госы / Шпоры - 6

7.19. Методика введения и изучения понятия функции в школе

История развития понятия « функция»

Пропедевтический период (с древнейших времен до 17 века)

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур

Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание.

Кроме того, у Декарта и Ферма (1601 – 1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени.

Аналитическое определение функции (17 – начало 19 века)

Само слово «функция» (от латинского functio — совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673 г. в письме к Гюйгенсу (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати он его ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа». В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667 – 1748. Новые шаги в развитии естествознания и математики вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.

Из трудов Фурье следовало, что любая кривая, независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением.

Дальнейшее развитие понятия функции (20 век –...)

Уже с самого начала 20 века определение Дирихле стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, которые потребовали более широкого взгляда на физику. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 году книги «Основы квантовой механики» Поля Дирака, крупнейшего английского физика, одного из основателей квантовой механики. В связи с этим советский математик Н. М. Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30 – 40-х годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки,

а «функции области», что лучше соответствует физической сущности явлений.

Основные подходы к определению понятия функции в школе

Школьный курс изучения функции строится по аналогии с развитием в истории понятия функции. До 7 класса идет накопление знаний, необходимых для введения понятия функции. В 7 классе впервые дается определение понятия «функция. Также в этом классе изучаются различные способы задания функции. В 9 классе еще раз дается определение функции на основе идеи зависимости одной переменной от другой: «Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y". В 10 – 11 классах вводится современное понятие функции как соответствия между двумя множествами: «числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу число y, зависящее от D».

Методические схема изучения функции:

1. Рассмотреть подводящую задачу, с помощью которой мотивируется изучение новой функции.

2. На основе математизации эмпирического материала сформулировать определение функции (сообщить формулу).

3. Составить таблицу значений функции и построить «по точкам» её график.

4. Провести исследование основных свойств функции (преимущественно по графику)

5. Рассмотреть задачи и упражнения на применение изученных свойств функции.

Способы задания функции.

Функция считается заданной (известной), если для каждого значения аргумента (из числа возможных) можно узнать соответствующее её значение.

Наиболее употребительны три метода:

• табличный,

• графический,

• аналитический.

Далее остановимся более подробно на каждом из них.

Аналитический способ задания функции. Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции. При аналитическом задании функции часто не указывают область ее определения. Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью ее определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл.

7.20. Логическое строение школьного курса геометрии

Основное содержание школьного курса геометрии сохраняется стабильным почти 300 лет и истоками имеют начало Евклида. В геометрии на плоскости - планиметрии изучают взаимное расположение прямых, свойства треугольников, четырёхугольников и окружностей, так же отношение равенства и подобие фигур, измерение длин и площадей. В геометрии пространства – стереометрии изучают взаимное расположение прямых и плоскостей, в основном призмы и пирамиды, далее тела вращения цилиндры, конус, шар, объемы тел и площади поверхности.

Структура школьного курса геометрии:

1 ступень (1-4 классы) – изучение отдельных элементов геометрии.

2 ступень (5-6 классы) – пропедевтический курс геометрии.

3 ступень (7-9 классы) – систематический курс планиметрии.

4 ступень (10-11 классы) – систематический курс стереометрии.

До 1968 года школьный курс геометрии был изложен на основе аксиоматики Гильберта. Но она была представлена неполно: в наиболее полном виде рассматривались аксиомы принадлежности и параллельности.

Изучение геометрии в школе преследует все цели обучения математике (обучающие, воспитательные, развивающие), но при этом выделяются некоторые специфические цели:

1. ознакомление учащихся с основными геометрическими фигурами и их свойствами;

2. показ практического приложения изучаемого материала к реальной действительности;

3. развитие логического мышления и пространственного воображения;

4. овладение навыками использования чертежных инструментов и развитие способности к техническому творчеству.

Методы,используемые в геометрии:

1. Равенство и подобие фигур;

2. Тригонометрия;

3. Алгебра (уравнения и неравенства);

4. Аксиоматический;

5. Метод геометрических преобразований;

6. Координатный;

7. Метод математического анализа.

