госы / Шпоры - 4

5. Теория функций действительного и комплексного переменного

5.1. Открытые и замкнутые множества

Пусть Е точечное множество метрического пространства.

Определение 35

Множество называют замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, то есть если Е' Е, то множество Е называют замкнутым.

Проиллюстрируем данные определения примерами.

Примеры.

1. Е = (а,b), Е' = [a,b]. Множество не замкнуто.

2. Е = [а,b], Е' = [a,b]. Множество замкнуто.

3. Е = , Е' = {0}. Множество замкнуто.

Свойства замкнутого множества

Теорема 1.Производное множество Е' любого точечного множества Е замкнуто.

Доказательство

Теорема очевидна, если Е' пусто. Пусть Е' не пусто и х0 есть предельная точка Е'. Рассмотрим произвольный интервал (α,β), содержащей точкух0. По определению предельной точки, в этоминтервале найдётся точка zЕ'. Значит интервал(α,β)есть интервал, охватывающий предельную точку исходного множества Е,а потомуон содержитбесконечное множество точек Е.

Итак, всякий интервал, содержащий точку х₀ содержит бесконечное множество точек Е, так что точка х₀ есть предельная точка Е.То естьх₀Е'. Значит, множество Е' содержит все свои предельные точки и, стало быть, замкнуто.

Теорема 2. Замыкание любого множества Е замкнуто.

Доказательство

Действительно,

= (ЕЕ') =Е'(Е')'Е'Е' =Е'Е'.

Теорема 3.Для того, чтобы множество Е было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замыканием:.

Доказательство

Достаточность этого условия вытекает из предыдущего свойства. Обратно, пусть множествоЕ замкнуто, тогда,откуда и следует, что.

Теорема 4. Объединение конечного числа замкнутых множеств есть множество замкнутое.

Доказательство

Рассмотрим сначала случай двух слагаемых множеств

Ф = F₁F₂.

В силу выше перечисленных свойств, имеем Ф’=F’₁F’₂, но, так как , , то Ф'Ф, откуда и следует формулировка теоремы.

Общий случай доказывается способом математической индукции.

Теорема 5.Пересечение любого множества замкнутых множеств есть множество замкнутое.

Определение

Множество Е называют открытым, есливсе его точки являются внутренними.

Проиллюстрируем на примерах.

1. Всякий интервал (а, b) есть открытое множество.

2. Множество Zвсех вещественных чисел открыто.

3. Пустое множество 0 открыто.

4. Сегмент [ а, b] не есть открытое множество, ибо его концы не являются внутренними точками.

Свойства открытых множеств

Теорема 1. Объединение любого множества открытых множеств есть множество открытое.

Доказательство

Пусть S – объединениеоткрытых множеств . Пусть тогда при некотором. Так как есть открытое множество, то существует такой интервал , что ,но тогда и подавно , так что есть внутренняя точка S. Поскольку есть произвольная точка S.

Следствие.Любое множество, представимое в форме суммы интегралов, открыто.

Теорема 2. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

Доказательство

Пусть,где все G_k открыты. Если Р пусто, то утверждение очевидно. Допустим, что Р не пусто, и пусть .

Тогда

5.2. Производная функции комплексного переменного. Условиядифференцируемости. Понятие аналитической функции

Если каждому значению комплексного переменного из множества можно поставить в соответствие одно или несколько значенийдругого комплексного переменного , то комплексное переменное w называется функцией z в области и пишут . Функция называется однозначной, если каждому значению z из множества можно поставить в соответствие только одно значение w.

Если есть функция от, то каждое из переменных и является функцией х и у, т.е. , .

Пусть есть однозначная функция, определённая в области комплексного переменного .

Определение. Производной функции называется предел отношения при стремлении любым способом к нулю, т.е.

.

Функция, имеющая производную при данном значении z, называется дифференцируемой (или моногенной) при этом значенииz.Если функция однозначна и имеет конечную производную в каждой точке области , то эта функция называется аналитической в области .

Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные , причём они связанны

условиями: которые называются условиямиКоши – Римана (или Даламбера – Эйлера). Обратно, если частные производные непрерывны в точке и условия Коши – Римана выполнены, то функция дифференцируема в точке . Условия Коши – Римана являются необходимыми и достаточными условиями дифференцируемости функции в точке .

