Desktop_2 / 1 курс 1 семестр / Математика Часть1

4. Векторная алгебра

Вектором a называется направленный отрезок прямой. Если точка А – начало вектора, точка В – его конец, то вектор a обозначается AB = a . Длиной или

модулем вектора AB называется число, равное длине отрезка АВ. Рассматривают также вектор, у которого начало и конец совпадают. Его называют нуль-

вектором и обозначают 0 . Нуль-вектор не имеет определенного направления, и его модуль равен нулю.

Векторы a и b , расположенные на одной прямой или на параллельных

прямых, называются коллинеарными. Два вектора a и b называются равными, если они: 1) имеют равные модули; 2) коллинеарны; 3) направлены в одну сто-

рону (сонаправлены). Три вектора a, b, c , параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называются компланарными.

Произведением вектора a на число λ называется вектор b = λa , имеющий длину b = λ a , его направление совпадает с направлением вектора a , если

λ > 0 , и противоположно ему, если λ < 0 . При λ = 0 получаем нуль-вектор. Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат OXYZ. От-

несем к каждой из координатных осей единичные векторы i, j,k так, что их направления будут совпадать с положительным направлением соответствующей оси. Единичные векторыi, j,k называются базисными векторами или базисом. Тогда любой вектор в пространстве может быть задан своими координатами a = {x, y, z}, где х – проекция вектора а на ось ОХ, y,z – проекции соответственно на оси OY, OZ. С другой стороны, вектор а может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов: a = x i + y j + z k

Над векторами можно производить линейные операции, к которым относятся следующие:

1.Сумма двух векторов a = {x1 , y1 , z1} и b = {x2 , y2 , z2 } – это вектор c с коорди-

натами c = {x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 }.

2.Разность двух векторов a −b определяется вектором d с координатами

d= {x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 }.

3.При умножении вектора на скаляр λ , его координаты умножаются на

скаляр λ: λa = {λx1 , λy1 ,λz1}.

Длина или модуль вектора a определяется через его координаты формулой

ное условие коллинеарности двух векторов a = {x1 , y1 , z1} и b = {x2 , y2 , z2 } в аналити-

9

торов является пропорциональность их соответствующих координат. Возможны и другие действия с векторами. Рассмотрим их.

Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное про-

изведению модулей этих векторов на косинус угла между ними: a b = a b cos ϕ.

Можно показать, что скалярное произведение векторов через их координаты выражается следующим образом:

a b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .

С помощью скалярного произведения можно найти угол ϕ между вектора-

ми :

Равенство нулю скалярного произведения является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов : x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 .

В дальнейшем будем использовать еще один вид произведения: векторное произведение двух векторов. Векторным произведением двух векторов a и b называется вектор с, который удовлетворяет трем условиям:

1) модуль с вектора численно равен площади параллелограмма, построен-

ного на векторах a и b , то есть с = a b sin ϕ, где ϕ– угол между векторами a

и b ;

2)вектор с перпендикулярен векторам a и b ;

3)вектор с направлен так, что три вектора a, b, c образуют правую тройку. Говорят, что векторы a, b, c образуют правую тройку, если, глядя с конца

третьего вектора с, вращение первого вектора a ко второму b по наименьшему углу происходит против часовой стрелки, и левую, если против часовой

стрелки. Векторное произведение векторов a и b будем обозначать символом а×b . Можно показать, что векторное произведение выражается через координа-

10

По определению модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b : a ×b = Sпар . Тогда площадь тре-

достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения. Можно показать, что это условие равносильно приведенному выше.

Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, равное скалярному произведению вектора a ×b на вектор c . Смешанное произведение обозначается так: a b c . Формула, выражающая смешанное произведение век-

достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения. Объем параллелепипеда, построенного на трех

векторах a, b, c , равен модулю их смешанного произведения. Объем пирамиды,

1

построенной на этих векторах, равен 6 abc .

