Desktop_2 / 1 курс 1 семестр / Математика Часть1

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Кафедра «Высшая математика»

И. Н. Пирогова Э. Е. Поповский Н. О. Борисова

Математика

Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» для студентов заочной формы обучения

технических специальностей (6,5 лет обучения)

В четырех частях

Часть I

2-е издание, дополненное и исправленное

Екатеринбург

2009

3

Введение

Работа студента-заочника над курсом высшей математики в УрГУПС предполагает самостоятельное изучение теоретического материала и выполнение практических заданий. Для этой цели служат контрольные работы, выполняемые

втечение семестра.

Впособии содержатся теоретические сведения, методические указания и сами контрольные работы. Здесь же указана дополнительная литература по каждому разделу. Вариант контрольной работы студент выбирает в соответствии с присвоенным ему шифром (номеру варианта соответствует последняя цифра шифра в зачетной книжке).

Правила выполнения контрольной работы:

1.Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради и сдана в деканат (не забудьте указать фамилию преподавателя!).

2.Работу следует оформлять в тонкой тетради, оставляя место для исправления ошибок (желательно писать на правой странице, оставляя чистой левую). Если при проверке работы в ней обнаружены ошибки, то студент должен их исправить и отослать работу вновь на проверку. Причем, работа должна быть отправлена не позднее 2-х недель до начала сессии.

3.Решение задач должно быть достаточно подробным и логически обоснованным. Полезно в ходе решения приводить формулы, формулировки теорем или другие теоретические сведения, на основании которых делается заключение.

3

Краткие теоретические сведения

ирекомендации по выполнению контрольных работ

I.ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

ИАНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1.Матрицы и действия с ними

стоящая из n строк и m столбцов. Это матрица размера (n×m). Квадратной матрицей порядка n называется матрица размера (n×n). Числа a11 , a12 ,...,anm бу-

дем называть элементами матрицы А.

Две матрицы A = (aij ) и B = (bij ) называются равными, если их элементы, стоящие на соответствующих местах, равны, т. е. aij = bij .

Произведением матрицы А на число λ называется матрица B = λA , элемен-

ты которой равны bij = λaij .

Суммой двух матриц А и В размера (n×m) называется матрица С размера (n×m) такая, что сij = aij +bij .

Если А – матрица размера (n ×m), а В – матрица размера (m×k) (т. е. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В), то произведением этих мат-

4

2. Определители

Каждой квадратной матрице А порядка n можно поставить в соответствие число, называемое ее определителем и обозначаемое А . Определитель первого

порядка матрицы (а11) – это само число а11. Определителем второго порядка, со-

В определителе различают первую строку a11 , a12 , вторую строку a21 , a22 , первый столбец a11 , a21 , второй столбец a12 , a22 . Элементы a11 , a22 образуют главную диагональ, а элементы a21 , a12 – побочную диагональ определителя. Эти термины будут использоваться и для определителей третьего порядка.

Для матрицы А третьего порядка определитель равен

a11 a12 a13

a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 − a31 a32 a33

−a13 a22 a31 −a23 a32 a11 −a21 a12 a33

Данная формула называется правилом треугольников. В ней первые три слагаемые представляют собой произведения элементов, получаемые по левой схеме. Следующие три произведения получаются по правой схеме, их берут со знаком минус. Символически это записывается следующим образом, что облегчает запоминание:

диагонали)

Элементы a11 , a22 , a33 образуют главную диагональ определителя третьего порядка, а элементы a13 , a22 , a31 – его побочную диагональ. Определители можно

вычислять также путем разложения их по элементам какой-либо строки (столбца), например по элементам первой строки. Для этого введем понятие минора и алгебраического дополнения. Минором Мij , соответствующим элементу aij , на-

зывается определитель, полученный из данного определителя путем вычеркивания из него строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называется число, определяемое

равенством Aij = (−1)i+ j M ij . Тогда имеет место формула, дающая разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки:

5

Аналогично можно выполнить разложение по элементам любой другой строки или столбца.

Пример

Найти определители для матриц А и В:

2) вычислим определитель матрицы В двумя способами. По правилу треугольников:

Разложением по элементам первой строки:

6

b1

частей B = b2 .

...

bn

Система может иметь единственное решение, бесконечное множество решений или не иметь решений.

Пусть n = m, т. е. число уравнений равно числу неизвестных, тогда матрица А коэффициентов при неизвестных – квадратная. Ее определитель À = назы-

вается главным определителем системы. Имеет место утверждение: если главный определитель системы ≠ 0 , то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:

x1 = 1 , ...., xn = n ,

где i = Ai , а матрица Ai получается из матрицы А заменой i-го столбца на стол-

бец В правых частей. Напомним, что решением системы третьего порядка называется тройка чисел x10 , x20 ,x30 , при подстановке которых вместо неизвестных величин x1 , x2 , x3 , каждое из уравнений системы обращается в верное числовое равенство. Аналогично определяется решение системы n- порядка.

Пример

1.Показать, что система уравнений имеет единственное решение и найти его по формулам Крамера:

x1 − x2 + x3 = 3,2x1 + x2 + x3 =11,x1 + x2 + 2x3 = 8.

Решение

7