Производная функции выражается через частные производные функции и по формулам:

.

Пример. Найдитепроизводную функции комплексного переменного (если она существует) .

Решение. Учитывая, что функция дифференцируема в точке , если выполнены условия Коши – Римана: проверим выполнение этих условий для данной функции ,где,. Тогда

,

6. Числовые системы

6.1. Натуральные числа

Формирование определения

Использование натуральных чисел при счете формирует представление о них как о бесконечно длинном «числовом строе» с единицей «во главе»:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…

Сформулируем наиболее существенные свойства этого «числового строя» и его описание примем за аксиоматическое определение натурального ряда. Рассматриваемое множество натуральных чисел обозначим через N. Отметим в нем наличие первого числа – и это даст нам первую аксиому, описывающую натуральный ряд: в N существует натуральное число 1, которое непосредственно не следует ни за каким натуральным числом. Далее, видим, что за каждым натуральным числом непосредственно следует и притом только одно натуральное число – это вторая аксиома натурального ряда. Третья аксиома подмечает, что всякое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом, учитывая, что 1 не следует ни за каким натуральным числом. Четвертая аксиома дает признак, когда подмножество натуральных чисел совпадает со всем множеством N. Она утверждает, что если подмножество содержит единицу и вместе с каждым своим числом содержит непосредственно следующее за ним число, то M должно совпадать с N. Четвертая аксиома позволяет обосновать доказательства по индукции, поэтому ее называют аксиомой индукции. Итак, натуральный ряд описывается четырьмя подмеченными аксиомами, которые называются аксиомами Пеано.

Определение. Натуральным рядом называется системас основным множествомNэлементы которого называются натуральными числами бинарным отношением которое записывается в виде , читается: «n непосредственно следует за m», причем выполняются следующие аксиомы Пеано:

Аксиома 1. В N существует элемент 1, называемый единицей, который непосредственно не следует ни за каким натуральным числом, т.е. для любого

Аксиома 2. За каждым натуральным числом непосредственно следует и притом только одно натуральное число. Другими словами, для любого существует такое, что , причем если , то .

Аксиома 3.Каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом, т.е. для любых если , то . Аксиома 4. Пусть подмножество удовлетворяет следующим условиям:

1. (т.е. M содержит элемент, который непосредственно не следует ни за каким натуральным числом);

2. для любого натурального числа n если , то .

Тогда Mсовпадает сN.

Сложение натуральных чисел

Определение. Сложением натуральных чисел называется бинарная операция +, определенная наN, которая удовлетворяет следующим условиям:

1) для любого ;

2) для любых .

Первое условие сложения показывает, как к натуральному числу mприбавить единицу: для этого надо перейти к непосредственно следующему числу m. Второе условие сложения показывает, как кm прибавить число , если известна сумма : для этого нужно перейти к непосредственно следующему зачислу .

Основные свойства сложения

Свойство 1. Сложение натуральных чисел ассоциативно: для

любых

Свойство 2. Сложение натуральных чисел коммутативно: для любых

Свойство 3. Операциясложения натуральных чисел обладает свойством сократимости: если , то ,каковы бы ни были

Свойство 4. Система с основным множествомАи бинарной операцией  называется полугруппой, если операция  ассоциативна. Если она к тому же и коммутативна, то полугруппа называется коммутативной. Если операция в полугруппе обозначается значком +, то она называется сложением, а сама полугруппа называется аддитивной. Если же операция обозначается , то она называется умножением, а сама полугруппа – мультипликативной.

Свойство 5. Пусть дан произвольный натуральный ряд, т.е. система , удовлетворяющая аксиомам Пеано, и + является

7. Методика преподавания математики

7.1. Дидактические принципы в обучении математике

В дидактике имеются несколько трактовок понятия принципа обучения: как исходное положение, как правило, как закономерность.

Принцип обучения – одно из основных положений, которое в системе с другими дидактическими принципами определяет содержание, формы организации и методы обучения в соответствии с целями и методами обучения математике. Каждый из принципов необходим, а вместе они достаточны для организации процесса обучения.

В литературе имеются различные по количеству принципов системы, системы принципов обучения, но все они эквивалентны друг другу.

