Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика Часть1

.pdf

Скачиваний:

102

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

572.93 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Выясним

наличие

наклонных

асимптот:

lim

= 0

Тогда

(1 − x2 )x

x→∞

b = lim(

−0 x) = 0 . Следовательно, прямая y= 0 (ось Ox) является горизон-

1 − x2

x→∞

тальной асимптотой.

′

4. Найдем интервалы возрастания и убывания.

y′ =

. Так

(1− x2 )2

1− x2

как, y′ > 0 при любом х из области определения функции,

то функция

не имеет

экстремумов

и монотонно

возрастает

каждом

из

интервалов

(− ∞;−1) (−1;1)

(1;+∞).

5. Найдем интервалы выпуклости и точку перегиба.

′

= 2x(x

+3)

y′′ =

(1− x

)

(1− x

)

Вторая производная равна нулю при х=0.

Результаты исследования графика на выпуклость и вогнутость занесем в таблицу


x	( −∞, −1)	-1	(-1 ;0)	0	(0; 1)	1	(1;+∞)
у"	+	Не сущ	–	0	+	Не	–
						сущ.
y		Не сущ	∩	0		Не	∩
						сущ.

Точка с координатами О (0;0) – точка перегиба.

6. На основании результатов исследования строим график функции y = 1 −xx2 (рис. 18).

Рис. 18

Задания для контрольной работы № 3

121-130. Найти производные функций.

121.

y =

ln x

;

y = e3x tg 3x ;

y = (x2 + cos 2x)2 .

x2 +1

122.

y =

tg x

;

y = (1− x2 )arctg x ;

y = sin2 (2x +1).

x3 + x

123.

y =

1 − x2

;

y = ex2

arcsin x ;

y = tg2 (x + x3 ).

124.

y =

4 − x2

y = 24 x arctg x ;

y = cos2 (x2 −1)

x − 4 ;

125.

y =

ln(x +1)

y = 42x

4 −5x ;

y = arctg2 (2x +1).

cos 2x

126.

y =

x + 4

;

y = 23x arccos x

;

y = (x

tg x

) .

127.

y =

cos3x

; y = tg x ln cos x ;

y = arcsin

+1).

3 2x − 4

128.

y =

cos 3x

;

y = 2x2

arctg x

;

y =1 + cos4 4x .

x3 −

129.

x2 +1

y = ln2 x e−3x

;

y = arctg (3x + e2 x )

y = ctg 2x

;

x − x2

y = 2x−4 ctg x

(ln sin x

130.

y =

sin 3x

;

4) .

131-140. Дана функция

y = f (x) . Записать уравнение касательной к графику

этой функции в точке с абсциссой x = x0 . Сделать чертеж.

131

y = 4 − (x −1)2 , x0

= 0.

136.

y =

x +1,

= 3 .

132

y =

(x +1)2

−

3, x0

= 3.

137.

y = 2 x − 3, x0 = 4 .

133

y = x2 − 4x,

= 3.

138.

y = ln(x +1), x0

= 0

134

y = 4 − x2 ,

x0 =1.

139.

y = x3 ,

= −1.

135

141-150. Найти x = ϕ(t), y

y = −	1	, x0	= −2 .	140.	y =	x2	+	4x	, x0	= −1.
	x					x2	+	4x
							2


y′′ функции			y = f (x)	и y′x	функции, заданной параметрически
= ψ(t) .

141.	y = x2 e3x ;			x = cos 4t,	y = 3t 2 −t .
142.	y = x e−2 x ;			x = tg t,	y = t3 − 4t .
143.	y =	e3x		x = sin 3t,	y = t + cost .
			;
		x

144.y = lnx2x ;

145.y = e2 x−1 sin 4x ;

146.y = x cos3x ;

147.y = xsin 2x ;

148.y = arctg3x ;

149.y = e−3x sin x ;

150.y = e−x cos 2x ;

x = t3 + et , y = cos 2t −t .

x = ctg t, y = e3t −t 2 .


x = ln(t2 +1),	y = sin		t	+ 2 .

	2
x = 1 −t ,	y = e−2t .
x = arcsin t,	y =1 −t 2 .
x = arccos t,	y = e−3t+1 .
x = t 4 −t 2 ,	y = sin	5t			.
		2

151-160. Найти пределы по правилу Лопиталя.

151.	lim ln(1 +sin x);
	x→0	sin 4x
152.	lim	3x2		−5x		;
	x→0	sin 3x
153.	lim	2x			−1
		ln(1 + 2x);
	x→0
154.	lim	2xsin x				;
		1 −cos 2x
	x→0
155.	lim	1 −cos10x					;
		e	x2		−1
	x→0

156.	lim	tgx − x				;
		sin x − x2
	x→0

lim	x2 −1

	ln x .
x→1
lim	2x −16
	sin πx .
x→4
lim	1 − x2
	sin πx .
x→1
lim	tgπx
	x + 2 .
x→−2
lim	x3 + 4x2 +5x + 2		.
	x3 −3x − 2
x→−1
lim	x3 −3x + 2	.
	x3 − x2 − x +1
x→1

157.

lim

x + 2 −

;

lim

x3 −2x −1

x→0

sin 3x

x→−1

x4 + 2x +1

158.

lim

ln(1 −7x)

;

lim

x2 + 3x + 2

sin(π(x + 7))

x3 + 2x2 − x − 2

x→0

x→−1

159.

lim

9 ln(1 − 2x)

;

lim

x3 −3x − 2

4arctg3x

x2 + 2x +1 .

x→0

x→−1

160.

lim

arcsin 3x

;

lim

x3 −3x − 2

2 + x − 2

x→0

x→−1

x + x2

161-170. Провести полное исследование функций и построить их графики. Для

первой функции найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке

[a; b].

