Konspekt_OTN

Предполагается, что показатели надежности всех элементов известны или могут быть рассчитаны как на основе параметрических, так и непараметрических моделей отказов. Элементы системы могут быть как восстанавливаемыми, так и невосстанавливаемыми. Если система восстанавливаемая, то в результате можно получить показатели готовности. Ниже, если специально будет не оговорено, рассматриваются системы с независимыми и полными отказами элементов.

Простейшей формой структурной схемы надежности является парал-

лельно - последовательная структура. На ней параллельно соединяются элементы, совместный отказ которых приводит к отказу системы. В последовательную цепочку соединяются такие элементы, отказ каждого из которых приводит к отказу объекта. Не всегда тип соединения по надежности совпадает с типом электрического (или механического) соединения. Например, рассмотрим гирлянду изоляторов. Электрически и механически элементы (изоляторы) такой системы (гирлянды) соединены последовательно. Если рассматриваются отказы типа "механический обрыв", то в этом случае соединение элементов (изоляторов) по надежности будет также последовательным. Ибо обрыв одного изолятора приводит к расцеплению (отказу) всей гирлянды (системы). Но если рассматривается в той же гирлянде отказ типа "пробой" изолятора, то соединение по надежности уже будет параллельным, т. к. пробой одного изолятора не приводит к отказу всей гирлянды.

К сожалению, не всегда удается условие работоспособности системы представить в виде простой параллельно - последовательной структуры. Иногда структура приобретает чрезвычайно громоздкий вид. В таких случаях используют либо логические функции, либо графы и ветвящиеся структуры, по которым составляются системы уравнений работоспособности.

10.2 Последовательное (по надежности) соединение

Последовательное соединение (Рис. 1.17) соответствует случаю, когда при отказе любого элемента отказывает вся система. Наработка до отказа такой системы равна наработке до отказа того элемента, у которого она оказалась минимальной.

TC min(Ti), для i 1, 2 ... n,

где n - число элементов в системе.

Пример для системы из трех элементов показан на рис. 1.17, б).

53

Вероятность безотказной работы (функция надежности невосстанавливаемой системы) равна произведению вероятностей безотказной работы элементов:

где Fi(t) - функция надежности i-го элемента.

Для элемента с отказами двух типов – короткое замыкание или обрыв, например вентилей, можно записать

F(t) = Fкз(t) F0(t),

где Fкз(t) – функция надежности по отсутствию короткого замыкания;

F0(t) – функция надежности по отсутствию обрыва.

Для восстанавливаемой системы показатели готовности имеют вид:

i 1

Последовательное (по надежности) соединение

54

Рис. 1.17

Для невосстанавливаемых систем можно записать

откуда следует, что интенсивность отказов системы:

где i(t) - интенсивность отказов i-го элемента.

По аналогии для восстанавливаемой системы параметр потока отказов:

где Ti - математическое ожидание наработки до отказа i-го элемента. Надежность системы с последовательным соединением зависит не

только от уровня надежности элементов, но и от их числа.

Зависимости вероятностей безотказной работы системы с последовательным соединением равнонадежных элементов для трех различных значений функций надежности каждого элемента показаны на рис. 1.17, в). Из рисунка можно сделать вывод, что надежность системы с последовательным соединением элементов можно увеличить за счет уменьшения числа последовательно соединенных элементов и за счет повышения надежности каждого из них. Очевидно, что с увеличением числа элементов вероятность безотказной работы уменьшается.

10.3 Параллельное (по надежности) соединение

Параллельное соединение (Рис. 1.18) соответствует случаю, когда система сохраняет работоспособность, пока работоспособен хотя бы один из к элементов, включенных в работу. Наработка до отказа такой системы равна максимальному из значений наработки до отказов элементов.

Параллельное (по надежности) соединение

56

безотказной работы элемента Fi при разном числе элементов k = 1, 2, 3, 4

Рис. 1.18

TC max(Ti), для i 1, 2 ... k,

Пример для системы из трех элементов показан на рис. 1.18, б). Вероятность отказа системы равна произведению вероятностей отказов

элементов.

Функция ненадежности системы:

57

i 1

Аналогичного вида формулы можно записать для показателей готовности восстанавливаемой системы.

В общем случае математическое ожидание наработки до отказа систе-

мы

Для системы из двух элементов с постоянными интенсивностями отка-

зов 1 и 2 можно записать

Для системы из к равнонадежных элементов с постоянной интенсивностью отказов

Для восстанавливаемой системы с равнонадежными элементами с постоянными параметрами потока отказов применима такая же формула.

Интенсивность отказов системы в общем виде

58

C(t) dQ(t) /dt . F(t)

Для системы из к равнонадежных элементов с постоянными интенсивностями отказов можно записать

Из полученной формулы можно сделать важный вывод о том, что интенсивность отказов системы с параллельным соединением зависит от наработки, даже если у всех элементов, входящих в систему, интенсивности отказов постоянны. Параллельное соединение элементов применяется для повышения надежности системы, однако, есть две причины затрудняющие достижение желаемого результата. Первая причина - это большие трудности, возникающие при проектировании систем с параллельным соединением элементов, особенно механического типа. Вторая причина заключается в существенно нелинейной зависимости вероятности безотказной работы системы от числа параллельно включенных элементов. Сказанное поясняет рис. 1.18, в). Чем больше увеличивается число параллельных цепей, тем медленнее растет вероятность безотказной работы. На рисунке показано, что после подключения четвертого параллельного элемента прирост надежности системы исключительно мал. Поэтому, увеличение числа параллельно включенных элементов может оказаться менее выгодным по сравнению с установкой более надежного элемента. Хотя и это понятие относительно. Если рассматривать не вероятность безотказной работы, а вероятность отказа, то выигрыш будет значительным. Например, если разница между значениями вероятности безотказной работы при разных числах параллельно включенных элементов составляет 0,99 и 0,9999 (не так уж много), то разница в вероятностях отказов составит 0,01 и 0,0001 - это 100 раз.