Так, у Столяра система принципов обучения (СПО) состоит из 6 принципов:

1. Принцип научности;

2. Принцип сознательности усвоения;

3. Принцип активности;

4. Принцип наглядности;

5. Принцип прочности знаний;

6. Принцип индивидуального подхода.

Колягин строит свою СПО следующим образом:

1. Принцип научности;

2. Принцип наглядности;

3. Принцип сознательности и активности;

4. Принцип прочности знаний;

5. Принцип систематичности и последовательности;

6. Принцип доступности;

7. Принцип воспитания;

8. Принцип индивидуального подхода к учащимся.

Принцип наглядности

Один из самых известных принципов, выделил его Я.А.Коменский 16-17 в. Принцип наглядности находит своё выражение в средствах обучения. Наглядность, в математике как науке оперирующей абстрактными понятиями, играет важную роль, т.к. обеспечивает связь между конкретными и абстрактными понятиями. Можно выделять несколько типов наглядности: предметная (модели геометрических тел, видео- и кино- материалы); изобразительная (рисунки); символическая(чертежи графики, схемы, таблицы).

Наглядность играет большую роль при формулировке математических понятий. Следует помнить, что «наглядность» сильно действующее средство, которое при неумелом использовании может увести учащихся от главной задачи, подменить цель ярким средством.

Принцип сознательности и активности

В основе принципа лежит установление в науке закономерности:

обучение не может протекать успешно, если не ставится задача вооружения учащихся системой умений и навыков самостоятельного учебного труда, позволяющей им подняться с уровня обучения на уровень самообразования.

Овладение = усвоение + применение

Сознательность усвоения знаний учащимся зависит от мотивов обучения, уровня познавательной активности учащихся, организация учебно-воспитательного процесса, от применяемых учителем методов и средств обучения. Можно привести ряд примеров, когда не произошло сознательного не усвоения знаний учащихся, следовательно, применит их в новой ситуации они не могут (формальные знания).

Правила усвоения

1. Ясное понимание учащимися цели и задачи предстоящей работы.

2. Понимание учащимися смысла каждого слова.

3. Используйте силу взаимодействия, коллективной формы поиска правильного ответа.

4. Учить находить главное, а не второстепенное.

5. Учите учиться, т.е. самостоятельно овладевать знаниями.

6. Обучайте учащихся мыслить причинно.

7. Не допускайте зубрежки, подсказок.

8. Чаще практикуйте творческие задания.

9. Используйте индивидуальные интересы учащихся.

Принцип научности

Принцип научности предусматривает: учебный материал составляющий содержание школьного обучения отбирать и организовывать с учетом достижений современной науки соответствующей данной учебной дисциплине, а также педагогике, ТиМОМ, передового педагогического опыта. Принцип научности реализуется, прежде всего авторами учебников, сам учитель в процессе учения дополняет, корректирует содержание, анализируя результаты обучения. Школьная геометрия отражает несколько переработанную устаревшую научную систему Евклида. Всё это относится к основным проблемам реализациипринципа научности в школе.

Принцип систематичности и последовательности

Учебный предмет математика представляет собой дидактическую систему.Реализуется данный принцип в построении учебных программ. Систематичность в обучении математике предполагает соблюдения определенного порядка в рассмотрении и изучении фактов, последовательности: а) переход от простого к сложному; б) от известного к неизвестному;в) от знаний к умению→навыку;г) от представлении к понятию. Главным средством является использование уроков обобщающих повторений.

Принцип доступности

Принцип доступности тесно связан с выше перечисленными. В основе лежат следующие закономерности:

7.2. Методы обучения математике

Поиск ответа на вопрос как учить выводит нас на категорию методов обучения

(metodos – путь к чему–либо). Под обучением понимают

Обучение = преподавание + учение.

Методом обучения называется упорядоченная совместная деятельность педагога и учащихся, направленная на достижение заданной цели обучения. В структуре методов обучения выделяются еще и приемы. Прием – это элемент метода, его составная часть, отдельный шаг в реализации метода. И.Я. Леркер, М.Н. Скаткинпод методами обучения понимают способы организации познавательной деятельности учащихся, обеспечивающие овладение ЗУН методами практической деятельности влияющие мировоззрение учащихся

Методы делятся на: общие (используемые в практике обучения любой дисциплине) и частные( характерны для данной учебной дисциплины). Анализ методической литературы показывает, что проблема методов в дидактике математике однозначно не решена. Во-первых, существуют различные классификации методов обучения по разным основаниям,

Во-вторых, имеется некоторое смешение форм и методов обучения (беседа, рассказ, лекция).