7.24. Методика изучения тел вращения

Значение изучения в школе свойств тел вращения трудно переоценить. Важную роль играет знакомство с ними в связи с подготовкой школьников к практической жизни, к труду. Учителю следует подчеркнуть, что форму тел вращения имеют многие детали машин, приборов. При изучении фигур вращения очень велико значение чертежа. Чертеж является основным средством иллюстрации, развития пространственного воображения. При этом необходимо помнить, что чертеж, который появляется на доске постепенно и сопровождается комментариями учителя, имеет большую педагогическую ценность. Учитель должен показать учащимся, не вдаваясь в подробности, как изобразить на плоскости фигуру вращения, то, или иное её сечение. В ходе решения некоторых задач возникает необходимость в решении планиметрической задачи. При изучении тел вращения закрепляются и развиваются полученные знания об основных фигурах на плоскости, особенно об окружности, круге, многоугольнике, вписанном и описанном, их основных свойствах. Тема «Тела вращения» усваивается учащимися неплохо.требует от учителя постоянного внимания к организации систематического повторения при изучении цилиндра, конуса и шара (тем более что это одна из итоговых тем курса геометрии), к организации вычислений в ходе решения задач. Отдельные сведения о цилиндре, конусе, шаре, полученные учащимися из повседневной практики, предшествующего обучения математике, изучения других школьных дисциплин, синтезируются, оформляются логически, систематизируются. Включенные в рассматриваемый раздел вопросы дают возможность учителю показать применение полученных результатов при решении часто встречающихся практических задач.

Весь круг вопросов по теме «Тела вращения» можно условно разделить на две группы:

1)Цилиндр и конус:

a)Определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевое и перпендикулярное оси, вписанные и описанные многогранники;

b)Объем;

c)Площадь боковой поверхности.

2)Шар и сфера:

a)Определение, симметрия, сечение, касательная плоскость;

b)Объем шара;

c)Площадь сферы.

При планировании следует учитывать, что цилиндр и конус изучаются по единому плану и общий подход при рассмотрении основных понятий один о тот же. Подчеркивая общее и выявляя различия в свойствах цилиндра и конуса, учитель добивается осознанного усвоения материала учащимися. Обычно цилиндр, конус, шар и сфера изучаются в курсе стереометрии после многогранников. При этом такие понятия, как «тело», «поверхность»,

7.21. Типы геометрических курсов. Аксиоматический метод в математике

Аксиоматический метод – один из способов дедуктивного построения научных теорий, при котором:

1. Выбирается некоторое множество принимаемых без доказательств предложений определенной теории (аксиом);

2. Входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории;

3. Фиксируются правила определения и правила выбора данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других;

4. Все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из 1 на основе 3.

Первые представления об аксиоматическом методе возникли в Древней Греции. В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных разделов философии и науки. Начиная со второй половины 19 века аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную систему.. При этом основное внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее зависимости от содержания, которое может быть в них представлено, или с его учетом, различаются синтаксические и семантические аксиоматические системы. Это различие вызвало необходимость формулирования основных требований, предъявляемых к ним в двух планах синтаксическом и семантическом (синтаксическая и семантическая непротиворечивость, полнота, независимость аксиом и т.д.).

Проблема состоит в противоречиях, которые были выявлены в процессе развития теории, и их устранение обусловило потребность в модификации аксиоматических систем. Д. Гильберт доказал совместимость выделенных аксиом, для которых каждое противоречие в дедукции из геометрических аксиом необходимо сказалось бы также и в системе арифметики действительных чисел. Аксиоматический метод принадлежит логике.

При слове «логика» у многих возникает представление о предмете очень скучном и трудном, но сегодня логическая наука легко понимаема и очень интересна.