Лекция №11

11. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛОЖНЫХ СТРУКТУР

Не всегда условие работоспособности можно представить параллельно - последовательной структурой. В этом случае можно сложную структуру

59

заменить на эквивалентную ей последовательно - параллельную структуру. Для этого применяется преобразование "треугольник - звезда" и обратное. Метод заключается в том, что узел сложной конфигурации заменяется на узел другой, более простой конфигурации, но при этом характеристики нового узла должны быть такими, чтобы показатели надежности преобразованной цепи сохранились прежними.

Допустим, требуется заменить треугольник звездой (Рис. 1.20).

Преобразование "треугольник-звезда"

Вероятность безотказной работы цепи 1-2 (вероятность успешной передачи сигнала из точки 1 в точку 2) выразим поочередно через вероятности отказа элементов звезды и треугольника; для звезды

F1 2 (1 Q1) (1 Q2 ),

для треугольника

F1 2 1 Q12 Q132,

где Q132 - вероятность отказа цепи 1-3-2

Q132 1 (1 Q13) (1 Q23),

перепишем для треугольника

F1 2 1 Q12 1 (1 Q13) (1 Q23 ) .

Приравняем вероятности F1-2 для звезды и треугольника

(1 Q1)(1 Q2) 1 Q12 1 (1 Q13 )(1 Q23) .

60

После раскрытия скобок и группировки имеем

Q1 Q2 Q1 Q2 Q12 (Q23 Q31 Q23 Q31).

Аналогично можно вывести уравнения для двух других цепей

Q2 Q3 Q2 Q3 Q23(Q13 Q12 Q31 Q12 );

Q3 Q1 Q3 Q1 Q31(Q12 Q23 Q12 Q23).

Если пренебречь произведениями вида Qi Qj и Q12 Q31 Q23, то в результате решения системы уравнений можно записать:

Для преобразования звезды в треугольник

Q12 Q1 Q2/Q3 ;

Q31 Q1 Q3/Q2 .

Следует отметить, что полученные выражения приближенные, из-за неучета указанных произведений. Поэтому при некоторых сочетаниях исходных данных возможны значительные погрешности, например, вероят-

ность Qij может оказаться больше единицы, что противоречит здравому смыслу. В такой ситуации можно предложить два выхода - попытаться как-то иначе преобразовать систему, или использовать точные уравнения.

11.2 Расчет надежности сетей

Сеть состоит из узлов (подстанции, пункты параллельного соединения, элементы, через которые поток мощности может идти не менее чем в трех направлениях) и ветвей (ЛЭП воздушных или кабельных). При неработоспособных состояниях ветвей и узлов сигналы через них не проходят. Практический интерес представляет расчет надежности электроснабжения какого-либо

61

узла (потребителя). Сеть считается работоспособной (относительно i-го потребителя) при наличии связанности источника энергии с i-м потребителем. Под связанностью понимают существование путей передачи электроэнергии от источника к потребителю.

Сеть обычно описывают графом (не путать с графом состояний и переходов!), вершины которого соответствуют узлам сети, а ребра - линиям связи между смежными вершинами. Каждый узел, как и линия связи, может находиться в работоспособном или неработоспособном состоянии. В качестве исходной информации используются показатели надежности ребер и вершин графа, которые предполагаются известными.

Основная сложность расчетов заключается в многомерности задачи. Например, для системы электроснабжения, состоящей из 100 элементов чис-

ло возможных состояний достигает 2100–1.

Применение метода дифференциальных уравнений Колмогорова затруднено не только большим числом уравнений, но и сложностями составления графа состояний и переходов.

Поэтому при расчете надежностей сетей приходится принимать целый ряд допущений, которые упрощают расчеты и дают лишь приближенные значения показателей надежности. Рассмотрим два метода расчета надежности сетей.

11.3 Оценка надежности методом преобразованных сетей

Метод заключается в придании исходной сети такой конфигурации, для которой можно применить известные расчетные формулы. Причем, исходная сеть преобразуется дважды так, чтобы получить две сети с заведомо более высокой и заведомо более низкой надежностью. В результате расчетов надежности двух полученных сетей получают верхнюю и нижнюю границу интервала показателей надежности, внутри которых находится значение показателя надежности исходной цепи.

Суть преобразований исходной цепи состоит в поэтапном исключении из рассмотрения отдельных линий связи путем их закорачивания или разрыва. Правила выбора тех или иных линий связи для указанных процедур отсутствуют. При таких преобразованиях используется опыт и инженерная интуиция лица, выполняющего расчет надежности. Более опытные инженеры могут получить более узкие интервалы значений показателя надежности.

Пример:

62