Первая классификация методов обучения (по источнику знаний). Данная классификация берет начало ещё в древних философских системах.

Преимуществами рецептивного и продуктивного метода являются их экономичность, т.е. возможность передачи значительного объема ЗУНов за минимально короткое время и с наибольшими затратами. Данный метод является переходом от исполнительной творческой деятельности. Проблемное обучение характеризуется постановкой учебных проблем, где один или несколько компонентов не известны учащимся. Существует три основных способа постановки перед учащимися проблемы:

а) четкая постановка проблемы учителем;

б) создание ситуации, в которой от учащихся требуется самим понять и сформулировать проблему;

в) создание ситуации с более или менее четко обозначенной проблемой, но логике поиска решений ученик должен прийти к новой дополнительной проблеме им самим найденной.

Ю.М. Колягин предложил следующую схему организации урока с проблемным изложением:

1) создание проблемной ситуации урока с проблемным изложением;

2) постановка проблемы и её формулировка;

3) изучение условий характеризующих проблему;

4) обсуждение проблемы и разработка направлений на её решение;

5) исследование результатов решения проблемы, выявление нового знания;

6) практическое применение новых знаний при решении специально подобранных задач.

7.3. Контроль знаний и умений учащихся при обучении математике

Основная цель контроля знаний и умений состоит в обнаружении достижений, успехов учащихся; Эта цель в первую очередь связана с определением качества усвоения учащимися учебного материала – уровня овладения знаниями, умениями и навыками предусмотренных программой по математике. Во – вторых, конкретизация основной цели контроля связана с обучением школьников приемам взаимоконтроля и самоконтроля,формированием потребности в самоконтроле и взаимоконтроле.

В - третьих эта цель предполагает воспитание у учащихся таких качеств личности, как ответственность за выполненную работу, проявление инициативы. Если перечисленные цели контроля знаний и умений учащихся реализовать, то можно говорить о том, что контроль выполняет следующие функции.

Контролирующая функция. Контролирующая функциясостоит в выявлении состояния знаний и умений учащихся, уровня их умственного развития, в изучении степени усвоения приемов познавательной деятельности, навыков рационального учебного труда.

Обучающая функция. Обучающая функция контроля заключается в совершенствовании знаний и умений, их систематизации. В процессе проверки учащиеся повторяют и закрепляют изученный материал. Они не только воспроизводят ранее изученное, но и применяют знания и умения в новой ситуации.

Диагностическая функция. Сущность диагностической функции контроля – в получении информации обошибках, недочетах и пробелах в знаниях и умениях учащихся и порождающих их причинах затруднений учащихся в овладении учебным материалом, о числе, характере ошибок. Результаты диагностических проверок помогают выбрать наиболее интенсивную методику обучения.

Прогностическая функция. Прогностическая функция проверки служит получению опережающей информации об учебно-воспитательном процессе. В результате проверки получают основания для прогноза о ходе определенного отрезка учебного процесса: достаточно ли сформированы конкретные знания, умения и навыки для усвоения последующей порции учебного материала (раздела, темы).

Развивающая функция. Развивающая функция контроля состоит в стимулировании познавательной активности учащихся, в развитии их творческих способностей. Контроль обладает исключительными возможностями в развитии учащихся. В процессе контроля развиваются речь, память, внимание, воображение, воля и мышление школьников.

Ориентирующая функция. Сущность ориентирующей функции контроля - в получении информации о степени достижения цели обучения отдельным учеником и классом в целом – насколько усвоен и как глубоко изучен учебный материал.

Контроль ориентирует учащихся в их затруднениях и достижениях. Вскрывая пробелы, ошибки и недочеты учащихся.

Воспитывающая функция. Воспитывающая функция контроля состоит в воспитании у учащихся ответственного отношения к учению, дисциплины, аккуратности, честности. Проверка побуждает школьников более серьезно и регулярно контролировать себя при выполнении заданий.

Типы контроля.

В зависимости от того, кто осуществляет контроль за результатами деятельности

учащихся, выделяют следующие три типа контроля:

внешний (осуществляется учителем над деятельностью ученика);

взаимный (осуществляется учеником над деятельностью товарища);

самоконтроль (осуществляется учеником над собственной деятельностью).

