госы / Шпоры - 7
.docx|
7.13. Методика обучения решению задач, содержащих параметр Роль и место задач, содержащих параметр, в обучении математике Большим потенциалом в развитии исследовательских умений таких, как умение наблюдать, анализировать, выдвигать и доказывать гипотезу, обобщать и др., безусловно, обладают задачи с параметрами (в частности уравнения и неравенства с параметрами). Данные задачи играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Известен и понятен интерес экзаменационных комиссий ВУЗов к этим задачам: уравнения и неравенства с параметрами - эта тема, на которой проверяется не натасканность ученика, а подлинное понимание материала. Кроме того, учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, будут более творчески подходить к решению любой задачи. Глубокая, богатая идеями и методами - содержательно-методическая линия задач с параметрами как нельзя лучше позволит развить активную творческую деятельность учащегося, его системное мышление, подготовить его к решению действительно творческих задач, которые со временем перед ним поставит сама жизнь. Психологическая наука давно пришла к выводу, что лучше всего формировать и развивать мышление в ходе решения задач. В обучении математике они являются и целью, и средством обучения и математического развития школьников. В частности, это относится и к задачам с параметрами. Задача с параметром представляет собой целую серию однотипных задач, соответствующих всевозможным числовым значениям параметра. Добавление параметра значительно усложняет задачу, т.к. увеличивается ее размерность, появляется «глубина». Решение такой задачи требует системного подхода, целостного представления ситуации. Для решения уравнений (неравенств) с параметрами необходимо умение проводить разветвленные логические построения. При этом необходимо четко и последователь но следить за сохранением равносильности решаемых уравнений(неравенств), учитывая области определения выражений в них входящих. Использование стандартных методов при решении задач с параметрами иногда приводит к необходимости выполнения очень громоздких вычислений, что существенно затрудняет решение. Такая ситуация, как правило, способствует началу творческих поисков других путей решений, их исследования, направленное на нахождение наиболее рационального, наиболее «красивого» способа решения. Под исследованием в науке понимается изучение какого-либо объекта с целью выявления закономерностей его возникновения, развития, преобразования. В процессе исследования синтезируются имеющиеся знания, накопленный опыт, а также методы и способы изучения объектов. Из вышесказанного можно сделать вывод, что решение задач с параметрами развивает системное, логическое мышление. Являясь |
7.14. Поисково-исследовательская деятельность учащихся по математике Совершенствование учебного процесса идет сегодня в направлении увеличения активных методов обучения, обеспечивающих глубокое проникновение в сущность изучаемой проблемы, повышающих личное участие каждого обучающегося и его интерес к учению. Целый ряд активных методов был разработан в начале XX века: метод проектов (Дж. Дьюи), эвристический (Г.А. Армстронг), опытно-эвристический (А.Я. Герд), лабораторно-эвристический (Ф.А. Винтергальтер), метод лабораторных уроков (К.П. Ягодовский), естественно-научного обучения (А.П. Пинкевич) и др. В это же время был создан целый класс имитационных игровых и неигровых методов. Многие из перечисленных методов Б.Е. Райков в свое время назвал исследовательскими методами. В исследовательском методе учащиеся осуществляют самостоятельный поиск знаний, испытывают увлеченность идеей и процессом учения; этот метод реализует познавательную самостоятельность и творческую активность. Исследовательская деятельность является одной из форм творческой деятельности, поэтому ее следует рассматривать в качестве составной части проблемы развития творческих способностей учащихся. Интеллектуальное и нравственное развитие человека на основе вовлечения его в разнообразную самостоятельную деятельности в различных областях знаний можно рассматривать как стратегическое направление развития образования. Развитие личности учащегося, его интеллекта, чувств, воли, осуществляется лишь в активной деятельности. Человеческая психика не только проявляется, но и формируется в деятельности, и вне деятельности она развиваться не может. В форме нейтрально-пассивного восприятия нельзя сформировать ни прочных знаний, ни глубоких убеждений, ни гибких умений. Способность учащихся к творческой (а, значит, и к исследовательской) деятельности эффективно развивается в процессе их целесообразно организованной деятельности под руководством учителя. Под творческой деятельностью обучающегося можно понимать всякую деятельность, которая осуществляется не по заранее заданному алгоритму, а на основе самоорганизации, способности рационально планировать свою деятельность, осуществлять самоконтроль, перестройку своих действий в зависимости от возникшей ситуации, способность пересмотреть, и, если необходимо, изменить свои представления об объектах, включенных в деятельность. Исследовательская деятельность является одним из видов творческой деятельности. К настоящему времени нет единого психологического критерия творческой деятельности.
