Вопросы промежуточного контроля

1. Дайте определения дифференциального уравнения первого порядка и его общего и частного решений (интеграла). Сформули­руйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого по­рядка и укажите ее геометрический смысл.

2. Дайте геометрическое истолкование дифференциального урав­нения первого порядка, выясните геометрический смысл общего и частного решений.

3. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

4. Дайте определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите примеры.

5. Дайте определение однородного дифференциального уравне­ния первого порядка. Изложите метод нахождения его общего ре­шения. Приведите пример.

6. Дайте определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

7. Дайте определение уравнения Бернулли. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

8. Дайте определение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Изложите метод нахождения его общего решения. Приведите пример.

9. Что называется особым решением дифференциального уравне­ния первого порядка?

10. Дайте определение линейного дифференциального уравнения n-го порядка (однородного и неоднородного). Докажите основные свойства частных решений линейного однородного дифференциаль­ного уравнения.

11. Дайте определение линейно зависимых и линейно независи­мых функций и приведите примеры. Докажите, что для линейно зависимых функций определитель Вронского равен нулю. Сформу­лируйте обратную теорему для линейно независимых решений (ин­тегралов) однородного линейного дифференциального уравнения.

12. Докажите теорему об общем решении линейного однородно­го дифференциального уравнения второго порядка.

13. Изложите метод нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если из­вестно одно его частное решение. Приведите пример.

14. Выведите формулу для общего решения линейного однород­ного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней харак­теристического уравнения. Приведите пример.

15. Выведите формулу для общего решения линейного одно-­ родного дифференциального уравнения второго порядка с постоян­ными коэффициентами в случае равных корней характеристическо­го уравнения. Приведите пример.

16. Выведите формулу для общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоян­ными коэффициентами в случае комплексных корней характеристи­ческого уравнения. Приведите пример.

17. Докажите теорему об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

18. Изложите правило для нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоян­ными коэффициентами и правой частью вида , где Р_п(х)есть многочлен степени .

19. Изложите правило для нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоян­ными коэффициентами и правой частью вида .

20. В чем состоит краевая задача для дифференциального уравнения?

21. Что называется нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка? Сформулируйте задачу Коши для этой системы.

22. Изложите метод нахождения общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка сведением системы к одному дифференциальному уравнению (метод исключения). Приведите пример.

23. Изложите метод нахождения общего решения нормальной системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения. Приведите пример.

24. Запишите в матричной форме нормальную систему и решение нормальной системы двух линейных однородных дифференци­альных уравнений с постоянными коэффициентами. Приведите при­мер решения матричным способом такой системы