Внешний контроль. В процессе контроля учителем знаний и умений учащихся выделяют следующие компоненты:

1.уточнение целей изучения данного отрезка учебного материала и установление конкретного содержания контроля;

2.различные способы выражения результатов контроля: оценка и отметка.

3.выбор видов, форм, способов и средств контроля, соответствующих поставленным целям.

Взаимный контроль. Роль взаимного контроля качества и эффективности учебной деятельности школьников трудно переоценить. Он содействует выработке таких качеств личности, как честность и справедливость, коллективизм. Взаимный контроль помогает также учителю осуществлять проверку знаний учащихся. Каждый ученик получает карточку с вопросом, ответ на который он должен знать хорошо; на обороте карточки записаны фамилии нескольких учащихся и даты, когда они будут опрошены по этому вопросу. В каждый из указанных дней владелец карточки задает свой вопрос одному из учеников, в то же время он и сам должен ответить на вопрос, помещенный в карточке этого ученика. За день до проверки учащиеся предупреждают друг друга, на какие вопросы им придется отвечать.

Самоконтроль. Учащимся предлагается рассмотреть решения ряда примеров и оценить их. Обычно эти решения содержат типичные ошибки, которые надо обнаружить. Иногда требуется выяснить, верен ли ответ к заданию. Навыки самоконтроля можно развивать и на занимательных задачах,основанных на обычной житейской смекалке. Некоторым учащимся в случае трудоемких заданий вполне достаточно свериться с окончательным результатом. Другим требуется дать промежуточные ответы. Это помогает им самостоятельно выполнять учебные задания даже в тот момент, когда у них еще не выработаны прочные навыки.

7.7. Методика обучения уравнениям и неравенствам в курсе математики

7и6

«Уравнения» и «неравенства» - ведущие алгебраические понятия. С исторической точки зрения можно выделить три главные области возникновения и функционирования уравнений и неравенств:

1.Средство решения текстовых задач.

2.Особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения.

3. Формула, которой косвенно определяются координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Выделенным областям возникновения и функционирования уравнений и неравенств в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики:

1.Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, т.к. уравнения, неравенства и их системы являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

2. Теоретико – математическая направленность линии уравнений и неравенств раскрывается в двух аспектах:

В – первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств иих систем и, во – вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом.

3. Направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Например, связь с числовой линией проявляется в том, что при последовательном расширении числовой системы все числовые области кроме действительных чисел, возникают в связи с решением каких – либо уравнений, неравенств и их систем. Линия уравнений и неравенств тесно связана также с функциональной линией. Прежде всего, это приложение методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств к исследованию функций (нахождение области определения, области значения, нулей функции, промежутков знакопостоянства).

С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние на изучение уравнений и неравенств – это привлечение графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

Основными понятиями, данной содержательно методической линии являются понятия: уравнение, неравенство с переменной, корень уравнения, решение неравенства с переменной, система и совокупность уравнений и неравенств. За длительное время развития алгебры менялся подход к определению этих понятий, что отражалось естественным образом в школьном курсе.

Например, Уравнение (с одной переменной) – это:

,

,, т. е.

условия Коши – Риманавыполнены, т. к.следовательно,

функция дифференцируема в точке .

Найдем производную данной функции через частные производные функций

и по формуле

, т. е. имеем .

,(k = 1, 2, …, п)

и для каждого k найдётся интервал такой, что

.

Пусть

и

очевидно

,

то есть есть внутренняя точка Р.

Замечание.Пересечение бесконечного множества открытых множеств может не быть открытым множеством.

Итак, если

(п = 1, 2, 3, …),

то все множества открыты, но их пересечение

не является открытым множеством.

Рассмотрим связь между открытым и замкнутым множествами. Пусть Е и S два точечных множества.

Определение

Если , то множество S\Eназывают дополнением множества Е до множества S и обозначается так:С_SE.

В частности, множество С_ZE, где , называют просто дополнениеммножестваЕ и обозначается через СЕ.

Свойства дополнения множества

1. Если множество G открыто, то его дополнение CG замкнуто.

Доказательство

Пусть, тогда существует такой интервал , что

.

