Мальханов - Общая Физика

- ∂Bx/dt = 0, ∂Dx/∂t = 0, ∂Bx/∂x = 0, ∂Dx/∂x = 0 Bx, Dx = cst(x, t).

Смещением начала координат и выбором начала отсчета постоянные величины на фоне переменных составляющих можно положить равными нулю. Это означает в нашем случае, что поле электромагнитных волн имеет переменные составляющие по осям y, z , но не имеет по оси x. E и H перпендикулярны направлению распространению волны (то есть оси x ). Преобразуем оставшиеся уравнения и получим уравнения для одной и той же компоненты E, D, H, или B. Для этого возьмем производную от (3) по x, раскроем Dy по формуле Dy = ε0 Ey и поменяем порядок производных по времени и координате

∂2Hz/∂x2 = - ∂/ (∂Dy/∂t)∂x ∂2Hz/∂x2 = - ∂ (ε0∂Ey/∂x) /∂t .

Произведем замену в правой части согласно (2) и раскроем Bz по формуле Bz

= - µ0Hz

∂2Hz/∂x2 = - ε0∂ ( - ∂Bz/∂t)/∂t = - ε0 ∂(- µ0∂H/∂t)/∂t

∂2Hz/∂x2 = ε0µ0 ∂2Hz/∂t2.

Найдем численное значение и размерность выражения

[c] = [(ε0µ0) – 1/2] = м./с, c = (ε0µ0)- 1/2 3 10 8 м/с.

То есть с = 3 10 8 м/с – электродинамическая постоянная. Она же есть и скорость света в вакууме. Точно такое же уравнение можно получить относительно компоненты E – Ey. Тогда имеем, опустив индексы z, y .

∂2H/∂x2 = ∂2H/c2∂t2, ∂2E/∂x2 = ∂2E/c2∂t2. (**)

А так как 1/c2 = T2/λ2 = k2/ω2 , то уравнения (**) являются волновыми уравнениями и их решения:

E = Em Cos (ωt – kx + ϕ1), H = Hm Cos (ωt – kx + ϕ2) .

321

Чтобы эти уравнения выполнялись одновременно, необходимо выполнение равенства начальных фаз. График электромагнитной волны имеет вид

Таким образом, мы имеем плоскую электромагнитную волну с взаимно перпендикулярными направлениями у E, H и x .

§ 4 Энергия и импульс электромагнитной волны

4.1 Вектор Пойнтинга

Выражение для объемной плотности энергии электромагнитного поля имеет вид

w = wE + wH = ε0E2/2 + µ0H2/2.

Покажем, что справедливо равенство

E√ε0 = H√µ0.

Для этого подставим решения уравнений плоской волны в (2) и (3) из § 3 и перемножим почленно равенства как результаты подстановки

- E k = µ0 ω H

322

- ω E ε0 = k H

=

E2 ε0 = H2 µ0 E√ε0 = Η√µ0.

Произведем замену в выражении для объемной плотности энергии

w = √ε0µ0 HE/2 + √ε0µ0 HE/2 = √ε0µ0 EH = EH/c.

Чтобы рассудить о направлении объемной плотности энергии, вспомним, что E и H взаимно перпендикулярны, а перенос энергии осуществляется перпендикулярно обоим этим направлениям. Если учесть, что направление волнового процесса совпадает с направлением переноса энергии (по оси x) , то согласно векторному произведению

w= (E H) / c.

Влитературе принята величина

S = c w = E H.

S называют вектором Пойнтинга. По направлению вектор Пойнтинга совпадает с направлением распространения плоской электромагнитной волны.

Заметим, что для сферических волн E 1/r и H ~ 1/r S~1/r2. О размерности. [w] = Дж/м3, [S] = Дж/м2с. По физическому смыслу S есть энергия , приходящаяся (пронизывающая) единичную площадку за единицу времени. Таким образом, энергетические характеристики электромагнитной волны затухают обратно пропорционально квадрату расстояния.

4.2 Импульс электромагнитной волны

Электромагнитную волну рассматривают как частицу нулевой массы покоя. Рассмотрим электромагнитную волну как частицу, движущуюся со скоростью v < c ( для электромагнитной волны в вакууме v = c) . Исключим скорость v в выражениях для энергии и импульса.

E2 = m2c4 / (1 – v2/c2) 1 – v2/c2 = m2c4 / E2,

p2 = m2v2 / (1 – v2/c2) = m2c2[(v2/c2 - 1) + 1] / (1 – v2/c2) =

= m2c2[( - m2c4/E2) + 1] / (m2c2c2/E2) = (E2/c2) (1 – m2c4/E2) =

323

наименованию звездного скопления). Он идентифицируется по трем группам признаков. Среди них такой как период действия источника, составляющий 1,2357 секунды. Он зарегистрирован тремя радиотелескопами: в Лос-Аламосе, предназначенном для регистрации широких атмосферных ливней, в Аризоне и на Гавайских островах на телескопах черенковского излучения. До 50-х годов, пока не было ускорителей, все частицы обнаруживались только в космическом излучении. Сверх высокочастотное излучение невозможно создать на ускорителях и такие энергии невозможно объяснить стандартными моделями ускорения космических лучей

325

326

§ 6 О характеристиках электромагнитных волн

Итак, решение уравнения электромагнитных волн записывается в виде

E( или H) = E0( илиH0) Cos (ωt – kx + ϕ)

E, H, E0, H0 – текущие и амплитудные значения электрического и магнитного полей. [E] = А/м, [H] = В/м.

ω - Угловая (или циклическая) частота ω = 2πν, [ω] = рад/с.

t – время, с

k– волновое число k= 2π/λ, k* = 1/λ

k* - спектроскопическое волновое число, м-1

327