3.5. Примеры решения задач оптимизации.

В этом разделе рассмотрено решение типовых экономических задач в электронных таблицах MSExcel. Разумеется, что возможности электронных таблиц не ограничиваются решением задач планирования производства или штатного расписания, транспортной задачи и задачи о назначениях ресурсов. Любая задача, допускающая построение математической модели (см. предыдущий раздел), может быть проанализирована средствамиMSExcel. Заинтересованный читатель найдет дополнительные сведения о решении задач оптимизации в Приложении.

3.5.1. Транспортная задача

Предположим, что ваша фирма занимается производством и продажей продукции. Фирма владеет несколькими заводами, где эта продукция производится, и имеет ряд магазинов. Каждый завод обладает определенными производственными мощностями, а каждый магазин – объемом продаж товара. Для обеспечения высокой эффективности работы фирмы необходимо спланировать перевозки товаров так, чтобы транспортные затраты были как можно меньше. При этом требуется обеспечить вывоз всей продукции с каждого завода и полностью удовлетворить запросы каждого магазина. Для простоты будем полагать, что общий объем производства равен общему объему спроса (сбалансированная задача).

Для решения задачи построим ее математическую модель. Обозначим количество заводов N, а количество магазиновM. Для нумерации заводов и магазинов введем индексыiиj. Индексiпробегает целочисленные значения от 1 доNи указывает номер завода, индексjпринимает значения от 1 доMи соответствует номеру магазина. Объем производстваi-го завода обозначимa_i, объем спросаj-го магазина -b_j. Условие баланса спроса и предложения имеет вид

. (3.5.1)

Неизвестными величинами в данной задаче являются объемы перевозок, которые мы обозначим x_ij. Величинаx_ij– это объем перевозок сi-го завода вj-й магазин. Затраты на перевозку единицы продукции из пунктаiв пунктjпо аналогии обозначимc_ij. Очевидно, что величиныx_ijиc_ijв нашей задаче могут принимать лишь неотрицательные значения

, (3.5.2.)

. (3.5.3)

Стоимость одной перевозки составит x_ijc_ij, а общие транспортные расходыZбудут складываться из затрат по каждому маршруту:

. (3.5.4)

По условию задачи требуется минимизировать совокупные затраты на перевозки. В нашей модели оптимальному графику перевозок соответствует минимальное значение функции Z. Если не накладывать на величиныx_ijиc_ijдополнительных условий и попытаться минимизировать целевую функцию (3.5.4), то в результате мы получимZ= 0 иx_ij= 0. Такой результат, очевидно, не может быть удовлетворительным ответом. Для правильного решения поставленной задачи необходимо ввести ограничения на объемы вывозимой и ввозимой продукции. Объем вывозимой сi-го завода продукции должен быть равен объему производстваa_i, объем ввозимой продукции должен соответствовать объему спросаb_j:

, (3.5.5)

. (3.5.6)

Выражения (3.5.1)-(3.5.6) составляют математическую модель сбалансированной транспортной задачи. Если спрос и предложение не сбалансированы, то в модель нужно ввести фиктивные пункты производства или пункты потребления. В случае дефицита вводится фиктивный завод, стоимость и объем перевозок с которого равны штрафу за недопоставку и объему недопоставки соответственно. В случае перепроизводства продукции вводится фиктивный магазин, стоимость и объем перевозок в который полагается равной стоимости складирования и объему излишней продукции соответственно.

Рассмотрим решение сбалансированной транспортной задачи средствами MSExcel. Пусть имеется 3 завода (N=3) и 4 магазина (M=4). Введем в рабочий лист данные об объемах производства и спроса как показано на рис. 3.15. Для проверки баланса (выражение (3.5.1)) просуммируем значения в диапазонахB4:B6иG4:G7, затем сравним вычисленные суммы в ячейкеC10с помощью формулы

«=ЕСЛИ(B7=G8;"Задача сбалансирована";"Нарушен баланс!")».

Далее в диапазон B14:E16вводим данные о себестоимости перевозок между заводами и магазинами.

Для распределения объемов перевозок между экономическими объектами создадим таблицу «Объемы перевозок» (рис. 3.16). Для проверки условий (3.5.5) и (3.5.6) в ячейках B23:E23иF20:F22вычислим суммы строк и столбцов таблицы «Объемы перевозок». Суммы по столбцам соответствуют объемам ввозимой продукции, а по строкам – объемам вывозимой продукции. Значения объемов перевозок заранее неизвестны, для определенности в качестве начального приближения вводим в ячейкиB20:E22нулевые значения. Для вычисления целевой функции (3.5.4) введем в ячейкуE25формулу

«=СУММПРОИЗВ(B14:E16;B20:E22)».

Теперь рабочий лист содержит всю необходимую информацию для «Поиска решения». Выполним команду «Сервис|Поиск решения» и заполним поля открывшегося диалогового окна (рис. 3.17). Условия (3.5.2), (3.5.5) и (3.5.6) вводим в диалог «Поиск решения» в виде ограничений. Для корректного решения линейной задачи установим флажок «Линейная модель» (кнопка «Параметры»). После нажатия кнопки «Выполнить» «Поиск решения» находит оптимальный план перевозок грузов, показанный на рисунке 3.16.

Рис. 3.15. Исходные данные транспортной задачи.

Рис. 3.16. Оптимальное решение транспортной задачи.

Рис. 3.17. Диалоговое окно «Поиск решения» для транспортной задачи.