госы / Шпоры - 3

3.5. Дифференцируемая функция нескольких переменных. Дифференциалфункции нескольких переменных

Рассмотрим функцию , которая задана на открытом множестве

(для n – мерного случая рассуждения аналогичны). Предположим, что эта функция имеет в точке непрерывные частные производные .Пусть x, у, z получают соответственно приращения, где,δ – достаточно мало, чтобы точка не выходила из δ – окрестности точки . Тогда функция получит полное приращение:

==

где

при .

Теорема. Если функция U=ƒ(x,у,z) имеет непрерывные частные производные в точке, то ее приращение в этой точке определяется соотношением

,где .

Определение. Если приращение функции в точке при достаточно малых можно записать в виде

, где , ,

не зависят от, то говорят, что функция

дифференцируема в точке .

Следовательно, дифференцируемость функции заключается в том, что ее приращение ∆U можно представить в виде двух слагаемых, где первое слагаемое есть выражение линейное относительно и называется оно главной линейной частью приращения, а второе слагаемое есть бесконечно малая высшего порядка, чем .

Определение. Главная линейная часть приращения функции , дифференцируемой в точке, называется дифференциалом функции в точке

4.2. Уравнение Бернулли

Определение Уравнение вида

y’ + P(x)y = Q(x)y^m,(1)

где m0, m 1, называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Уравнения данного вида подстановкой z = y^1-mможно свести к линейному уравнению:

y΄+ P(x) y = f(x)(2)

иногда, проще для интегрирования уравнения Бернулли сразу воспользоваться подстановкой y = UV.

Уравнение (2) решается способом Бернулли следующим образом: будем искать решение в виде произведения двух функций U(x) и V(x):

y = UV.(3)

Найдем производную:

y’ = U’V + UV’(4)

и подставим эти выражения в уравнение (2):

U’V + UV’ + P(x)UV = f(x).

Сгруппируем слагаемые в левой части:

U’V + U[V’ + P(x)V] = f(x).(5)

Наложим условие на один из множителей (3), а именно, предположим, что функция V(x) такова, что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в квадратных скобках в (5), т.е. что она является решением дифференциального уравнения

V’ + P(x)V = 0.(6)

Это уравнение с разделяющимися переменными, находим из него V(x):

;;;

.(7)

Теперь найдем функцию U(x) такую, чтобы при уже найденной функции V(x) произведение U∙V было решением уравнения (5). Для этого надо, чтобы U(x) была решением уравнения

.(8)

Это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому

;

.(9)

Подставляя найденные функции (7) и (9) в формулу (3), получаем общее решение уравнения (2):

3.6. Числовые ряды. Сходимость положительных рядов. Признаки сходимости

Числовым рядом называется выражение вида, где числа называются членами этого ряда.

Заметим, что рядможно записать с помощью знака суммы,т. е. в виде , гденазывается ым членом ряда.

Суммаппервых членов ряда называется ой частичной суммой ряда и обозначается , т. е. .

При исследовании рядов одним из важных вопросов является вопрос о сходимости.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный пределой частичной суммы ряда при , т. е. существует , а сам предел называют суммой этого ряда. В этом случае имеем .

Числовой ряд называется расходящимся, если не существует пределой частичной суммы ряда при.

Если все члены данного ряда являются неотрицательными числами, то числовой ряд называется положительным рядом. Рассмотрим положительные ряды. Учитывая, что в этом случае не убывает с возрастанием п итеорему (необходимое и достаточное условие для сходимости неубывающей последовательности) получаем следующее утверждение: для сходимости положительного ряда необходимо и достаточно, чтобыпоследовательностьх частичных сумм ряда была ограничена сверху.

Теорема (необходимое условие сходимости ряда).

Если числовой ряд сходится, то его ый член стремится к нулю при, т. е. .

Доказательство. Рассмотрим сходящийся числовой ряд , следовательно, выполняется условие при любом , тогда выполняется условие

, где, т. е. или. Вычтем почленно из , получим. Откуда с учетом свойств пределов будем иметь , т. е. .

Теорема. Если ряд сходится к сумме , а рядсходится к сумме, то рядсходится к сумме.

Доказательство. Из сходимости первого ряда имеем , где

, а из сходимости второго ряда имеем , где

. Рассмотрим ряд

, ую сумму которого обозначим через,

тогда .

Найдем предел

Аналогично можно доказать следующие теоремы:

Теорема. Если ряд сходится к сумме , то рядсходится к сумме .

Теорема. Если сходится ряд, то сходится и ряд, который получен из данного путем отбрасывания конечного числа его членов.

Верно и обратное,если сходится ряд, полученный из данного отбрасыванием конечного числа его членов, то сходится и сам данный ряд.

Первый признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда и причем каждый член первого ряда не превосходит соответствующего члена второго ряда, т. е. , тогда если сходится ряд с большими членами, то сходится и ряд с меньшими членами, если же расходится ряд с меньшими членами, то расходится и

ряд с большими членами. Второй признак сравнения.Пусть даны два положительных ряда и , существует предел . Тогда при оба рядалибоодновременно сходятся, либо одновременно расходятся; при из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Признак Даламбера. Пусть дан положительный ряд , для которого существует предел отношения последующего члена к предыдущему при стремлении его номера к бесконечности, т. е. тогда: если то ряд сходится; если то ряд расходится.

