Мальханов - Общая Физика

∆ϕ = ϕ1 - ϕ2 = (k1 – k2)r + (α2 - α1)

Волновые векторы k1 и k2 в одной точке и в ней складываются, тогда в направлении параллельном ∆k = k1 – k2 будут наблюдаться в результате наложения волн чередования максимумов и минимумов интенсивности. Вдоль этого направления (по оси x ) расположим экран (точнее говоря, совместим экран с направлением оси x, в тех точках пространства, где образуются чередования максимумов и минимумов интенсивности света).

Найдем расстояние ∆x между двумя соседними минимумами или максимумами (ширину полосы) . Поскольку косинус периодическая функция с периодом

2π, то

∆k ∆x = 2π, 2k Sin (α/2) ∆x = 2π ∆x = π/ k Sin (α/2) =

λ/ 2 Sin (α/2) = (α - мало) = λ/α.

Вопыте Юнга можно положить D = 1 м, d = 1 мм, α ≈ Sin α ≈ d/D = 10 – 3 рад. Рассмотрим, например, красный свет λ = 600 нм.

∆x = λ/α = 0.6 10-3 / 103 = 0.6 мм.

Юнг действовал таким образом, что, оценив из опыта ширину полосы, получил длину волны света по формуле

λ = α ∆x.

При интерференции обычно рассматривается сложение волн от конечного (2 и более) числа источников. В качестве источников часто служат щели, которые разделяют материнский пучок ( во времена Юнга стеклянные пластинки серебрились и на них процарапывались щели, так делал, например, Релей). Ес-

340

рирующего света от координаты. Как следует из формулы интенсивность периодически меняется в зависимости от координаты x .

§12 Интерференция в пленках

Кпленкам можно отнести тонкие пленки масла или нефти, стенки мыльных пузырей, пленки, возникающие на поверхности металлов при закалке (цвета побежалости) и т. д.

Вариант 1

Рассмотрим ход лучей в плоскопараллельной пластинке (пленке) толщины d , с показателем преломления n , освещенной точечным источником S .

У двух лучей отраженного и преломленного, пришедших одновременно в точку P возникает разность хода, а следовательно возможны и явления интерференции. Найдем разность хода этих лучей в произвольно выбранной точке P .

∆ = SACBP – SDP.

Восстановим перпендикуляры DA, DB, OA′, OB′ к лучам согласно чертежу, тогда

342

A′CB′ = A′C, A′C = d Cos ψ.

Разность хода лучей равна пути, проходимому лучами внутри пластинки, с учетом показателя преломления среды пластинки, что эффективно удлиняет путь в n раз. Окружающая среда предполагается воздухом или вакуумом и в этом случае n1 = 1 . С учетом сказанного формула принимает вид

∆ = 2 d n Cos ψ.

Кроме того, необходимо учесть, что при отражении от оптически более плотной поверхности волна изменяет фазу на π, что соответствует изменению хода в половину длины волны. Ее необходимо прибавить или отнять от окончательного результата. Такой факт является экспериментальным и впервые исследован Ллойдом по схеме

n1

Однако, если отражение происходит внутри более плотной среды, то такой эффект не наблюдается.

Таким образом, формула разности хода лучей по данной схеме отражения и преломления лучей имеет вид

∆ = (2 d n Cos ψ) + λ / 2.

Вариант 2

Рассмотрим ход лучей при параллельном падении на пластинку. Рассчитаем разность хода лучей, образующуюся при этом.

343

среде из точечного источника S. С учетом симметрии волновой поверхности относительно оси SP, разобьем поверхность на зоны таким образом, чтобы расстояние от ( ) P до каждой последующей зоны отличалось на половину длины волны от предыдущей зоны, то есть

rm = b + mλ / 2.

Колебания, приходящие в ( ) P от соседних зон (отличающихся на λ/2 ) по фазе отличаются на π , то есть находятся в противофазе. Ранее, согласно принципу Гюйгенса-Френеля было

E = ∫ κ(ϕ) a0 Cos (ωt – kr + ϕ0) dS / r

S

Это же выражение можно иметь, взяв реальную часть от следующего

E = ∫ K(r) exp (- i kr) dr, K ( r ) = κ (ϕ) exp [ i ( ωt - ϕ0)] a0 dS / r dr. S

Сделаем ряд допущений. Проинтегрируем в пределах одной произвольно выбранной зоны. Будем считать, что K в пределах одной зоны остается постоянной.

r + mλ / 2

Em* = ∫ e – i k r dr = [Km (-) / ik] { exp [ - ik (r + mλ/2)] – exp [ - ik (r + (m- r + (m-1)λ/2

1)λ/2]} = [( - 1 )1 e – i k r / ik] {exp[ - mλik/2] – exp [ - (m – 1)λik/2]}.

Вспомним, что справедливо следующее

Re e – m λ i k / 2 = Cos ( - m k λ / 2) = (k = 2π / λ) = Cos ( - π m) = ( - 1 ) m.

Re e λ i k / 2 = Cos (k λ / 2) = Cos π = - 1.

Найдем вещественную часть напряженности электрического поля

Em = ( - 1 ) m + 1 2 e – i k r Km / i k.

Получился знакопеременный ряд в зависимости от номера зоны. Для небольших значений m по этой формуле можно рассчитывать напряженность элек-

346

трического поля (магнитную индукцию, интенсивность света). Проведем далее следующие рассуждения.

а. Просуммируем напряженности от первой до m – ной зоны

E = + ( E1 + E2 + … + Em).

б. Просуммируем напряженности от второй до m + 1 – ой зоны. Эта сумма должна с большой точностью равняться сумме, вычисленной в п. а. , но, с учетом сдвига по фазе на π, - со знаком минус.

E = - (E2 + E3 + … + Em + E m+1).

Сложим

2E = E1 – Em-1, |E m| ≈ |Em+1| E = (E1 + Em) / 2.

Последнее выражение выполняется тем с большей точностью, чем больше m .

§ 14 Дифракция от круглого отверстия переменного радиуса. Радиусы зон Френеля

Имеем схему опыта

P

S

1.Сужая отверстие, оставим только первую зону ( m = 1) . Получим светлое пятно с центром в точке P ( усиление света). Если удалять экран (или приближать), то пятно плавно темнеет или светлеет.

347