14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

y′′ =

1

, x0 = π , y (0) = 1, y′(0) =

3

.

3

5

Ответ: 2,69.

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

x3 y′′ + x2 y′ = 1.

Ответ: y = C ln x +

1

+ C

.

2

1

x

3.

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ − 4 y′ = 0 ;

б) y′′ − 4 y′ + 13y = 0 ;

в) y′′ − 3y′ + 2 y = 0 .

4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′ − 2 y′ − 8 y = 12sin 2x − 36cos 2x .

Ответ: y = C e−2 x

+ C

e4 x + 3cos 2x .

1

2

5.

Ответ: y = e− x (cos x + 3sin x) + x2 + 2x .

6.

y′′′ − y′′ = 0 ,

y (0) = 0 , y′(0) = 0 ,

y′′(0) = −1.

постоянных

y′′ − 4 y′ + 5 y =

e2 x

.

cos x

Ответ: y = (ln

cos x

+ C1 )e2 x cos x + ( x + C2 )e2 x sin x .

8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:

а)

сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б)

с помощью характеристического уравнения.

x′ = −x + 8 y,

y′ = x + y.

x = C e3t + C

e−3t ,

Ответ:

1

2

1

1

C e−3t .

y =

C e3t

−

2 1

4

2

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

y′′ + y′ tg x = sin 2x .

Ответ: y = C sin x − x −

1

sin 2x + C

.

2

1

2

3.

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ − 5 y′ + 6 y = 0 ;

б)

y′′ + 3y′ = 0 ;

в) y′′ + 2 y′ + 5 y = 0 .

4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′ −12 y′ + 36 y = 14e6 x .

Ответ: y = C e6 x + C

2

xe6 x

+ 7x2e6 x .

1

5.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ − 6 y′ + 25 y = 9sin 4x − 24cos 4x , y (0) = 2 , y′(0) = −2 .

Ответ: y = e3x (2cos 4x − 3sin 4x) + sin 4x .

6.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′′ − 4 y′ = 0 , y (0) = 0 , y′(0) = 2 ,

y′′(0) = 4 .

Ответ: y = e2 x −1.

7.

Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных

постоянных

y′′′ + y′ =

sin x

.

cos2 x

+ (ln

+ C2 )cos x + ( x − tg x + C3 )sin x .

Ответ: y =

1

+ C1

cos x

cos x

8.

Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:

а)

сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б)

с помощью характеристического уравнения.

x′

= −2x − 3y,

y′ = −x.

x = C e−3t + C

et

,

Ответ:

1

2

1

C e−3t − C

y =

et .

3 1

2

y′′ = 4cos 2x ,

x = π ,

y (0) = 1,

y′(0) = 3.

0

4

Ответ: 4,36.

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

′′

′

.

y x ln x = y

Ответ: y = C1x (ln x −1) + C2 .

3.

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ − 2 y′ + 10 y = 0 ;

б) y′′ + y′ − 2 y = 0 ;

в) y′′ − 2 y′ = 0 .

4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

Ответ: y = C ex

+ C

e2 x + (4 − 2x)e− x .

1

2

5.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ −14 y′ + 53y = 53x3 − 42x2 + 59x −14 , y (0) = 0 , y′(0) = 7 .

Ответ: y = 3e7 x sin 2x + x3 + x .

6.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′′ + y′ = 0 , y (0) = 0 , y′(0) = 1, y′′(0) = 1.

Ответ: y = 1 − cos x − sin x .

постоянных

y′′ + 9 y =

1

.

sin 3x

Ответ: y =

−

1

x + C

cos3x +

1

ln

sin 3x

+ C

sin 3x .

1

2

3

9

y′′ =

1

, x = 1,

y (0) = 0 ,

y′(0) = 0 .

1 + x2

0

Ответ: 0,44.

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

xy′′ − y′ = x2ex .

Ответ: y = ex ( x −1) + C x2

+ C

2

.

1

3.

а) y′′ − 4 y = 0 ;

б) y′′ + 2 y′ + 17 y = 0 ;

в) y′′ − y′ −12 y = 0 .

4.

′′

′

x

1

постоянных

y

+ 2 y

+ y

= xe

+ xex .

Ответ: y = C e− x + C

xe− x

+

x

ex −

1

ex − xe− x

+ xe− x ln x .

2

1

4

4

а)

б)

с помощью характеристического уравнения.

x′ = −2x + y,

y′ = −3x + 2 y.

t

+ C2e

−t

,

x = C1e

Ответ:

e−t .

y = 3C et + C

1

2

xy′′′ = 2 ,

x

= 2 , y (1) =

1

, y′(1) = y′′(1) = 0 .

0

2

Ответ: 0,77.

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

′′

′

.

y x ln x = 2 y

Ответ: y = C1 (x ln2 x − 2x ln x + 2x) + C2 .

3.