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

y = 2x3 +3x2 ,

y = 4x3 −3x4 ,

y = 3x2 − 2x3 −1,

y = x3 + 14 x4 ,

y = x3 −3x2 ,

y = 3x4 − 4x3 +1, y = 3 + 2x2 − x4 , y = 2x3 + 3x2 −1,

y = x3 −3x + 2,

y = 18 (12x − x3 ),

[− 2;	1];
[−1;	2];
[−1;	2];
[− 4;	1];
[−1;	3];
[−1;	2];
[− 2;	2];
[− 2;	1];

[− 2;	2];
[−3;	1];

y = x3x−4 1 .

y = 1−x3x4 .

y = 3x2 3−1 . x

y = (x −3)2 . x

y= x2 −1 . x2 +1

y =	x2
		.
	1− x

y = (x x+21)2 .

y= x +1 2 .

x −1

y = x2 − x − 6 . x − 2

y = xx+2 2 .

Вопросы к экзамену

1.Матрицы и действия над ними.

2.Определители и способы их вычисления.

3.Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера.

4.Решение систем линейных уравнений матричным способом.

5.Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

6.Скалярное произведение векторов. Определение, свойства, применение.

7.Векторное произведение векторов. Определение, свойства, применение.

8.Смешанное произведение векторов. Определение, свойства, применение.

9.Условия коллинеарности, перпендикулярности и компланарности векторов.

10.Уравнения плоскости.

11.Уравнения прямой в пространстве.

12.Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола.

13.Полярная система координат.

14.Определение функции, области определения и ее графика.

15.Основные элементарные функции и их графики.

16.Правила построения графика функции путем сдвига и деформации известного графика другой функции.

17.Понятие предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

18.Понятие непрерывной функции и точек разрыва функции.

19.Определение производной. Ее геометрический смысл.

20.Уравнение касательной к графику функции.

21.Правила нахождения производной функции, таблица производных.

22.Определение возрастающей и убывающей функции, правила нахождения интервалов возрастания и убывания функции.

23.Нахождение максимума и минимума функции.

24.Определения выпуклости (вогнутости) графика функции, точек перегиба. Их отыскание с помощью второй производной.

25.Асимптоты графика функции.

26.Правило Лопиталя для вычисления пределов.

27.План полного исследования функции с помощью производной.

Библиографический список

1.Высшая математика для экономистов: Учеб. для вузов / Под ред. Крамера Н.Ш. – М.: ЮНИТИ, 2000.

2.Высшая математика: Метод. руководство / Данилин А.Р., Кац И.Я. – Екатеринбург: УрГУПС, 2002.

3.Методическое руководство и контрольные задания (части1-4) / Белугин В.И., Величко Т.В., Поповский Э.Е.; Под общ. Ред. Каца И.Я. – Екатеринбург: УрГУПС, 1995.

4.Высшая математика: Метод. руководство / Белугин В.И., Величко Т.В., Поповский Э.Е. – Екатеринбург: УрГУПС, 2002.

5.Конспект лекций по высшей математике: Учеб. для вузов / Письменный Д.Т.–М.: Айрис-пресс, 2006.

6.Сборник домашних заданий по курсу высшей математики: Метод. руководство / Егоров В.Я., Недвецкая А.И., Толмачева М.А. – Екатеринбург: УрГУПС, 2004.

Список рекомендуемой литературы

Основная

1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Ч.1-2. –М.: Айрис-пресс, 2006.

2.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упраж-

нениях и задачах. Ч. I. – М.: Высш. шк., 1999. – 304 с.

3.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упраж-

нениях и задачах. Ч. II. – М.: Высш. шк., 1999. – 416 с.

Дополнительная

1.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.:

Наука, 1986. – 576 с.

2.Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высш. шк., 2001. – 479 с.

Учебное издание

Ирина Николаевна Пирогова Эдуард Евгеньевич Поповский Надежда Олеговна Борисова

Математика

Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» для студентов заочной формы обучения

технических специальностей (6,5 лет обучения)

В четырех частях

Часть I

2-е издание, дополненное и исправленное

Редактор С. В. Пилюгина

Подписано в печать 28.09.09. Формат 60 × 84 /16. Бумага офсетная. Усл. печ. л.

Тираж 550 экз. Заказ №

Издательство УрГУПС 620034, Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в папке 1 курс 1 семестр

#
17.05.2015464.33 Кб47Английский язык.pdf
#
17.05.2015257.13 Кб38Культурология.pdf
#
17.05.2015572.93 Кб102Математика Часть1.pdf
#
17.05.2015857.83 Кб66Отечественная история Часть1.pdf
#
17.05.2015659.38 Кб210Отечественная история Часть2.pdf
#
17.05.2015415.24 Кб49Отечественная история Часть3.pdf
#
17.05.2015222.57 Кб42Отечественная история.pdf
#
17.05.2015175.34 Кб35Реферат физ-ра.pdf