Типовой пример Решить задачу Коши.

,,,

►Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

, ,,,.

Общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Находим:

.

Используем начальные условия:

Решаем систему:

,,,.

Решение задачи Коши имеет вид

. ◄

3. Решение неоднородных линейных уравнений методом подбора

частного решения

ТЕОРЕМА (об общем решении ЛНДУ n-го порядка)

Общее решение ЛНДУ есть сумма общего решения ЛОДУ и какого-либо частного решения неоднородного уравнения:

, где – ФСР.

Пусть требуется найти общее решение неоднородного линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Его решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. При некоторых специальных видах неоднородности это частное решение можно подобрать по известной схеме.

1) Если гдеР_п (х) – многочлен степени п, то частное решение уравнения (19)

,

если число k не является корнем характеристического уравнения, или

,

если k – корень характеристического уравнения кратности s. Коэффициенты А₀, А₁,…, А_п можно найти методом неопределенных коэффициентов, подставив у_ч и его производные нужных порядков в уравнение.

2) При , если числаa±bi не являются корнями характеристического уравнения, частное решение имеет вид

,

где многочлены с неопределенными коэффициентами одной и той же степениl = max(m, n).

Если же a±bi – корни характеристического уравнения кратности s, то

.

Типовой пример

Найти общее решение уравнения

►Найдем общее решение однородного уравнения Характеристическое уравнениеимеет корни 0 (кратности 1) и 1 (кратности 2). Следовательно,Перейдем к поиску частного решения. Поскольку число 1 – коэффициент прих в показателе степени правой части уравнения – является корнем характеристического уравнения кратности 2, ищем у_ч в виде (21) при s = 2, n = 0:

y_ч=Ax²e^x.

Тогда

Подставим полученные выражения в исходное неоднородное уравнение:

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

◄

3) Если правая часть уравнения представляет собой сумму функций, для каждой из которых можно подбором найти частное решение:

то частное решение такого уравнения является суммой частных решений уравнений и

Типовой пример

Найти общее решение уравнения

►Характеристическое уравнение: Общее решение однородного уравнения:. Найдем частное решение, соответствующее неоднородностиf₁(x) = 3x. Так как λ = 0 – корень характеристического уравнения, частное решение имеет вид (21)

y_ч1 = x (Ax + B) = Ax² + Bx.

Поскольку при подстановке в уравнение получаем 2A – 2Ax – B = 3x, откуда 2A – B = 0, - 2A = 3. Решая полученную систему, находим:

Для f₂(x) = sin 2x y_ч2 задаем по формуле (22) при a = 0, b = 2, l = 0:

y_ч2=Asin2x+Bcos2x,

Подставим в уравнение:

Отсюда В = 0,1, А = - 0,2,

у_ч2 = - 0,2 sin2x + 0,1 cos2x.

Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения:

◄

Типовой пример

Найти общее решение .

►Находим корни характеристического уравнения:

Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

(;– фундаментальная система решений):.

Правая часть уравнения представляет собой сумму функций и. Для нахождения частных решений, соответствующих этим функциям, составляем:

для

S=1 (кратность числа среди корней характеристического уравнения);

для

(кратность числа среди корней характеристического уравнения).

т.е. – частное решение нелинейного уравнения с неизвестными коэффициентами. Подставляемв исходное уравнение:

.

Для выполнения тождества необходимо равенство коэффициентов:

Поэтому Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид

,

а его общее решение –

◄

Пример

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка находят применение при изучении, например, экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, в которой скорость изменения цены зависит от величины запаса. Пусть спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть, где –константы, .

В случае непрерывного анализа запасы подобно переменным непрерывно изменяются во времени. По определению, если запасы в момент временисоставляют, то , и .

Пусть в каждый момент времени продавцы устанавливают цену так, что скорость возрастания пропорциональна разности запасов по сравнению с заданным уровнем :

,

где есть постоянная положительная величина. Дифференцируя это равенство, получим

,

то есть ускорение возрастания цены пропорционально скорости уменьшения запасов.

Подставляя

Это уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

.

Найдем общее решение этого уравнения. Характеристическое уравнение однородного уравнения имеет вид

.

В обычном случае , член – положителен. Введем обозначение: .Тогда корни характеристического уравнения . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид

.

Частное решение неоднородного уравнения (правая часть которого равна константе ) также ищем в виде константы . Подставляя в уравнение, получим . Таким образом, общее решение уравнения имеет вид

+ .

Первые два слагаемых можно преобразовать как , где – вспомогательный аргумент (), , а третье слагаемое имеет смысл цены равновесия .Следовательно, получен закон изменения цены во времени:

.

Цена колеблется относительно уровня равновесия _. Амплитуда и фаза колебаний устанавливаются начальными условиями.