Проведенные математические операции легко проверить непосредственным вычислением.
3.2 Гипотеза и формула Планка
Планк использовал функцию плотности распределения Гиббса, но предположил, что энергия частиц распределена в интервале 0 - ∞ дискретно, а не непрерывно ε = ε 0n, то есть порциями кратными некоторой минимальной порции энергии. Тогда при расчете средней энергии осциллятора необходимо перейти от интегрирования к суммированию. Найдем среднюю энергию осциллятора при этих предположениях.
Чтобы удовлетворить в полученной формуле для спектральной плотности энергии виду ~ ν3 F (T/ν), Планк представил минимальную порцию энергии осциллятора ε0 пропорциональной частоте с коэффициентом пропорциональности h
.
ε0 = h ν, [h] = Дж с.
370
Константу h Планк назвал квантом действия, а в дальнейшем она получила нарицательное название постоянной Планка, это универсальная постоянная равна
h = 6,6 10 – 34 Дж с.
Таким образом, формула Планка принимает вид
wε = 8πhν3 / c3 [exp (hν/kΤ) −1].
Формулу Планка также можно выразить через циклическую частоту или длину волны.
3.3 Анализ формулы Планка
1. Пусть hν/kT << 1, тогда разложим в ряд экспоненту
Пусть hν/kT = x. Получили трансцендентное уравнение вида
3(e x – 1) = x e x.
Если его решить графически или численно, то можно получить решение в виде числа
371
xm = hνm/kT = cst = 4,965.
Однако используют обычно другую постоянную, а именно
hνm/kT = h c/λm kT λm kT / h c = C = 0,2014
λm T = h c C/k (c – скорость света в пустоте).
Из экспериментов: λm для Солнца (наше идеальное черное тело) λm = 5000 Å = 5 10 – 7 м, температура Солнца (его наружных слоев) T = 6000 K. Зная, кроме того, постоянную Больцмана и скорость света в вакууме k = 1,38 10 – 23 Дж / К, с = 3 10 8 м/с можно оценить значение константы h = 6,6 10 – 34 Дж с. Пользуются также значение постоянной Планка, приведенной к одному радиану
h/2π = 1, 05 10 – 34 Дж с / рад.
Так идея квантов обрела право на жизнь в процессе исследования теплового излучения как экспериментального , так и теоретического.
§ 4 О фотонах
Пучек фотонов при проникновении в вещество и прохождении через него претерпевает изменения в результате взаимодействия с веществом. Помним, что пучок фотонов можно рассматривать как электромагнитное излучение и как поток частиц, а нам удобнее видеть в нем новое единство. Известны эффекты, определяющие различный характер взаимодействия фотонов и вещества.
1.Комптон эффект – упругое столкновение фотона с электроном вещества. Часть энергии фотона передается электрону. При этом пучок фотонов частично ослабляется.
2.Рождение электрон-позитронной пары (е- - е+) в результате аннигиляции фотонов высоких энергий γ → е- - е+.
3.Фотоэффект – фотон полностью поглощается электроном атомной оболочки. Ситуация, при которой электрон в состоянии взять на себя всю энергию фотона имеет место для фотонов низких энергий начиная от видимого света и менее высокочастотное. В этом участвует и весь атом, что обеспечивает сохранение импульса взаимодействующей системы в целом.
372
Графически ситуация хорошо иллюстрируется по зависимости коэффициен-
1. Генрих Герц (1887) обнаружил, что освещение УФ светом отрицательного электрода в области искрового промежутка облегчает проскакивание искры.
2.
2. Хальвакс, Риги, Столетов (годы жизни Столетова – 1839-1896) обнаружили, что при освещении УФ лучами тело теряет отрицательный заряд, поэтому фотоэффект определяют как явление вырывания электронов из вещества при освещении его светом. Рассмотрим типичную зависимость коэффициента непрозрачности kнепр газа, состоящего из двухатомных молекул, от энергии фотонов
εфотон.
373
kнепр,
отн. ед.
1
2
3
4
10 – 3
1 Видимый свет
εфотон, отн. ед.
На графике можно отметить характерные участки
1.Здесь энергия фотонов ничтожно мала для возбуждения элементов среды, а следовательно фотоны не поглощаются.
2.Здесь поглощение связано с колебательными и вращательными энергиями возбуждения молекул.
3.В «окне прозрачности» поглощение отсутствует
4.В области непрозрачности, простирающейся в сторону возрастания энергии фотонов добавляется фотоэффект (к вращательным и колебательным способам возбуждения электронов) – возбуждение фотонами электронов атомных оболочек.
Установка для исследования фотоэффекта как правило имеет вид:
Вещество, исследуемое на фотоэффект - - фото катод
Iф
V
_
Стекло, прозрачное, для данного вида излучения
mA
+
374
Если подключить вольтметр согласно схеме, то появляется возможность измерять вольтамперную характеристику при наличии светового потока различной мощности и частоты излучения. Приведем вариант схемы, позволяющий менять знак потенциала, прикладываемого к трубке.
где-то посередине потенциометра есть «0» напряжения
_
+
Вольтамперная характеристика (ВАХ) для фиксированных потока Ф и частоты ν имеет вид
I
ток насыщения
задерживающий
U
потенциал
I
Ф2 > Ф1
U
375
Если изменить поток при наличии фотоэффекта получим две разных вольтамперных характеристики. Следует заметить такой экспериментально наблюдаемый факт, что для каждого вещества существует частота, ниже которой фотоэффект отсутствует при любых интенсивностях светового потока. Согласно классической (не квантовой) модели в электромагнитном поле световой волны электрон приходит в колебание, колеблется “раскачиваемый” волной вбирая при этом в себя все больше и больше энергии. Рассмотрим два фактора.