Признак Коши. Пусть дан положительный ряд , для которого существует пределкорняойстепени из его общего члена прит. е., тогда: если то ряд сходится; если то ряд расходится.

4. Дифференциальные уравнения

4.1. Уравнения в полных дифференциалах

Определение. Уравнение вида

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,(1)

где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух переменных, называется уравнением в полных дифференциалах.

Обозначим эту функцию двух переменных через F(x,y). Тогда уравнение (1) можно переписать в виде dF(x,y) = 0, а это уравнение имеет общее решение F(x,y) = C.

Пусть дано уравнение вида (1). Для того чтобы узнать, является ли оно уравнением в полных дифференциалах, нужно проверить, является ли выражение

P(x,y)dx + Q(x,y)dy(2)

полным дифференциалом некоторой функции двух переменных. Для этого необходимо проверить выполнениеравенства

.(3)

Допустим, что для данного выражения (2) равенство (3) выполняется в некоторой односвязной области(S) и, следовательно, выражение (2) является полным дифференциалом некоторой функции F(x,y) в (S).

Рассмотрим следующий способ нахождения этой первообразной. Необходимо найти такую функцию F(x,y), чтобы

и.

Положим

,(3)

где функция (у) будет определена ниже. Из формулы (3) тогда следует, что

(4)

во всех точках области (S). Теперь подберем функцию (у) так, чтобы имело место равенство.(5)

Для этого перепишем нужное нам равенство (5), подставив вместо F(x,y) ее выражение по формуле (3):

.(6)

Произведем дифференцирование по у под знаком интеграла (это можно делать так как P(x,y) и - непрерывные функции двух переменных):

.(7)

Так как по (2) , то, заменяя на под знаком интеграла в (7), имеем:

.

Проинтегрировав по у, найдем саму функцию (у), которая построена так, что выполняется равенство (5). Используя равенства (4) и (5), видим, что

в области (S).

Конечно, не всякое дифференциальное уравнение вида (1) является уравнением в полных дифференциалах. Всегда можно привести его к уравнению такого типа умножением на некоторую не равную нулю функцию  (х,у), называемую интегрирующим множителем. Но не всегда легко найти такую функцию.

Если  (х,у) интегрирующий множитель уравнения (1),то уравнение

(x,y)M(x,y)dx +(x,y)N(x,y)dy=0

является уравнением в полных дифференциалах:

((x,y)M(x,y))/ y =  ((x,y)N(x,y))/ x

т.е. интегрирующий множитель есть решение уравнения

(x,y)((M/y) - (N/x) = N(/x) - M(/y)(6)

4.3. Уравнения Клеро и Лагранжа

Определение. Уравнением Лагранжа называется уравнение, которое имеет вид

где и – неизвестные функции от, причём считаем, что функция отлична от .

Уравнение Лагранжа является линейным относительно переменных x и y. Такое дифференциальное уравнение приходится решать,методом введения вспомогательного параметра.

Найдём его общее решение, введя параметр. Тогда уравнение запишется в виде:

Замечая, что продифференцируем обе части этого уравнения по x.

Пишем:

Преобразуем его в вид

Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении

p=p₀,

удовлетворяющему условию

.

В самом деле, при любом постоянном значенииp, производная тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.

Решение, соответствующее каждому значениюp=p₀, то есть, , является линейной функцией от х, поскольку производная,постоянна только

у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство значениеp=p₀, то есть

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением.

Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение в виде

и будем считать х, как функцию от р.Тогда полученное уравнение сутьнечто иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции х от р. Решая его, найдём

Исключая параметр р из уравненийнайдём общий интеграл данного уравнения в виде Ф(х, у, С) = 0.

Определение

Уравнением Клеро называется уравнение вида:

.

Уравнением Клеро – это частный случай уравнения Лагранжа. Чтобы решить уравнение Клеро необходимо вводя параметр , получитьуравнение вида

(т.е. , как раз оставшийся случай),

или

.

Тогда, если

, то

и - это общее решение уравнения Клеро (прямые линии).

Если же

, то .

Тогда

.

.

Таким образом, рассмотренный метод (способ Бернулли) сводит решение линейного уравнения (2) к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.

Пример

Найти общий интеграл уравнения .

Это уравнение не является линейным относительно y и y’, но оно оказывается линейным, если считать искомой функцией x, а аргументом y. Действительно, переходя к, получаем,или

.

Для решения полученного уравнения воспользуемся способом подстановки (Бернулли). Будем искать решение уравнения в виде x(y)=U(y)V(y), тогда . Получаем уравнение:

, или

.

Выберем функцию V(y) так, чтобы . Тогда

или

.

Подставляя найденное значение V в (*), найдем:

.

Тогда - общее решение дифференциального уравнения.

