госы / Шпоры - 6

«ограниченность» и т.п., вводится в теме «Многогранники». И сама трактовка фигур вращения (тело или поверхность) согласуется с тем, как понимается многогранник. В пробном учебнике по геометрии Л.С. Атанасяна и др., например цилиндр – это тело, а многогранник – поверхность, хотя авторы и отмечают, что «…тело, ограниченное многогранником, часто называют также многогранником». Последовательность изучаемых тел вращения: цилиндр, конус, шар – соответствует обычно последовательности: призма, пирамида, правильные многогранники. Цилиндр (цилиндрическая поверхность) и призма (поверхность призмы) имеют очень много общих свойств. Аналогичное замечание можно сделать и относительно понятия пирамиды и конуса. Во всех школьных учебниках выделяется для изучения поверхность фара – сфера. Цилиндрическая поверхность рассматривается только в учебнике Л.С. Атанасяна и др.

В учебном пособии А.В. Погорелова цилиндр трактуется как тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей. В курсе геометрии Л.С. Атанасяна и др. сначала вводится граница – цилиндрическая поверхность и два круга, расположенным определенным образом относительно этой поверхности – ограниченной пространственной области, а уже затем цилиндр как тело, ограниченное рассмотренной поверхностью.

Преподавание геометрии включает в себя три тесно связанных и противоположных элемента: логику, наглядное представление, применение к реальным вещам.

Основные задачи геометрии:

1. Систематическое изучение основных фактов геометрии, методов их получения и взаимностей их применения.

2. Развитие умений и навыков для изучения дисциплин в сфере производства.

3. Развитие пространственного воображения, логического мышления и геометрической интуиции.

Значимая роль геометрии в культурном, интеллектуальном, творческом, эстетическом развитии человека. Геометрия – это феномен человеческой культуры.

Человек, не знающий геометрии не может считаться культурным. Геометрия является гуманитарным из не гуманитарных предметов.

Графический способ задания функции. Графический способ задания функции используют тогда, когда функцию трудно или невозможно задать аналитически. График функции дает наглядное представление о свойствах функции. Задать функцию графически - это значит построить ее график.

Табличный способ задания функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений.

2) Метод предельного перехода основан на определении геометрических величин некоторых фигур, которые не могут быть определены и измерены непосредственно (длина окружности или дуги) или составлены из многоугольников (площадь круга) или многогранников (площади боковой поверхности и объемы круглых тел) как предела последовательности соответствующих значений геометрических величин, вписанных в данную фигуру или описанных около нее фигур при неограниченном увеличении числа определяющих их элементов (например, сторон многоугольников).

Суть метода площадей (объемов):

1)запишите две или более формул площади (объема) данной фигуры, в одной из них известны все элементы, а в другую входит неизвестный элемент (элементы);

2)составьте уравнение (систему уравнений) на основе того, что эти формулы выражают одну и ту же величину;

3)решите полученное уравнение (систему уравнений) и найдите искомые элементы.

Разновидности метода площадей (объемов):

• одна фигура заменяется другой, которая ей равновелика и более удобна для решения задачи;

• отношение отрезков заменяется отношением площадей треугольников с общей вершиной (если они известны), основаниями которых являются рассматриваемые отрезки.

Данный метод и его разновидности используются и для доказательства свойств геометрических фигур (например, таким методом доказывается свойство биссектрисы угла). Как и при использовании этого метода, так и других, используют дополнительные построения и общие методы доказательства теорем. В процессе обучения геометрии, можно выделить некоторые конкретные направления использования измерений. Понятие величины в математике возникло в результате абстрагирования от качественных особенностей свойств реальных объектов, чтобы выделить только количественные отношения. Изучение зависимостей между величинами позволяет учащимся видеть не только качественные связи различных сторон объективной реальности, т.е. на описательном уровне, но и оценивать их количественно.

Связи величин, их взаимозависимость выражаются с помощью формул. Истолкование формул в физике отличается от их истолкования в математике.

Математическая формула выражает в основном вид зависимости между символами, входящими в нее. Сами символы могут не содержать конкретного смысла. В физической формуле отражены связи между величинами реального мира.

В процессе изучения различных величин учащиеся должны знать не только их числовые характеристики, но и те свойства объектов, которые характеризуются данными величинами. Известно, что не каждое свойство объектов, явлений можно измерять. Примерами могут служить многие понятия в психологии, педагогике, биологии, экономике (воля, смелость, вкус и т. д.).

На примере использования величин в науках учащиеся знакомятся с одним из путей математизации знаний, с той ролью, которую играют математические методы в исследовании природы. Все это имеет важное значение для формирования у учащихся правильных представлений о взаимодействии математики с другими естественными науками.

Даламбер возражал против пренебрежения в «Началах» к задачам измерения величин (площадей, объемов) и использованию различных движений. Основными принципами доказательств должны были быть принцип наложения, метод пределов и теория пропорций (например, теорема о равенстве произведений крайних и средних членов) Требуя от курса геометрии простоты и ясности изложения, Даламбер вместе с тем подчеркивал важность четкости и точности доказательств. Он считал, что чем строже вывод, тем он доступнее, так как подлинная строгость состоит в выводе теорем простым прямым путем из простейших принципов. Любопытно заметить, что он считал целесообразным построение различных курсов геометрии в зависимости от потребностей самих учеников. Одним нужен курс практической геометрии, другим строгие рассуждения и теоретическое руководство. Статьи Даламбера о преподавании геометрии получили широкую популярность во Франции и за ее пределами. Его замыслы нашли частичную реализацию в следующих трех известных сочинениях.