Например, стало понятно, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного интуитивного применения аксиоматических методов. Рассмотрим, например, общий процесс отрицания и особенно понятия «бесконечность». Что касается этого понятия, то необходимо уяснить, что бесконечность лишена наглядного смысла, и без более подробного исследования лишена всякого смысла, т.к. существует только то, что конечно. Не существует бесконечно большой скорости, равно как и бесконечно быстро распространяющейся силы или действия. К тому же, действие по своей природе дискретно, и существует только квантами. Также рассмотрим абстрактные множества, встречающиеся в математике.

Как отмечал профессор А.В. Архангельский – «Важнейшей особенностью почти всех абстрактных множеств, встречающихся в математике, является бесконечность Людвиг Витгенштейн, подчеркивая различие функций и проблем математиков и философов, повторяет, что «в математике есть только математические трудности, а вовсе не философские». Философ может вмешиваться только тогда, когда у математиков возникает « чувство дискомфорта» в работе. Поэтому и задача философии математики по Витгенштейну, является в сущности «терапевтической», способной вносить в успокоение, а в противоречиях и парадоксах их теорий они разберутся сами. «Зачем математике нужно обоснование?! Я полагаю, - говорит он,- оно нужно ей не впечатлениях, нужен их анализ». Многие профессионально работающие математики, не связанные напрямую «с математическими проблемами оснований», вполне могут согласиться с Витгенштейном в том, что эти основания в столь же малой степени лежат для них в основе математики, в какой нарисованная скала поддерживает нарисованную на ней крепость.

Все, что может быть объектом научного исследования в целом, и, поскольку оно созревает для оформления в теорию, прибегает к аксиоматическому методу и через нее косвенно к математике

Идея фузионизма. Термин фузионизм происходит от латинского слова fusio - слияние. Именно так в XIX веке называли совместное преподавание различных школьных предметов, например, физики и математики, химии и биологии. Фузионизмом также называли слитное преподавание нескольких разделов математики: алгебры и геометрии; геометрии и арифметики; наконец, планиметрии и стереометрии. Одно из первых упоминаний о слитном преподавании планиметрии и стереометрии находится в знаменитом плане Ж.Даламбера (Д’Аламбера). В середине XVIII века во Франции назревает революция, а коренные социальные преобразования, как правило, сопровождаются реформами образования. Новая французская идеология получила свое отражение в многотомной труде - «Энциклопедии наук, искусств и ремесел». Реформаторству подверглись все науки, в том числе и разделы математики. План курса геометрии был изложен Даламбером. Автор восстал против традиционного курса, который преподавался по "Началам" Евклида, и изложил новый подход к изучению геометрии. Новый курс носил более практический характер и содержал элементы совместного изложения начал планиметрии и стереометрии. Рекомендовалось исключить из курса геометрии аксиомы и постулаты, так как, с его точки зрения, они бесполезны в силу своей очевидности. Начинать изложение нужно с рассмотрения тела «как оно есть, а потом показать, что с помощью последовательных отвлечений мы приходим к понятию о теле, обладающем лишь протяженностью и фигурой, и далее – к поверхности, линии, точке. Прямую и кривую линии вовсе не стоит определять, вследствие трудности, а может быть, и невозможности свести понятия о них к более простым идеям».

7.22. Понятие величины в математике. Методика преподавания величин в школе

Понятие величины и ее свойства

Длина, площадь, масса, время, объём - это величины. О возрастании роли величин в познании природы говорит тот факт, что они проникают и являются составной частью таких традиционных наук, как биология, психология, педагогика, социология и др. Но для математики и физики понятие величины является наиболее характерным. Без величин изучение природы ограничивалось бы лишь наблюдениями и оставалось на описательном уровне. Именно количественные модели различных объектов, явлений наиболее описательны. Величины не существуют сами по себе, как некие субстанции, оторванные от материальных объектов и их свойств. С другой стороны, величины в некоторой степени идеализируют свойства объектов и явлений. В процессе абстракции всегда происходит огрубление действительности, отвлечение от ряда обстоятельств. Поэтому величины - это не сама реальность, а лишь ее отображение. Различают несколько видов величин: скалярные, векторные, тензорные. В школьном обучении нашли широкое применение скалярные и векторные величины.