1.Чем больше интенсивность света, тем больше должна быть максимальная скорость вылета электронов при отрыве от вещества.
2.Необходимое время накачки в электрон энергии должно определяться мощностью световой волны и энергией связи электрона с атомом. Оценим это время. Его можно найти как отношение работы выхода электрона из вещества (например, из металла) к мощности падающего на электрон света
t = A вых / P.
Обратимся к таблице работ выхода электронов из металлов.
Элемент
Na
Cu
Fe
W
Zn
Cs
A вых, эВ
2,35
4,4
4,31
4,5 –
3,74
1,81 –
max
min
Пусть мощность источника n = 100 Вт. Оценим мощность, приходящуюся на один атом, имея в виду, что источник точечный, а атом находится на сфере ра-
диуса R = 10 см и имеет поперечное сечение σ ~ 10 – 16 см2 (то есть радиус ~ 10 - 8 см).
S σ
R
376
Доля мощности будет пропорциональна отношению σ / S = (r/R)2, а чтобы найти энергию, полученное значение мощности необходимо умножить на искомое время
P ат = P (r/R)2 A вых = Pат t = P (r/R)2 t.
Для расчета используем самое маленькое значение работы выхода
2 эВ = 2 1,6 10 – 19 Дж. t = 3 10 – 3 секунды.
Более детальные экспериментальные исследования позволили установить следующие положения (иногда их называют законами фотоэффекта).
1.Ток насыщения ВАХ пропорционален потоку падающего излучения при постоянной частоте излучения.
2.Максимальная скорость электронов, вырываемых при фотоэффекте прямо пропорциональна частоте поглощаемого излучения.
3.У данного вещества фотоэффект наблюдается для излучения с частотой больше некоторой критической частоты фотоэффекта
νкр, которая называется красной границей. ν > ν кр λ < λ кр.
4.Испускание электронов происходит практически мгновенно, а точнее опре-
деляется скоростью излучения с = 3 10 8 м/с
t = R / c ~ 10 - 10 секунды.
Такие экспериментальные данные входят в противоречие с классическими представлениями и удовлетворяют квантовому характеру взаимодействия излучения с электронами вещества.
Согласно формуле Планка энергия фотона – кванта электромагнитного поля, вычисляется по формуле
hν - A вых = K max = mv2 max /2.
Мы получили так называемую формулу Эйнштейна для фотоэффекта. Из этой формулы следует, что максимальная энергия фотоэлектронов линейно зависит от частоты излучения, тогда
K max
h = ∆K/∆ν
νкр
ν
377
В не релятивистском случае можно говорить и о линейной зависимости скорости от частоты.
Пусть Kmax = 0 hν = A вых = e Uзап, где е – заряд электрона, а Uзап – напряжение, запирающее фототок до нуля. При этом
h = e U зап/ νкр (а точнее ∆U / ∆ν ).
С другой стороны, зная работу выхода можно найти критическое значение частоты – красную границу. Пример: Na
Заметим в заключение, что работая экспериментально с данными электрическими схемами очень важно не иметь контактных разностей потенциалов в местах электрических соединений, которые могут существенно исказить картину измерений.
Кроме внешнего фотоэффекта, о котором шла до сих пор речь, необходимо также отметить очень важный случай внутреннего фотоэффекта. Если при внешнем фотоэффекте электроны оказываются вне пределов исследуемого вещества, то при внутреннем фотоэффекте электроны атомных оболочек разрывают связь с атомом (например, при поглощении веществом электромагнитного излучения) и становятся квазисвободными, электронами проводимости, оставаясь при этом все время внутри данного вещества, не покидая его. Эти электроны могут участвовать в переносе заряда, то есть увеличить электропроводность вещества.
4.2 Эффект Комптона (К. Артур Холли – американский физик, 1927)
Комптон обнаружил и наблюдал впервые энергию и импульс фотонов как квантовых частиц. Рассмотрим схему
рассеянный фотон
(отраженная волна)
ω′, p′, hν′
ω, p, hν
электрон
m02c2
падающий фотон
Ee, pe
электрон отдачи
378
Взаимодействие происходит в одной плоскости в силу законов сохранения. Слева на электрон (вообще говоря, атомной оболочки) падает фотон (электромагнитная волна). Надо ожидать, что волна отразиться от электрона и у отраженной волны будет такая же частота как и у падающей (как это «происходит» в классике, только измениться фаза при известных обстоятельствах (в зеркале мы видим наше нормальное изображение)).
Распишем законы сохранения данного взаимодействия для импульса и энергии и посмотрим чему равна разность ω - ω′ или
λ′ - λ .
p = p′ + pe
hν + m0c2 = hν′ + c(pe2 + m02c2)1/2.
Здесь m0c2 – энергия покоя электрона, а c(pe2 + m02c2)1/2 – кинетическая энергия электрона отдачи с учетом его энергии покоя. Разделим второе уравнение на с и учтем, что hν/c = E/c = p – суть выражение для импульса электромагнитной волны.
p = p′ + pe
p + mc = p′ + ( pe + m2c2)1/2.
Преобразуем так, чтобы изолировать p - p′
pe = p - p′
( pe2 + m2c2)1/2 = (p - p′) + mc.
Возведем в квадрат оба уравнения по частям
pe2
= p2 – 2pp′ Cos θ + p′2 (θ = p^p′)
pe2
+ m2c2 = p2 – 2pp′ + p′ 2 + 2mc (p - p′) + m2c2.
Приравняем правые части
p - p′ = pp′ (1 – Cos θ) / mc, (p - p′) / pp′ = 1/p′ - 1/p = (1 – Cos θ) / mc.