Работы Даламбера и его последователей оказали большое влияние на преподавание геометрии. Они были переведены на многие европейские языки, в том числе и на русский.

План Даламбера стал известен в России. Он произвел неизгладимое впечатление на Н.И.Лобачевского, которому очень понравилась идея слитного преподавания плоской и пространственной геометрии. В 1823 году им был написан учебник «Геометрия», который историки математики называют одним из первых фузионистских курсов геометрии.

В конце XIX века идеи фузионизма стали необычайно популярны в России. В это время у нас началась одна из самых крупных реформ школьного образования. Сложилась такая ситуация, когда, с одной стороны, педагогическая и методическая науки накопили значительный материал в области теории воспитания и обучения, а с другой, имела место устаревшая общеобразовательная система. Наиболее серьезным изменениям при этом подвергся курс математики. Своебразным итогом движения за реформу были исторические Всероссийские съезды преподавателей математики.

Таким образом, съезд пришел к единодушному выводу о необходимости слияния планиметрии и стереометрии в курсе начальной геометрии, предшествующей изучению систематического курса, что и нашло отражение в его резолюции. Однако было отмечено, что в основном курсе геометрии, где должна происходить четкая систематизация учебного материала, слияние, смешение курсов планиметрии и стереометрии нецелесообразно, так как это ведет к нарушению основополагающих педагогических принципов систематизации и последовательности обучения. Более того, в систематических курсах не следует смешивать различные разделы математики, например, алгебру и геометрию, поскольку в таких фузионистских курсах невозможно обеспечить последовательное и непрерывное прохождение учебного материала каждого из них.

В систематическом же курсе геометрии планиметрия и стереометрия изучались традиционно последовательно. Однако в конце курса планиметрии предусматривалась глава «Начальные сведения из стереометрии», которая знакомила учащихся с основными темами геометрии старших классов, а именно, с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве, многогранниками, фигурами вращения . Идеи фузионизма не были популярны в период той реформы математического образования. В современной школе наибольшее распространение получили учебники следующих авторов: Погорелов А.В., Гусев В.А., Александров А.Д. и др., Атанасян Л.С. и др., причем отмечается неоднозначное отношение учителей к этим учебникам. В методической литературе имеются и положительные и отрицательные отзывы о них; авторы одних статей считают, что некоторые учебники непригодны для современной школы, другие же, наоборот, восхищаются тем или иным подходом автора к изложению школьного курса геометрии. Одних привлекает строгий аксиоматический подход, других большие возможности для организации мыслительной деятельности учащихся.

Этим названием уже пользовались, давая определения производной. Предельный переход – новая операция для нахождения неизвестных величин. Так, например, функция называется непрерывной в точке x₀, если при или

=.

Метод интервалов. Приложения производной начинаются с рассмотрения приложения непрерывной функции: "Если на интервале функция непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет постоянный знак! " Эта теорема применяется в решении неравенств методом интервалов. В более "сильных" классах можно заменить нахождение знака данной функции на каждом из интервалов проведением кривой знаков ", которая берет свое начало в правом верхнем углу, если знак коэффициента при старшей степени положителен, и в правом нижнем углу в противном случае (вспомнить аналогию с расположением ветвей параболы для функции ).

Такая последовательность изучения материала создаёт предпосылки для:

1) понимание учащимися взаимосвязи между операциями дифференцирования и интегрирования функций, а также основной идеи метода дифференциального и интегрального исчислений;

2) осознание учащимися того факта, что аппарат производной и интеграла – основа метода математического анализа. С одной стороны, он выступает как язык, описывающий многие явления, процессы мира. С другой – как инструмент, с помощью которого с учётом особенностей языка исследуются эти явления и процессы.

Параллельность в пространстве

Параллельность прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.Если две прямые a и b параллельны, то, как и в планиметрии, пишут a||b. В пространстве прямые могут быть размещены так, что они не пересекаются и не параллельны. Этот случай является особым для стереометрии. Прямые, которые не имеют общих точек и не параллельны, называются скрещивающимися.

Параллельность прямой и плоскости

Плоскость α и прямая a, не принадлежащая плоскости α, называютсяпараллельными, если они не имеют ни одной общей точки. Любая прямая a, принадлежащая плоскости α, считается параллельной плоскости α. Теоремы о плоскости и прямой, параллельной плоскости:

1) если плоскость проведена через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то лилия пересечения плоскостей параллельна данной прямой;

2) если через каждую из двух параллельных прямых проведена Произвольная плоскость и эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна каждой из данных прямых.

Параллельность плоскостей в пространстве

Свойства параллельных плоскостей:

1) Любая плоскость считается параллельной самой себе (рефлексивность).

2) Если плоскость α параллельна плоскости β, то и плоскость β параллельна плоскости α (симметричность).

3) Если плоскость α параллельна плоскости β, а плоскость β параллельна плоскости γ то плоскость α параллельна плоскости γ (транзитивность).

Признак параллельности двух плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двумя прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Теоремы о параллельных плоскостях:

1) Если две параллельные плоскости α и β пересечены третьей плоскостью γ, то линии пересечения плоскостей α, γ и β, параллельны.

2) Через данную точку, не принадлежащую данной плоскости, можно провести одну и только одну плоскость, параллельную данной плоскости.

3) Если каждая из двух данных плоскостей параллельна третьей плоскости, то данные две плоскости параллельны между собой.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Прямая и плоскость в пространство могут:

а) не иметь общих точек;

б) иметь ровно одну общую точку;

в) иметь хотя бы две общие точки.