|
Основываясь на критериях творческой деятельности, в учебном пособии дано развернутое определение исследовательской деятельности через систему следующих признаков, согласно которым исследовательская деятельность: направлена на решение задач, для которых характерно отсутствие у субъекта способа решения задачи; связана с созданием субъектом на осознаваемом или неосознаваемом уровнях новых для него знаний в качестве ориентировочной основы для последующей разработки способа решения задачи; характеризуется для субъекта неопределенной возможностью разработки новых знаний и на основе их способа решения задачи; неопределенность обусловлена отсутствием каких-либо других знаний, строго детерминирующих указанную разработку. Для раскрытия сущности понятия учебного исследования нами выделены его характерные признаки: учебное исследование - это процесс поисковой познавательной деятельности (изучение, выявление, установление чего-либо и т.д.); учебное исследование всегда направлено на получение новых знаний, то есть исследование всегда начинается с потребности узнать что-либо новое; учебное исследование предполагает самостоятельность учащихся при выполнении задания; учебное исследование должно быть направлено на реализацию дидактических целей обучения. К основным дидактическим функциям учебных исследований в пособии отнесены: функцию открытия новых (неизвестных ученику) знаний (т.е. установление существенных свойств понятий; выявление математических закономерностей; отыскание доказательства математического утверждения и т.п.); функцию углубления изучаемых знаний (т.е. получение определений, эквивалентных исходному; обобщение изученных теорем; нахождение различных доказательств изученных теорем и т.п.) .); функцию систематизации изученных знаний (т.е. установление отношений между понятиями; выявление взаимосвязей между теоремами; структурирование учебного материала и т.п.); функцию развития учащегося, превращение его из объекта обучения в субъект управления, формирование у него самостоятельности к самоуправлению (самообразованию, самовоспитанию, самореализации). Поисково-исследовательская деятельность это процесс решения поставленной проблемы на основе самостоятельного поиска теоретических знаний; предвидение и прогнозирование, как результатов решения, так и способов и процессов деятельности. Исследовательская деятельность может существовать в двух видах: учебно-исследовательская и научно-исследовательская, особенностью которых является то, что их содержанием выступает разрешение противоречий с целью нахождения субъективно или объективно нового знания. |
7.16. Уровневая и профильная дифференциация в обучении Термин дифференциация в обучение появился в нашей стране в конце 50 годов XX века проявлением дифференциации тогда стали специализированные школы и классы с углубленным изучением ряда предметов. В конце 60 годов появилась еще одна форма дифференциального обучения - это факультативные занятия по предметам. Принято различать два основных типа дифференциации содержания обучения: профильную и уровневую. Профильная дифференциация основана на добровольном выборе школьниками профиля обучения исходя из познавательных интересов, способностей, достигнутых результатов обучения и профессиональных намерений. Она обращена на реализацию индивидуального подхода по отношению к отдельным группам учащихся и предусматривает объединение учащихся в относительно стабильные "группы, где речь идет об обучение по особым программам, различающимся содержанием, требованиями к знаниям и умениям школьников. Процесс обучения в группах протекает по-разному: отличается содержание образования, изменяется доминирующая роль тех или иных методов обучения, их формы и приемы и т.п. Основным приемом профильной дифференциации содержания образования являются предметы базисного учебного плана средней школы, т.е. «предметные» подходы к дифференциации. Выделяются три группы профилей: физико-математические, естественнонаучные, гуманитарные. В отдельных случаях профильная дифференциация содержания образования осуществляется по другому критерию с учетом интереса учащихся по тому или иному виду деятельности: живописи, музыке и т.п. Профильная дифференциация содержания образования по предметным областям получила в настоящее время широкое распространение в школьной практике и выражается в специальной структуре школьного образования в виде профилированных школ, классов (гуманитарных, естественнонаучных, физико-математических и др.). Создаются классы с углубленным изучением отдельных предметов, гимназии и лицеи, колледжи и авторские школы. Профильная дифференциация содержания образования направлена на подготовку учащихся к продолжению образования в избранной специализации, будущей профессиональной деятельности. Тем не менее, реализация лишь профильной дифференциации образования не может быть средством решения проблем, связанных с развитием учеников. Нередко углубление «профильного» предмета приводит к недооценке «непрофильных» дисциплин, и учащиеся получают углубленные знания по "профильным" учебным предметам за счет поверхностного изучения «непрофильных» предметов. Это оборачивается узостью интересов, снижающей возможность проявления личности в различных сферах.