Величины позволяют перейти от описательного к количественному изучению свойств объектов, т.е. математизировать знания о природе. По словам С. Богданова, понятие величины является основополагающим не только в отдельных науках, но и в реальной, повседневной жизни. Поэтому понятие должно иметь единое содержание как в школьных учебниках, так и в реальной практике. Но силу того, что понятие величины является первичным, четкого, строго определения оно не имеет, поэтому трактуется по-разному. В школе оно вводится, как правило, описательно, на примерах величин, известных ученикам из практики, окружающей действительности.

Анализ учебной и научной литературы о величинах позволяет выделить два аспекта величин:

1. Величина позволяет перейти от качественного описательного к количественному изучению свойств объекта, то есть математизировать знания об объекте.

2. В количественном описании величина представляется не только числом, но и единицей измерения.

К трактовке понятия величины существуетнесколько подходов.

I. Геометрические величины могут трактоваться как действительные числа, которые характеризуют геометрическую фигуру с точки зрения ее размеров - длин отрезков, величин углов, площади и объема. Каждая из них может быть определена аксиоматически, что сделано практически во всех школьных учебниках геометрии:

1. формулируется неотрицательность (иногда - положительность) величин;

2. показывается равенство соответствующих величин для равных геометрических фигур;

3. формулируется свойство аддитивности.

Таким образом, с помощью 1)-3) определяется сама величина, а не ее значения. Для нахождения числовых значений геометрических величин требуется введение еще одной аксиомы:

4)существует единица измерения.

II. С точки зрения теории множеств, все геометрические величины являются примерами одного из основных определяемых аксиоматически общематематических понятий - меры множества. Величины тесно связаны с понятием измерения. Измерения являются одним из путей познания природы человеком, объединяющим теорию с практической деятельностью человека..

Существует два основных способа измерения геометрических величин:

· непосредственное;

· косвенное.

Ниже рассматриваются методы установления такой зависимости, называемые методами косвенного измерения геометрических величин.

1)Метод равновеликости равносоставленных фигур, используемый для определения геометрических величин многоугольников и многогранников, основан на 3-й и 4-й аксиомах и следующей из них теореме: равносоставленные фигуры равновелики (две фигуры называются равновеликими, если их площади или объемы равны; две фигуры называются равносоставленными, если каждую из них можно разбить на соответственно равные части). Примерами применения этого метода являются доказательства формул площади параллелограмма (преобразованного в прямоугольник), трапеции (достроенного до треугольника), формул объема призмы; геометрическая иллюстрация законов действий над числами и формул тождественных преобразований.

7.23. Первые уроки стереометрии. Параллельность и перпендикулярность в пространстве

Изучение геометрии трехмерного пространства осуществляется в 10 и 11 классах средней школы. На первых уроках стереометрии изучается аксиоматика. В каждом школьном учебнике своя аксиоматика. Некоторые предложения являются аксиомами в одном учебнике, доказываются в другом.Изучение взаимного расположения прямых и плоскостей во всех пособиях начинается с изучения параллельности прямых, т.е. сначала рассматривается материал с аффинной точки зрения, что дает возможность познакомить учащихся с изображением пространственных фигур на плоскости, а также позволяет показать роль аксиом и развивать конструктивные навыки.

Вопрос о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве начинают с выяснения вопроса о том, сколько общих точек могут иметь две прямые и две плоскости. Всю тему «параллельность в пространстве» следует разделить на 4 части:

1. Параллельность прямых в пространстве, скрещивающиеся прямые;

2. Параллельность прямой и плоскости;

3. Параллельность плоскостей в пространстве;

4. Параллельная проекция и ее свойства; изображение пространственных фигур на плоскости.

