Умножая обе части равенства на 2π / λ получаем аналогичное условие для волновых векторов
dK = d (k - k′) = m 2π ,
а так как узлы решетки смещены в кристалле на вектор трансляции, то следовательно d = R и
R(k - k′) = 2πm exp [i (k - k′)R] = 1.
Так как длина волны после рассеяния предполагается не меняющейся, то модули волновых векторов равны k = k′ = k
•
K
θ θ′ k
•
k
K/2 = k Cos θ′ = k Sin θ K = 2 k Sin θ
d 2k Sinθ = 2πm 2d Sin θ = mλ.
Получился тот же результат, что и у Брэггов.
§ 3 Образование энергетических зон в твердых телах
Итак, ионные остатки в твердых телах образуют периодическую решетку, потенциал (потенциальная функция, потенциальная энергия электрона) в которой меняется в зависимости от расстояния периодически
U(r) = U (r + R).
Период решетки (характерный период) составляет размер порядка 10 – 8 см.
420
U(r)
R
e
•
•
•
r
Тогда уравнение Шредингера для электрона в стационарном случае имеет вид
-ħ2 2ψ/ 2m + U (r) ψ = Eψ.
По теореме Блоха (без доказательства) решением такого уравнения является решение вида
ψnk (r) = U n k (r) e i kr.
Экспонента отражает факт присутствия в решении плоской волны, а коэффициентом при экспоненте служит функция с периодичностью решетки Бравэ
U n k (r) = U n k (r + R).
Вернемся к уравнению Шредингера для свободного электрона и возьмем от него одно измерение
- ħ2 ∂2ψ / 2m ∂x2 = Eψ (r).
Проверим дифференцированием решение вида
ψ = exp (i k x) / √V
- ħ2 (i k)2/ 2m = E ħ2k2 / 2m = p2 / 2m.
В твердом теле для электронов Блоха, то есть квази свободных электронов, перемещающихся внутри твердого тела после соответствующей подстановки можно получить похожее выражение
421
E = ħ2 k′2/ 2m = p′2 / 2m.
р′ называют квазиимпульсом. Вид зависимости E (k) как для свободного так и для "блоховского" электрона по виду одинаковый – парабола. Свободный элек- трон-волна обладает определенным волновым числом. Для него разрешены все энергии непрерывного спектра, причем график характеризует собственно электрон
E
k
Однако в твердом теле на электрон накладывается периодическое поле, составляющих твердое тело атомов. Этот факт приводит к изменению вида зависимости E(k) . В точках k = K зависимость для энергии должна быть параболической.
E
K/2
K
k
422
В точках пересечения парабол (например при k=K/2 как это показано для одномерного случая на рисунке) возникает так называемое вырождение (два одинаковых значения энергии для одного и того же значения k ). Можно показать, что это вырождение можно снять, но при этом, но при этом в данной точке возникает расщепление и обе кривые имеют наклон равный нулю (касательной к ним обеим является горизонталь. При учете всех брэгговских плоскостей в кристалле получается целая совокупность кривых (искаженных частей парабол)
E E
k
-3K/2 -K -K/2 K/2 K 3K/2
Представленные рассуждения хотя и чрезвычайно "грубы", но, однако, ясно иллюстрируют факт появления в твердых телах зон запрещенных энергий для электронов, которые однозначно следуют из экспериментов с твердыми телами.
Заметим, что при наличии в кристалле различного рода несовершенств (например, инородных примесей или смещений собственных атомов) внутри запрещенных зон могут образовываться локальные уровни энергий для электронов или их дискретные наборы, что учитывается и широко используется при производстве оптоэлектронной техники.
423
Глава 5 Некоторые сведения по физике атомного ядра
§ 1 Радиоактивность. Закон радиоактивного распада
1.1 Виды радиоактивности
Самопроизвольное изменение состава атомного ядра, происходящее за время существенно большее характерного ядерного времени 10 -22секунды (время, в течение которого α-частица пролетает диаметр ядра) называют радиоактивностью . Различают
1.α - распад
2.β - распад
3.Спонтанное деление атомных ядер
4.Протонный распад и др. ...
Элементарных частиц известно более 200 штук. Остановимся более подробно на первых трех видах радиоактивности
α - распад - самопроизвольный процесс испускания α-частиц, в результате которого массовое число ядра уменьшается на единицу, а зарядовое на две единицы заряда.
A = N + Z.
424
A – массовое число, N – число нейтронов в ядре, Z – число протонов в ядре. Схема реакции
ZAX → 42He + Z – 2A – 4X.
42He – дважды ионизованный атом гелия. Пример
92234U → 90230Th + 24He.
Известно более двухсот α-распадающихся ядер. В данной реакции участвуют
изотопы (элементы постоянного заряда, но с разными массовыми числами) элементов 238U и 232Th.
α-частицы, вылетающие при распаде из ядер имеют энергии в узких пределах 4 – 9 МэВ для тяжелых ядер (наш пример).
β - распад – самопроизвольный процесс, в котором нестабильное ядро превращается в ядро изобар (A – cst) – меняет заряд в результате превращения нейтрона в протон или наоборот протона в нейтрон). Различают
iii.Электронный захват или так называемый К-захват – ядро поглощает электроны оболочки своего атома (обычно у тяжелых ядер К-слоя, отсюда – К-захват). Заметим, что β − распады – явление даже не внутриядер-
ное, а между нуклонное . Примеры:
β-
13H → 23He (электронный распад трития), 12 лет
β+
611С → 511B (позитронный распад), 20,4 мин
425
К-захват
47Be → 37Li
53,6 дней.
