Desktop_2 / 1 курс 1 семестр / Математика Часть1

Пример

Решить графически уравнение 4x-4+х= 0.

Решение

Перепишем уравнение в виде 4x= 4–х. Корнем этого уравнения будет значение x = x0 , подстановка которого обращает уравнение в верное числовое равен-

ство: 4x0 = 4 − x0 . Геометрически x0 – абсцисса общей точки (точек) графиков

y=4x

y=4–x

Рис. 11

Точка пересечения кривых имеет абсциссу x0 ≈0,8. Значит, данное уравнение имеет единственный корень x0 ≈ 0,8.

2. Предел функции

Пусть дана функция y =f (x). Если значения функции f (x) неограниченно приближаются к некоторому числу А, когда значения аргумента х неограниченно приближаются к а, при этом x ≠ a , то число А называется пределом функции f (x) при стремлении х к а. Кратко это записывается так : limx→a f (x) = A .

Пример

Пусть дана функция y = x2 −1 . Найдем предел этой функции при х, стре- x −1

мящемся к 1. Рассмотрим несколько значений аргумента, близкие к 1, и соответствующие им значения функции:

29

Можно заметить, что при неограниченном приближении х к единице, зна-

чина, так как lim(x −1)2 = 0 .

x→1

Если при x → a абсолютные значения функции неограниченно возрастают, то функция называется бесконечно большой при x → a . Это записывается так:

Аналогичные ситуации могут возникнуть при неограниченном увеличении

Если при неограниченном увеличении х значения функции неограниченно возрастают, то функция называется бесконечно большой при x → ∞ . Напри-

мер, limx→∞(x2 + 2x)= +∞ .

При нахождении пределов используются следующие теоремы о пределах:

1. Если С – постоянная величина, то limС = С.

x→a

lim g(x) = B ≠ 0 .

x→a

Замечание: теоремы о пределах справедливы и при x → ∞ .

3. lim sin x =1– первый замечательный предел.

x→0 x

30

Решение

Так как, при x →1 предел числителя и знаменателя равен 0, то непосредственное применение теоремы о пределе дроби невозможно. Вычисление пре-

дела сводится к раскрытию неопределенности вида 0 . Для этого преобразуем

⎩0

сокращение допустимо, так как x →1, но х ≠1. Поэтому, для всех х ≠1 имеем

Решение

Здесь применить непосредственно теорему о пределе дроби тоже нельзя, так как числитель и знаменатель дроби не имеют предела при x → +∞, одновременно

стремясь к + ∞ . В этом примере мы имеем дело с неопределенностью вида ∞ .

∞

Чтобы найти предел дроби, преобразуем ее, разделив числитель и знаменатель на x2 . После такого преобразования уже легко найти предел:

Решение

Числитель и знаменатель дроби при x → 0 одновременно стремятся к ну-

лю. Поэтому имеет место неопределенность вида 0 . Преобразуем дробь, ис-

⎩0

пользуя формулы тригонометрии:

31

нечности. Поэтому имеем неопределенность вида {1∞ }. Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел.

3. Непрерывность функции

Пусть x0 – некоторое действительное число (точка на числовой оси). Окрестностью точки x0 называется всякий интервал вида (x0 − δ; x0 + δ), где δ > 0 .

Число x0 называется центром окрестности, а число δ – ее радиусом.

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 , если она определена

в этой точке и некоторой ее окрестности и lim f (x) = f (x0 ) .

x→x0

Если значения функции y = f (x) неограниченно приближаются к некоторому числу А1 при x → x0 , но при этом х принимает значения, строго меньшие x0 (x0 < x), то число А1 называют пределом функции y=f(x) в точке x0 слева и обо-

32

Если функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x= x0 и не является непрерывной в точке x = x0 , то функция называется разрывной в этой точке, а точка x = x0 называется точкой разрыва. Точки разрыва можно

разделить на два типа.

1. Точка x0 называется точкой разрыва 1 рода, если существуют оба одно-

сторонних предела.

2.Точка x0 называется точкой разрыва 2 рода, если хотя бы один из одно-

сторонних пределов равен бесконечности или не существует.

Имеет место утверждение: всякая элементарная функция непрерывна во всех точках, принадлежащих ее области определения.

Рассмотрим два примера.

Примеры

1. Исследовать функцию на непрерывность и построить ее график

Решение

Везде, кроме точки x0 =1, функция непрерывна. Найдем односторонние пределы функции в этой точке.

1 рода. При переходе через нее функция делает скачок, величина которого равна

lim f (x) − lim f (x) = 2. Приведем график данной функции.

x→1+0 x→1−0

1

2. Исследовать на непрерывность функцию y = 2 x−2 в точке x0 = 2 . По-

строить схематичный график функции.

Решение

Данная функция определена и непрерывна во всех точках, кроме точ-

киx0 = 2 . Исследуем характер разрыва функции в этой точке. Для этого найдем односторонние пределы в точке x0 = 2 .

рыв второго рода.

33

Для построения графика исследуем поведение функции на бесконечности.

=1 . На основе полученных данных строим график функции (рис. 13).

Рис. 13

34

f (2x +1) − f (x)( f (3) +1) = − f (2) .

71-80. Найти области определения функций.

35

81-90. С помощью преобразований построить графики элементарных функций.

36

101-110. Вычислить пределы.

37