вектора на добре відомому прикладі перетворення компонентів радіус-вектора

.

при повороті декартової системи координат на кут навколо вісі . Неважко впевнитись, що компоненти матриці перетворення дорівнюють:

.

У згоді з (19) і (14):

Компоненти транспонірованої матриці мають вигляд:

І породжують зворотнє перетворення

,

,

.