Изотопы – Z = cst, изобары – A = cst, изотоны – N = cst. Итак, при β - распаде ядро превращается в соседний с ним изобар. Z меняется на ± 1.
ZAX ± e = Z ± 1AX.
Здесь же упомянем и о γ-излучении ядер. Ядро может быть возбуждено. При этом говорят о более или менее высоких или низких энергетических состояниях ядер. При этом A,Z,N = cst.
Спонтанное деление ядер (распад ядер). Рассмотрим пример
92235U → длинная и разветвленная цепочка превращений → 82207Pb.
∆A = 237 – 207 = 28 ед. массы, ∆Z = 92 – 82 = 10 ед. заряда. Всего в такой це-
почке участвуют 13 промежуточных радиоактивных ядер. Часто такие ряды заканчиваются на 82207,206,208Pb, но не обязательно. Времена распадов бывают
самые разные от 5 10 – 3 с (с, мин, час, дни, годы) до 7 10 5 лет в данном примере. Вообще, если время жизни ядра больше 10 – 12 с, то о нем принято говорить как о стабильном ядре, а если меньше, то – не стабильном.
α
92235U
231Th
Fr
Pb
7 10 5лет
82207 Pb
Pa
Ra
α
Bi
Tl
β-
5 10− 3 c
Ac
Rn
At
α
227 Th
215Po
211Po
426
О единицах радиоактивного распада. Естественной единицей радиационной активности является 1 распад в секунду = 1 Бк (Беккерель) – принята в
Пусть N – произвольное число радиоактивных ядер (не путать с числом нейтронов). Оно со временем по мере распада ядер уменьшается. Если начать отсчет времени в момент t, то в этот момент исходное количество ядер равно N
t
- N
t + ∆t - N - ∆N − ∆Ν Ν ∆t, N<<∆N.
Получили, что убыль радиоактивных ядер, - ∆N, пропорциональна исходному их числу и промежутку времени, в течение которого наблюдается излучение. Вводим коэффициент с целью уравнять обе части полученного выражения и используем предельный переход
dN = - λ N dt | ∫
lnN = - λt + lnN0 N = N 0 e - λ t.
N – число ядер, не распавшихся к данному моменту времени, t , λ - постоянная распада [λ] = с– 1.
Характерное время распада можно получить, например, так. Пусть
N = N0 / e e – 1 = e - λ t t = 1 / λ = τ.
τ - характерное время распада, время, за которое распадается 1/е – ая часть исходного количества ядер.
Также пользуются понятием периода полураспада. Получим его.
N = N0/2 2 – 1 = e - λ t t = T = ln 2 / λ.
Т – время, за которое распадается половина всех радиоактивных ядер.
427
§ 2 Энергия связи ядер
Энергия связи ядра есть та минимальная работа, которую надо произвести, чтобы полностью расщепить ядро на составляющие его нуклоны.
Так энергия связи одного протона с одним нейтроном в ядре рассчитывается следующим образом
Eсв p = Eсв (Z,A) – Eсв (Z – 1, A – 1)
Eсв. n = Eсв. (Z,A) – Eсв. (Z, A – 1).
То есть энергия связи нуклона равна энергии связи ядра с нуклоном минус энергия связи ядра без этого нуклона. Энергию связи ядра можно записать в виде
Eсв. (Z,A) = Z M p + N M n – M (Z,A)
(*)
суммарная энергия
энергия ядра с нуклонами
свободных нуклонов
Здесь M ≡ E = mc2 – полная энергия частицы, энергия массы покоя ее, включая (или исключая) энергию связи в зависимости от того свободна частица или связана в ядре. Массы частиц измеряются экспериментально спектрографическим методом.
Определим понятие дефекта массы ядра, ∆яд.(Z,A) как разность между собственно массой рассматриваемого ядра Мяд. (обычно выражаемой в единицах массы) и соответствующим массовым числом, А. (Массовое число определено как сумма масс отдельных частиц, составляющих ядро – целое число)
∆яд. (Z, А) = М яд. (Z, А) – А яд., М яд. = ∆яд. + А то есть М яд. > А (1)
М р = ∆р + 1, М р = ∆р + 1. (2,3)
Найдем связь между энергией связи ядра м дефектом массы. Подставим (1,2 и 3) в (*)
Eсв. яд = Z (∆p + 1) + N (∆n + 1) – (∆яд. + A) = (**)
= Z ∆p + Z + N ∆n + N - ∆яд. – A = Z ∆p + N ∆n - ∆яд. = Σ ∆нукл. - ∆яд.
428
Здесь ∆p, n, нукл., яд. – дефекты масс протона, нейтрона, нуклонов, ядра.
Наличие энергии связи (а также дефекта масс) – факт природы. К нему надо относиться также, как к энергии, выделяющейся при сгорании горючих веществ. Во всех случаях происходит выделение (освобождение) имеющейся (как-то накопленной) в них внутренней энергии в виде энергии различных связей. Надо уметь эту энергию высвободить. В одних случаях достаточно поднести горящую спичку... .
Пример. Расчет энергии связи ядра атома 24Не. Запишем массы протона, нейтрона и α-частицы (ядра атома гелия)
Мр = 938,2796 МэВ = 1,00722764 а.е.м.
Мn = 939,5731 МэВ = 1,008655 а.е.м.
Мα = 4,001506 а.е.м.
Их массовые числа равны
A p = 1, A n = 1, A He = 4 а.е.м..
Энергию связи находим по формуле для дефекта массы (**). Округлим числа до предпоследнего отличающегося разряда.