|
|
7.15. Организация тематического контроля знаний учащихся в процессе обучения конкретного раздела математики Проверка и оценка знаний, умений и навыков учащихся по математике всегда имела и имеет место в практике работы школы. Она является для учителя средством установления того, как ученик усваивает программный материал, как продвигается в своем развитии по годам обучения. Одновременно проверка и оценка служат сигналом о трудностях в изучении материала, об эффективности применения учителем того или иного учебного пособия, методов и приемов обучения. Проверка знаний важна и для учащихся, так как служит им сигналом об уровне усвоения и обучает самоконтролю. Вопросам проверки и оценки знаний учащихся посвящено много исследований в педагогике и психологии, а по результатам этих исследований изданы практические разработки самостоятельных и контрольных работ, различных тестов, олимпиадных заданий, математических диктантов и так далее. Основной целью проверки и оценки качества знаний ученика учителем является определение качества усвоения учеником программного материала – уровня овладения знаниями, умениями, навыками, предусмотренными стандартом по математике. Задачами учета и контроля знаний по математике можно считать следующие: - Определить меру ответственности каждого ученика за результаты учения; - Оценить уровень умений ученика добывать знания самостоятельно. Учитель должен анализировать результаты контроля и делать вывод о необходимости совершенствовать преподавание, а ученик – о необходимости продвижения в своем умственном развитии. Условно контроль знаний учащихся можно подразделить на следующие виды: - текущий контроль; - тематический контроль; - периодический контроль. Текущий контроль – это контроль за усвоением знаний, умений и навыков учащимися на каждом уроке, на отдельных этапах урока. Обучение математике, как известно, сопровождается записями в тетрадях, поэтому проверка тетрадей учащихся является необходимым элементом текущего контроля. Результаты проверки тетради ученика учитываются при оценке успеваемости. Необходимым элементом текущего контроля является проверка домашних заданий. На каждом уроке необходимо выяснять, что ребятам было непонятно при выполнении заданий дома и не оставлять их вопросы без ответов. Учитель всегда заранее продумывает, как и кого он будет спрашивать по домашнему заданию, предполагает, какие могут возникнуть вопросы. Также распространенной формой текущего контроля являются кратковременные контрольные работы, математические диктанты, тесты, контрольный устный счет, уплотненный фронтальный опрос и так далее. Все оценки за эти виды работ выставляются учителем в журнал. |
Решая главную задачу обучения учащихся, учитель проводит работу по накопляемости оценок и, следовательно, объективно выставляет оценки за четверти, полугодия и год. Повторюсь еще раз: математика – письменный предмет и оценки за письменные работы играют ведущую роль в определении итоговой оценки. Математические диктанты – хорошо известная форма контроля знаний. Учитель сам или с помощью звукозаписи задает вопросы, а ученики записывают ответы на них. Однакоупотребляют их редко по следующим причинам: - не по любой теме можно провести диктант, - не все учащиеся способны хорошо воспринимать задания на слух, - с их помощью можно проверить, усвоили ли учащиеся обязательный минимум знаний, но нельзя организовать углубленную проверку. Но наряду с недостатками можно отметить и достоинства: - математические диктанты развивают умение воспринимать задания на слух, а это ведет к умению слушать лекцию и слушать вообще, - это альтернатива устного счета, который охватывает не всех учеников, -ответы на вопросы диктанта показывают, усвоено ли основное содержание ранее изложенного материала. Формы и средства тематического контроля знаний учащихся 1. Домашняя контрольная работа (ДКР). Обычно она даётся в начале изучения большой темы, а сдаётся – после окончания изучения. Задания включаются из раздела дополнительных заданий в учебнике по указанной теме. ДКР выполняется в специальных тетрадях (но можно использовать и обычные рабочие тетради, которых у учащихся две). Работы собираются у всех учеников одновременно в строго установленный день, что позволяет избегать списывания. 