Пример

Даны координаты четырех точек А (1; 2;3), B (0;-1;1), C (2;5;2), D (3;0;-2).

Доказать, что они не лежат в одной плоскости. Найти объем пирамиды АВСD, длины ее ребер, площадь грани АВС, плоский угол ВАС.

Решение

Проверим, лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости. Для этого введем три вектора АВ, АС, АD и проверим, компланарны ли они. Найдем координаты

BD = 9 +1 +9 = 19 , DC = 1 + 25 +16 = 42 , BC = 4 +36 +1 = 41 . Vпир = 16 24 = 4 .

Вычислим площадь грани АВС. Для этого найдем векторное произведение векторов АВ, AC :

11

Осталось найти угол ВАС с помощью скалярного произведения тех же векторов:

5.Уравнения плоскости и прямой в пространстве

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Оxyz. Уравнение F(x,y,z)=0 является уравнением данной поверхности, если координаты каждой точки, лежащей на этой поверхности, удовлетворяют данному уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на этой поверхности, – ему не удовлетворяют. Простейшим видом поверхности является плоскость. Рассмотрим различные формы уравнений плоскости.

Пусть в пространстве плоскость ( α) задана точкой М0 (x0 , y0 , z0 ) и вектором

n = {A,B,C}, перпендикулярным плоскости (такой вектор называется нормальным вектором плоскости). Тогда можно записать уравнение плоскости, прохо-

плоскости в отрезках. Здесь a – величина отрезка, отсекаемого плоскостью на

получить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

Расстояние от точки M 0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости ( α), заданной общим уравнением, вычисляется по формуле

d = Ax0 + By0 + Cz0 + D . A2 + B 2 + C 2

12

Прямая линия может быть определена как линия пересечения двух плоско-

l = {m, n, p} – направляющий вектор прямой (т. е. вектор, лежащий на прямой

или параллельный ей). За направляющий вектор прямой можно взять вектор, равный векторному произведению нормальных векторов плоскостей:

l = n1 ×n2 .

Уравнение прямой, проходящей через две точки М1 (x1 , y1 , z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) , можно записать в виде:

Из канонических уравнений прямой можно вывести параметрические

x = mt + x0

уравнения прямой, приравнивая каждое из отношений параметру t: y = nt + y0

,

z = pt + z0

где − ∞ < t < +∞.

Пример

В системе Oxyz даны точки M1 (-1;0;-7), M 2 ( -5;1;-4), M 3 (-10; 3; 0), M 4 (5; 2; -1). Найти:

1) уравнение плоскости ( α), проходящей через точки M1 , M 2 , M 3 ; 2) рас-

стояние от начала координат до плоскости ( α); 3) координаты точек пересечения плоскости ( α) с осями координат; 4) cоставить уравнение прямой, проходя-

или – 2(x+1)+y–3(z+7)=0; 2x–y+3z+23=0.

13

4. Найдем канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ( α). Из перпендикулярности прямой и плоскости следует, что за направляющий вектор прямой можно принять нормальный вектор

плоскости l = n = {2;−1; 3}. Тогда канонические уравнения прямой будут иметь следующий вид:

прямой и на плоскости ( α), то ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости ( α). Подставим значения x, y, z из параметрических уравнений в уравнение плоскости (α ). Получим

2(5+2t) – (2–t)+3(-1+3t)+ 23=0.

Откуда найдем t = –2 – значение параметра t, отвечающее точке пересече-

14

6. Линии второго порядка

Линия второго порядка – это линия, которая в декартовой системе координат задается уравнением второй степени относительно x и y. Рассмотрим наиболее важные из них: эллипс, гиперболу и параболу.

1. Эллипсом называется линия, для всех точек которой сумма расстояний от двух данных точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a , большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим расстояние между фокусами через 2c и расположим их на оси Ох симметрично относительно точки О: F1 (c;0), F2 (−c;0) . Тогда по определению

F1M + F2 M = 2a (2a > 2c, a > c) .