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ + y′ − 6 y = 0 ;

б) y′′ + 9 y′ = 0 ;

в) y′′ − 4 y′ + 20 y = 0 .

4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′ + y = 2cos x − (4x + 4)sin x .

Ответ: y = C1 cos x + C2 sin x + (x2 + 2x)cos x .

5.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ − 4 y′ + 20 y = 16xe2 x , y (0) = 1, y′(0) = 2 .

2 x

1

2 x

Ответ: y = e

cos 4x −

sin 4x + xe

.

4

6.

Найти частное решение дифференциального уравнения

yIY + 2 y′′′ − 2 y′ − y = 0 ,

y (0) = 0 , y′(0) = 0 ,

y′′(0) = 0 ,

y′′′(0) = 8 .

Ответ:

y = ex − (1 + 2x + 2x2 )e− x .

y′′′ = e2 x ,

x0 =

1

, y (

0) =

9

,

y′(0) =

1

,

y′′(0) = −

1

.

2

8

4

2

Ответ: 1,22.

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

x2 y′′ + xy′ = 1.

Ответ: y =

ln2 x

+ C ln x + C

.

2

2

1

3.

а) y′′ − 9 y = 0 ;

б) y′′ − 4 y′ + 5 y = 0 ;

в) y′′ + 2 y′ − 3y = 0 .

4.

y′′ + 6 y′ + 10 y = 74e3x .

Ответ: y = e−3x (C cos x + C

2

sin x) + 2e3x .

1

5.

y′′ −12 y′ + 36 y = 32cos 2x + 24sin 2x , y (0) = 2 , y′(0) = 4 .

Ответ: y = e6 x − 2xe6 x + cos 2x .

6.

y′′′ + y′′ − 5 y′ + 3y = 0 ,

y (0) = 0 , y′(0) = 1,

y′′(0) = −14 .

а)

б)

с помощью характеристического уравнения.

x′ = 2x + y,

y′ = −6x − 3y.

+ C2e

−t

,

x = C1

Ответ:

e−t .

1

2

y′′′ = cos2 x ,

x = π ,

y (0) = 1, y′(

0) = −

1

,

y′′(0) = 0 .

0

8

Ответ: 3,58.

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения,

допускающего

понижение порядка,

y¢¢ = -

x

.

y¢

C 2

x

x

Ответ: y =

+

2

- x

2

+ C

1

arcsin

C

2

.

2

C1

2

1

3.

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ + 7 y′ = 0 ;

б)

y′′ − 5 y′ + 4 y = 0 ;

в) y′′ + 16 y = 0 .

4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′ − 3y′ + 2 y = 3cos x + 19sin x .

Ответ: y = C ex + C

e2 x

+ 6cos x + sin x .

1

2

5.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y¢¢ + y = x3 - 4x2 + 7x -10 , y (0) = 2 , y′(0) = 3.

Ответ: y = 4cos x + 2sin x + x3 - 4x2 + x - 2 .

6.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′′ + y′′ = 0 , y (0) = 0 , y′(0) =1, y′′(0) = -1.

постоянных

y¢¢ + 2 y¢ + 2 y = e− x ctg x .

x

Ответ: y = C e− x cos x + C

tg

.

1

2

2

8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:

а)

сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б)

с помощью характеристического уравнения.

x¢ = y,

y¢ = x.

x = C et + C

e−t

,

Ответ:

1

2

e−t .

y = C et - C

1

2

y′′ =

1

,

x = 1, y (0) = 2 , y′(0) = 3.

1 − x2

0

Ответ: 5,57.

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

xy′′ = y′.

y =

C x2

+ C2 .

Ответ:

1

3.

2

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ − 6 y′ + 8 y = 0 ;

б) y′′ + 4 y′ + 5 y = 0 ;

в)

y′′ + 5 y′ = 0 .

4.

Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′ + 6 y′ + 9 y = (48x + 8)ex .

Ответ: y = C e−3x + C

2

xe−3x +

(3x −1)ex .

1

5.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ − y = (14 −16x)e− x , y (0) = 0 , y′(0) = −1.

Ответ: y = ex − e− x + (4x2 − 3x)e− x .

6.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′(0) = 0 .

Ответ: y =

1

ex +

1

e2 x −

5

xe2 x .

2

2

8

постоянных

y′′ − 2 y′ + 2 y =

ex

.

sin x

Ответ: y = (−x + C1 )ex cos x + (ln

sin x

+ C2 )ex sin x .

а)

сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б)

с помощью характеристического уравнения.

x′ = −x − 2 y,

y′ = 3x + 4 y.

x = C et

+ C

e2t ,

Ответ:

1

2

y = −C et −

3

C

e2t .

1

2

2

y′′ =

1

, x0

=

5

π , y π

= π , y′ π = 1.

sin2

2x

4

4

4

4

Ответ: 3,93.

2.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

y′′ = y′ + x .

Ответ:

y = −

x2

− x + C ex

+ C

.

2

2