2. Зачёты. Они используются с целью повышения ответственности учащихся за результаты своего труда, для развития самостоятельности и уверенности в себе каждого. Зачёт проводится обычно после изучения какой-то важной темы. Удобнее на зачёт отводить два урока, так как необходимо проверить теоретические знания и практические умения и навыки учеников. На зачетном уроке могут сочетаться индивидуальные, групповые и коллективные формы работы. Основными компонентами зачетного урока являются:
|
7.17. Общие и частные методы доказательства теорем Общие методы доказательства Общими методами доказательства теорем в курсе математики средней школы являются синтетический, аналитический методы, доказательство противоречием, доказательство методом перебора, доказательство методом исключения, метод бесконечных исключений, метод полной индукции, метод математической индукции, метод конструирования. Среди всех методов доказательства теорем в школьном курсе геометрии основную нагрузку несет синтетический метод, ибо он является составной частью доказательства любым другим методом. Анализ и синтез практически неотделимы друг от друга и составляют единый аналитико-синтетический метод. Мы их рассмотрим в отдельности друг от друга, чтобы наиболее выпукло показать особенности каждого метода. Доказательство теоремы при синтетическом методе ведётся следующим образом цепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от условия теоремы к ее заключению. Рассмотрим синтетическое доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника. Дано:ABC — треугольник (рис. 1). Доказать: ﮮ1 + ﮮ2 + ﮮ3 =180°.
ﮮ3 = ﮮ5.
Теорема доказана. К достоинствам синтетического метода следует отнести сжатость, краткость, исчерпывающую полноту, логическую безупречность образца рас рассуждений. В методическом отношении синтетический метод имеет и свои недостатки: для учащихся остается неясным, как можно обнаружить такое доказательство, почему в рассуждениях поступают так, а не иначе; не аргументируется, почему нужны те или иные дополнительные построения; школьники не представляют, в каком направлении должны протекать рассуждения, так как этому методу свойственна большая неопределенность и многозначность при выборе пути доказательства теоремы. Перечисленные недостатки отрицательно сказываются на развитии у учащихся продуктивного, творческого мышления. |
При аналитическом доказательстве теоремыцепочка силлогизмов строится так, что мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Различают два вида аналитического метода: восходящий анализ (анализ Паппа), нисходящий анализ (анализ Евклида). Частные методы доказательства К частным методам доказательства относят метод геометрических преобразований, векторный, координатный, алгебраический методы и т. д. Рассмотрим примеры некоторых из них (попутно будут затронуты не только задачи на доказательство, но и задачи другого характера). Векторный метод Задача 1. Доказать, что отрезок, соединяющий середины противоположных ребер правильного тетраэдра, есть общий перпендикуляр этих ребер. Решение: Пусть ребро тетраэдра равно а. Введем векторы а, b, с иMN. Пользуясь определением разности векторов, запишем: MN=DN-DM = =
Найдем скалярное произведение векторов:
Следовательно, DC • MN = 0. А это условие перпендикулярности векторов, т. е. векторы DC и MN перпендикулярны. Аналогично доказывается, что векторы MN и АВ перпендикулярны. Геометрический метод доказательства Задача. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри правильного треугольника, до стороны этого треугольника есть величина постоянная для данного треугольника.