Можно показать, что в этом случае уравнение эллипса будет иметь наиболее простой, канонический вид:

причем b2 = a2 − c2 . Из уравнения эллипса вытекает, что оси эллипса являются осями симметрии, а точка О является его центром симметрии и называется центром эллипса (см. рис. 1).

b y M(x,y)

-a F2 O F1 a x

-b

Рис.1

В частном случае, когда a = b , фокусы совпадают (c = 0) , и мы имеем окружность радиуса a с центром в начале координат, ее каноническое уравнение будет иметь следующий вид: x2 + y2 = a2 .

рого 2b лежит на оси Oy, а малая ось 2a – на оси Ох. Фокусы такого эллипса находятся в точках F1 (0; c) и F2 (0;−c) . Если центр эллипса находится в точке

O1 (x0 , y0 ) , а оси параллельны координатным осям, то его уравнение имеет вид

расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a и меньшая, чем расстояние между фокусами. Согласно определению имеем F1M − F2 M = 2a ( 2a < 2c, a < c ).

15

Обозначим расстояние между фокусами через 2c и расположим их на оси

ется действительной полуосью, b – мнимой полуосью, причем b2 = c2 − a2 . Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником ги-

2 она показана пунктиром). Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты. Отметим, что действительная ось ее 2b расположена на оси Oy , а мнимая ось 2a – на оси Ох. Гипербола симметрична относительно координатных осей, точка О является ее центром симметрии и называется центром гиперболы.

3. Параболой называется линия, все точки которой одинаково удалены от данной точки F , называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой. Обозначим расстояние между фокусом и директрисой через p ( p > 0 ). Величина p называется параметром параболы. Выберем систему координат Oxy так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно директрисе и была направлена от директрисы к фокусу. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой (см. рис. 3).

16

бола симметрична относительно оси Ох . Ее ветви направлены вправо. Точка О

Пример

Выделяя полные квадраты, привести уравнение линии к каноническому виду и построить ее.

4x2 +8x + 9 y2 −36 y + 4 = 0 .

Решение

Сгруппируем слагаемые, содержащие х, и аналогично поступим для y:

4(x2 + 2x) +9( y2 −4y) + 4 = 0 .

В скобках дополним первые два слагаемых до полного квадрата:

4((x2 + 2x +1) −1) + 9(( y2 − 4 y + 4) − 4) + 4 = 0

4(x +1)2 −4 1 +9( y −2)2 +9 (−4) + 4 = 0 .

4(x +1)2 +9( y −2)2 = 36 .

Разделим обе части уравнения на 36. Получим

(x +91)2 + ( y −42)2 =1 .

17

Это уравнение определяет эллипс с центром в точке О1(-1; 2) и полуосями a = 3 и b = 2 . Построим эту линию (рис. 5).

y

Рис. 5

7. Уравнения линий в полярной системе координат

Полярная система координат определяется заданием точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча ОА, называемого полярной осью, и масштабной единицы. Положение произвольной точки М на плоскости определяется двумя числами: числом ρ – это расстояние от полюса до точки М, и чис-

лом ϕ – величиной угла в радианах, образованного лучом ОМ с полярной осью, отсчитываемого против часовой стрелки. Эти числа называются полярными ко-

ординатами точки М: М (ρ,ϕ) . Число ρ называется полярным радиусом точ-

ки М, ϕ – полярным углом. Принято считать, что 0 ≤ρ < +∞, а угол изменяется в границах 0 ≤ ϕ < 2π(иногда границы изменения ϕ берут такими − π < ϕ ≤ π). Запишем формулы, связывающие полярные и декартовые координаты:

Пример

1. Построить кривую ρ =1 +cosϕ в полярной системе координат.

Решение

Составим таблицу

По полученным координатам строим точки и соединяем их плавной кри-

вой.

18