и записывается следующим образом:

.

Учитывая, что для независимых переменных , то предыдущее соотношениезапишется в виде:

.

При достаточно малом для дифференцируемой функции в точке имеет место приближенное равенство,т.е.или

.

Аналогично для функции, дифференцируемой в точке n- мерной области, имеем:

.

Пример. Найдите полный дифференциал функции.

Решение. Воспользуемся формулой дифференциала функции :

.

Найдем частные производные данной функции

и подставим их в формулу дифференциала:

.

Интегральный признак Коши. Пусть дан ряд, члены которого положительны и не возрастают, т. е. , и пусть – такая непрерывная невозрастающая функция, что . Тогда из сходимости несобственного интеграла следует сходимость данного ряда, а из расходимости несобственного интеграла следует расходимость и данного ряда.

Ряд вида , где – положительные числа, называется знакочередующимся рядом. Знакочередующийся ряд называется рядом Лейбница, если и предел его общего члена при равен нулю, т. е. .

Теорема. Ряд Лейбница сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Ряд называется знакопеременным, еслиего членами являютсячисла как положительные, так и отрицательные.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, еслион сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).

Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.

Пример. Исследуйте сходимость ряда.

Решение. Для данного ряда найдем предел его общего члена, т. е. провериливыполнение необходимогопризнака сходимости. Сравнимданный ряд с рядом Дирихле

, который сходится при >1 и расходится при p. Рассмотрим общий член данного ряда, получили, чточлены данного ряда не превосходят соответствующих членов ряда , который сходится, следовательно, по первому признаку сходится и данный ряд.

Пример. Исследуйте сходимость ряда.

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Имеем . Найдем предел

=. Получили , следовательно, данный ряд расходится.

Пример. Исследуйте сходимость ряда .

Решение. Применим признак Коши. Общий членданного ряда . Найдем предел , тогда следовательно, данный ряд сходится.

Пример. Исследуйте сходимость ряда.

Решение. Члены данного знакочередующегося ряда по абсолютному значению убывают, т. к. , и , следовательно, по теореме Лейбница данный ряд сходится.

Найти функцию  (х,у) из уравнения (6) в общем случае довольно сложно. В частных случаях соотношение (6) значительно упрощается. Случай 1

Если уравнение (1) имеет интегрирующий множитель, зависящий только от x, т.е.  (х,у)= (х), то из (6) имеем

(1/ )(/x)= ((M/ y) – (N/ x))/N

Случай 2

Если уравнение (1) допускает интегрирующий множитель как функцию одной переменной y, т.е.  (х,у) = (у), то

(1/ )(/y)= ((M/ y) – (N/ x))/ (-M)

Случай 3

Если уравнение (1) имеет интегрирующий множитель вида  (х,у) = ((х,у)), где  (х,у) - известная функция, то

(1/ )(/)= ((M/ y) – (N/ x))/(N(/x) – M(/y))

Теорема

Если ₀(х,у) - интегрирующий множитель уравнения вида (1), а функция U₀(x,y) такая, что₀(Mdx + Ndy) = dU₀

Тогда =₀(х,у)(U₀), где  - произвольная дифференцируемая функция, также будет интегрирующим множителем того же уравнения.

Это свойство интегрирующего множителя позволяет во многих случаях находить его методом разбиения данного уравнения на две части.

Пусть

U₁ (x,y) = C_1,₁(х,у);U₂ (x,y) = C_2, ₂(х,у)

- общие интегралы и интегрирующие множители соответственно для уравнений

M₁dx +N₁dx = 0, M₂dx +N₂dx = 0,

Тогда, в силу приведенной выше теоремы, функции

^*_{1 =} ₁₁(U₁) и ^*_{2 =} ₂₂(U₂)

являются интегрирующими множителями для первого и второго уравнения соответственно. Если удастся подобрать функции ₁и ₂ так, чтобы выполнялось равенство

₁₁(U₁) =₂₂(U₂)

то интегрирующим множителем для уравнения

(M₁+ M₂)dx +(N₁ +N₂)dy = 0

очевидно, является функция

 =₁₁(U₁) =₂₂(U₂)

Пример

Проверить, является ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах и решить его

.

Это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. В самом деле, обозначая

,

убеждаемся в том, что,

а это есть необходимое и достаточное условие того, что выражение

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y). При этом - непрерывные в R функции.

Следовательно, чтобы проинтегрировать данное дифференциальное уравнение, нужно найти такую функцию, для которой левая часть дифференциального уравнения будет полным дифференциалом. Пусть такой функцией будет U(x,y), тогда

.

Интегрируя левую и правую части по x, получим:

.

Чтобы найти φ(y), используем тот факт, что

,т.е.

,

откуда

,.

Подставляя найденное значение φ(y)в

.

окончательно получим функцию U(x,y):

,

Общий интеграл исходного уравнения имеет вид.

Пример

Решить уравнение:

Решение

Общее решение уравнения будет:

;

особое решение:

0 = x + 2C,

Проверим, что последняя функция действительно является решением исходного уравнения:

.