|
|
7.18. Способыопределений математического понятия Общая характеристика понятия Понятие - форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты. Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и объему.Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуютсяв систему взаимосвязанных понятий. Содержание понятия - это множество всех существенных признаков данного понятия. Объем понятия - множество объектов, к которым применимо данное понятие. Например, понятие «треугольник» соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство - наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия); понятие «уравнение» соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство - равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия). Существенные свойства (характеристические) - это такие свойства, каждое из которых необходимо, а все вместе достаточны для характеристики объектов, принадлежащих понятию. Однако, не каждое необходимое условие является достаточным и не каждое достаточное условие является необходимым. Например, равенство двух углов является необходимым условием для того, чтобы эти углы были вертикальные, но не является достаточным. Процесс конструирования понятий заключается в поиске такого числа необходимых условий, которое было бы достаточно для однозначного определения требуемого класса вещей. Совокупность этих условий и принимают за содержание понятия. Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Так, содержанием понятия квадрата является совокупность условий «быть четырехугольником», «иметь равные стороны», «иметь равные углы». Квадрат можно определить как четырехугольник с равными сторонами и равными углами. Например, для понятия “параллелограмм” содержание будет представлено следующими свойствами: а) противоположные стороны равны и параллельны; б) противоположные углы равны; в) диагонали в точке пересечения делятся пополам и др. Объем понятия “параллелограмм” представлен множествами следующих четырехугольников: 1) собственно параллелограммы; 2) ромбы; 3) прямоугольники; 4) квадраты (рис. 1).
|
Рис.1.Объемпонятия «параллелограмм»
. Между содержаниеми объемомпонятия существует в некотором смысле обратнаясвязь:сувеличением содержанияпонятия «параллелограмм» (диагонали взаимно перпендикулярны) сразу уменьшается его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребовать параллельности только двух противоположных сторон), увеличится его объем (к названным четырехугольникам добавится трапеция). Если объем одного понятия содержится в объеме другого понятия, то второе понятиеназывается родовым по отношению к первому понятию, а первое называется видовым по отношению ко второму. Например,понятие «ромб» являетсяродовым по отношению к понятию «квадрат». Введение понятия через ближайший род и видовые заключается в следующем: 1)указывается род, в который входит определяемое понятие; 2)указываются видовые отличия и связь между ними. Например, «Ромб - это параллелограмм, две смежные стороны которого равны». Родовым понятием выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия (равенство смежных сторон). По отношению объемов различают следующие виды понятий: равнозначные, объемы которых полностью совпадают; пересекающиеся, объемы которых частично пересекаются; находящиеся в отношении включения, объем одного понятия содержится в объеме другого понятия. Определение понятия. Типы определений. Определить понятие - это значит перечислить его существенные свойства. Определение понятия - это предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т. е. совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса объектов, принадлежащих определяемому понятию. Явные и неявные определения. Явные и неявные определения различаются в зависимости от своей структуры. Явныеопределения содержат прямое указание на существенные признаки определяемого понятия; определяемое и определяющее в них выражено четко и однозначно. |
Например, «Углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки»; «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом». Дескрипцияминазываются определения математических объектов путем указания их свойств («То число, которое будучи умножено на длину диаметра, дает длину его окружности» - дескрипция числа p ). Неявныеопределения объектов не содержат четкого и однозначного определяющего элемента, в них содержание определяемого может быть установлено через некоторый контекст. Номинальные и реальные определения. Все определения, которые применяются в математике и других науках, делятся на номинальные и реальные, в зависимости от того, что определяется - знаковое выражение (термин, символ) или реальный объект, обозначаемый им.С помощью номинальногоопределения вводится новый термин, символ или выражение как сокращения для более сложных выражений из ранее введенных терминов или символов, или уточняется значение уже введенного термина или символа. Номинальные определения являются средством обогащения языка науки и уточнения семантики его выражений (“Квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число х ”). С помощью реальныхопределений фиксируются характеристические свойства самих определяемых объектов. Деление определений на номинальные и реальные не связано с их формальной структурой. Одно и то же определение можно представить и как номинальное, и как реальное. Например, пусть дано реальное определение: «Пятиугольник – есть плоская геометрическая фигура, ограниченная пятью сторонами». Это же определение можно переформулировать как номинальное: «Пятиугольником называется плоская геометрическая фигура, ограниченная пятью сторонами». Контекстуальные и индуктивные определения. В математике начальных классов часто применяются контекстуальныеопределения, в которых определение нового неизвестного термина, понятия выясняется из смысла прочитанного, сводится к указанию содержащих его контекстов («больше», «меньше», «равно»).
|
|
.
