Диференціювання вектора в криволінійних координатах

Розглянемо похідну вектора по одній з координат:

Тут враховується, що в загальному випадку базисні вектори є функціями координат. Вектор можна розкласти по вихідним базисним векторам:

. (18)

Коефіцієнти прийнято називати символами Кристофеля.

Остаточно,

.

Комбінацію

(19)

прийнято називати коваріантною похідною контраваріантних компонент вектора . Підкреслимо, що виникнення внеску в похідну компонент вектора пов’язано з тим, що базисні вектори в загальному випадку не залишаються постійними при переході від однієї точки до другої.

Для побудови коваріантних похідних від коваріантних компонентів вектора знову розглянемо похідну , використовуючи цього разу його коваріантні компоненти:

Встановимо, що

. (20)

Згідно (18)

. (21)

Формула (21) переходить у тотожність, якщо замість похідної підставити її вираз з (20). Це і засвідчує коректність формули (20). Остаточно

. (22)

Коваріантна похідна від коваріантних компонентів вектора , таким чином, визначається співвідношенням:

. (22)

Символи Кристофеля

Символи Кристофеля органічно входять в формули для коваріантних похідних від контраваріантних і коваріантних компонентів вектора. Тому має смисл зупинитись на деяких їх властивостях більш детально. Перш за все ми розглянемо властивості симетрії символів Кристофеля, а також можливість виразити їх через компоненти метричного тензора та його похідних і закон перетворення при переході від однієї системи координат до іншої.

Останній безпосередньо випливає з означення (20) символів Кристофеля:

Виражаючи тут через не штриховані базисні вектори згідно (17), послідовно диференціюючи і використовуючи умову ортогональності (9), отримуємо:

. (23)

З формули (23), зокрема, випливає, що символи Кристофеля є симетричними відносно перестановки нижніх індексів:

. (24)

Доведемо цю властивість більш безпосереднім шляхом. З означення (1) коваріантних базисних векторів випливає, що похідним властива наступна перестановочна симетрія:

. (25)

Розкладаючи першу з похідних по базисним векторам системи:

і порівнюючи її з (18), зразу ж приходимо до (24).

Для встановлення зв’язку між символами Кристофеля і метричним тензором будемо виходити із співвідношення (21) і означення (8) контраваріантних базисних векторів:

. (26)

Скористаємось тепер перетворенням Лежандра:

.

Враховуючи симетрію метричного тензора відносно перестановок його індексів і умову ортогональності (6), отримуємо: . Тому

.

Так само, співвідношення

є прямим наслідком (25). Остаточно, з (26) і двох останніх рівнянь випливає, що

.

Перестановка індексів приводить до аналогічного співвідношення: . .

З них і (24) якраз і випливає очікуваний зв'язок між символами Кристофеля і метричним тензором:

. (26)

Отримані формули, загалом, повністю вирішують проблему диференціювання векторів в криволінійних координатах.