Данныйпромежуток вовсе не содержит точек CG, следовательно, х, не является предельной точкой множества CG, а значит точка, являющаяся предельной точкой множества CG, не может принадлежать G. Отсюда следует, что CG содержит все свои предельные точки.

2. Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто.

Доказательство

Пусть . Тогда точка не является предельной точкой множества F и, следовательно, существует интервал , содержащий точку и не содержащий ни одной, отличной от точки F. Но так как и не входит в F, то в вообще нет точек F, так что и есть внутренняя точка CF.

3. Если G открытое множество, а [a, b] – содержащий его сегмент, то множество [a, b] \ G замкнуто и что если F замкнутое множество, а (a, b) – содержащий его интервал, то множество (a, b) \ F открыто.

Доказательство

Эти утверждения следуют из очевидных тождеств

[a, b] \ G =[a, b]∩ CG.(a, b) \ F =(a, b) ∩CF.

Пусть F замкнуто и F [a, b], тогда множество [a, b] \ Fне является, открытым. Пусть, например, F =[0, 1] и [a, b] = [0, 2], тогда [a, b] \ F = (1, 2].

4.Если S есть наименьший отрезок, содержащий ограниченное замкнутое множество F, то множество C_SF = [a, b] \ F открыто.

Доказательство

Пусть Е непустое ограниченное множествоиa = infE,b = supE. Отрезок S = [a, b]называютнаименьшим отрезком, содержащим Е. Поэтому достаточно убедиться в справедливости тождества

C_SF = (a, b) ∩F.

Пусть

.

Значит

,.

Но поскольку

,

то

(ибо a иb входят в F). Значит . Кроме того, , очевидно, входит в CF, так что С_SF(a;b)∩CF. Обратное же включение очевидно.

1. доступность обучения определяется возрастными особенностями школьника и зависит от их индивидуальных особенностей;

2. доступность обучения зависит от организации учебного процесса и применяемых учителем методов обучения;

3. доступность обучения определяется уровнем умственного развития школьников, а так же имеющимся у них запасов представления, понятий, умений и т.д.;

4. учебный процесс следует вести в оптимальном темпе так, чтобы не задерживать сильных и развивать слабых и средних;

5. для доступности широко используют сравнение, аналогию, сопоставление;

6. доступность зависит от ясности речи учителя.

Принцип прочности

Требует, чтобы у учащихся сохранились на длительное время систематические ЗУНы. Этого невозможно достичь без глубокого понимания изученного материала. Поэтому одно из условий прочности знаний сознательность усвоения. Непроизвольное запоминание продуктивно, чемпроизвольное это вносит определенные изменения в практику традиционного обучения, т.к. до этого считалось, что именно произвольное запоминание лежит в основе обучения.

По этому можно добавить некоторые правила:

• в обучение мышление должно главенствовать над памятью, не допускать перегрузки памяти в ущерб мышлению;

• важнейший формат упрочнения знаний является их самостоятельное повторение учащимися;

• запоминать должны только хорошо усвоенное, осмысленное;

• используйте мнемонические приемы запоминания ( стихотворные, схемы, графики);

• не рекомендуется проводить повторение изученного материала по той же схеме что и его изучение.

операцией сложения натуральных чисел. Тогда система назы вается аддитивной полугруппой натуральных чисел.

Умножение натуральных чисел

Определение. Умножением натуральных чисел называется бинарная операция , определенная на множестве N, которая удовлетворяет следующим условиям:

1) для любого ;

2) для любых .

Основные свойства умножения

Свойство 1. Умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения: для любых

Свойство 2. Умножение натуральных чисел ассоциативно, т.е. для любых

Свойство 3. Умножение натуральных чисел коммутативно: для любых

Равенство двух выражений, в котором некоторые буквы считаются неизвестными, а остальные – известными.

Равенство, справедливое при некоторых значениях переменной х.

Равенство значений двух функций f(x)=g(x).

Высказывание (предложение) с переменной в виде равенства функций f(x)=g(x), относительно которого поставлена задача:

Найти такие значения переменной х, при которых это высказывание истинно.

Последнее определение выражает функциональный подход к определению уравнения, с ним связаны еще такие понятия, как:

1.Область определения уравнения (или ОДЗ) – это множество значений переменной, для которых функция f(x) и g(x) определены.

2.Корнем уравнения называется каждое значение переменной х из области определения уравнения, при которых высказывание f(x)=g(x) истинно.