1. Изложение первого пункта намеченного плана следует начать с беседы о том, сколько общих точек могут иметь две прямые; при этом, надо отталкиваться от соответствующих аксиом уже известных учащимся. После этого нужно выяснить могут ли две прямые иметь меньше двух общих точек. Совершенно ясно, что могут, в этом случае они называются скрещивающимися. И остается выяснить могут ли две прямые совсем не иметь общих точек. Такого рода прямые известны учащимся из курса планиметрии, это параллельные прямые.

2. Раздел по параллельности прямой и плоскости следует начать с беседы о возможном числе общих точек у прямой и плоскости, опираясь при этом на соответствующую аксиому: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости. Согласно этой аксиоме прямая и плоскость не могут иметь только 2, 3, …, т.е. ограниченное число общих точек.

3. Изучение параллельности плоскостей в пространстве следует начать с разговора о возможном числе общих точек у двух плоскостей, отталкиваясь от соответствующей аксиомы: Две различные плоскости не могут иметь только одну общую точку, т.к. на основании известной аксиомы они будут иметь общую прямую, проходящую через эту точку. В этом случае говорят, что две плоскости пересекаются по прямой, по той же причине две плоскости не могут иметь только две общие точки.

4. В тему «параллельность в пространстве» включен раздел о параллельной проекции и ее свойствах, который носит сугубо практический характер и является весьма благодатным материалом для развития пространственных представлений учащихся.

В процессе изучения этого раздела на основе определения и свойств параллельной проекции необходимо научить учащихся:

• Изображать пространственные фигуры на плоскости;

• Решать задачи на построение сечений многогранников плоскостью методом следа.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.

1. Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые:

2. Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются:

3. В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны):

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются. Примеры скрещивающихся прямых: трамвайный рельс и троллейбусный провод по пересекающейся улице, непересекающиеся и непараллельные ребра пирамид или призм и пр. Все три слу случая можно видеть еще на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок или стены и полкомнаты.

7.25. Методика введения и изучения понятия производной. Задачи, подводящие к определению производной.

Различные подходы к введению производной определяются логической связью этого понятия с более общим понятием предела функции в точке. Логический подход при введении производной в качестве базисного понятия использует определение предела функции в точке.В действующих школьных программах по математике при введении производной функции используют исторический подход, т.е. первоначально формируются понятия производной, и только затем, как обобщение, понятие предела функции.

Методическая схема изучения производной

Привести подводящую задачу, раскрывающую физический смысл понятия производной: свободное падение тела, которое не является равномерным. Охарактеризуем скорость падения в каждый данный момент времени t, т.е. введём понятие мгновенной скорости свободного падения тела. Известно, что средняя скорость определяется отношением , причём чем меньше значение , тем менее "заметно" изменение средней скорости падения. При, отношение стремится к значению мгновенной скорости. Таким образом мгновенная скорость характеризует скорость изменения пути в момент времени t.

В общем случае, с любым реальным процессом может быть связана задача:

Пусть -параметр данного процесса, зависимости от x ; найти скорость изменения параметра в момент, когда . Решение задачи сводится к нахождению отношения приращения параметра , соответствующую приращению .

1. Сформулировать определение понятия производной.

Так как в определении отсутствует понятие предела, то первоначально следует сформировать у учащихся понятие приращения как изменения и аргумента и функции.

Например:

После рассмотрения геометрического смысла производной вводим определение:

Производной функции в точке называется число, к которому стремится разностное отношение:

Закреплению определения производной способствует вопрос: «Как найти производную функции в точке ?», ответ на который может быть дан в форме алгоритма: 1) значению придаём приращение ; 2) находим приращение функции в точке ; 3) составляем разностное соотношение; 4) находим число (если такое число существует), к которому стремится при

III. Конкретизировать понятие производной (путём вычисления производной по определению: выяснение её геометрического смысла, графическое отыскание производной).

Понятие непрерывной функции

Остановимся на понятии непрерывной функции: функция стремится к числу при (), если разность сколь угодно мала, т.е. становится меньше любого фиксированного при уменьшении . Нахождение числа по функции называется предельным переходом.