3.Решить уравнение, значит найти множество всех его корней или доказать, что их нет.

4.Два уравнения, множества корней которых совпадают, называется равносильными.

В зависимости от вида функции f(x) и g(x) различают и виды уравнений и неравенств с переменной. Уравнения и неравенства с переменной делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные). К первым относится линейные (5-6 классы), квадратные (8 класс), дробные (8 класс), высших степеней (9 - 11 классы), иррациональные (10 класс). Ко вторым – тригонометрические (10 – 11 классы).

Существует два основных метода решения уравнений и неравенств с переменной – алгебраический и графический.

Алгебраический метод основан на теоремах о равносильности уравнений и неравенств (сложение и умножение обеих частей уравнений и неравенств на одно и то же число).

Суть алгебраического метода решения уравнений и (неравенств) заключается в следующем:

1. Последовательный переход с помощью тождественных преобразований (выполняемых в одной части – раскрытие скобок, приведение подобных ) и равносильных преобразований от данного уравнения к более простому, стандартному.

2. Решение простейших уравнений (по алгоритму).

Суть графического метода решения уравнений (неравенств) заключается в отыскании значений переменной х, соответствующей равным значениям функций f(x) и g(x) (промежутков для которых f(x)>g(x) или f(x)<g(x)) с помощью точки пересечения графиков функций.

Среди учебных заданий, стимулирующих самоконтроль в работе учащихся, определенное место занимают задания с программированным контролем. Такие задания позволяют увеличить интенсивность самостоятельной учебной работы учащихся, удобны для организации фронтальной работы и коллективного обсуждения полученных индивидуальных результатов

Оценка и отметка.Оценки должны точно отражать становление речевых умений учащихся и упрочение их языковой базы.Важным подвидом контроля является проверка домашних заданий. Как правило, домашние задания целесообразнее всего давать в письменной форме.

Оценка – это процесс, действие (деятельность) оценивания, которое осуществляется человеком. Отметка выступает как результат этого процесса (результат действия), какего условно формальное выражение. Существуют различные способы оценивания в зависимости от того, с чем производится сравнение действий ученика при оценке.

Устная форма способствует выработке быстрой реакции на вопрос, развитию памяти учащихся.До последнего времени письменному контролю отводилось большое место в системе проверки.

Фронтальная форма – одна из основных организационных форм контроля при обучении. Она позволяет соблюдать основные правила контроля – регулярность и максимальный охват учащихся за единицу времени. Существенна при этом обращенность ко всему классу, активизирующая деятельность каждого ученика. Это «дежурная», регулярная форма контроля, которая может проводиться несколько раз в течение урока. Преимущество фронтального контроля в том, что он держит в напряжении весь коллектив, ученики знают, что в любую секунду они могут быть спрошены, их внимание сосредоточено, мысли сконцентрированы вокруг той работы, которая ведётся.

Индивидуальный контроль может носить и открытый характер, в частности, когда следует проконтролировать какой-то этап подготовленной речи каждого ученика (план или программу высказывания). В основном индивидуальный контроль в общеобразовательной школе осуществляется устно и сопровождается оценкой в виде балла с обязательным комментарием учителя, касающимся в первую очередь содержательной стороны речи.

Ошибки и недочёты. Ошибка – это погрешность, свидетельствующая о том, что ученик не овладел теми знаниями и умениями (связанными с контролируемым разделом, темой), которые определены программой по математике для средней школы.

Недочетом считают погрешность, указывающую либо на недостаточно полное, прочное усвоение основных знаний и умений, либо на отсутствие знаний, которые программой не относятся к основным. К недочетам относят также неаккуратность при записи решения, небрежное выполнение чертежа при решении задачи и т.д

Частично – поисковый

Знания учащимся не предполагаются в готовом виде, их нужно добыть самостоятельно. Учитель организует не сообщение или изложение знаний, а поиск новых знаний с помощью разнообразных средств.

Исследовательский метод

Предусматривает творческую деятельность учащихся, требует активной мыслительной и сознательной познавательной деятельности. Его недостаток это значительные затраты времени и энергии учителей и учащихся, от учителей требует высокого уровня педагогической квалификации. Учение сопровождается повышенным интересом, полученные знания отличаются глубиной и прочностью