Konspekt_OTN

t

но так бывает не всегда. В частности, в моделях описанных в пункте 1.2.3, предел плотности распределения наработки между отказами может быть не равен нулю.

Отсюда следует важный для практики расчетов вывод. Если рассматриваемый в конкретной задаче интервал наработки выбран достаточно далеко от момента начала эксплуатации объекта, то параметр потока отказов можно считать стационарным. Начальные и установившиеся значения параметра потока отказов для некоторых законов распределения наработки между отказами приведены в табл. 1.5.

Таблица 1.5

Начальные и установившиеся значения параметра потока отказов

Примечание: Для закона Гаусса используется усеченный вариант нормального распределения, причем m можно найти

где c - нормирующий множитель

Ф(x2) Ф(x1)

где x1 (t1 t)/ t; x2 (t2 t)/ t.

43

Для ординарных потоков без последействия можно определить вероят-

ность безотказной работы объекта на интервале (t1, t2)

При стационарном потоке отказов вероятность безотказной работы на интервале t:

Математическое ожидание наработки на отказ восстанавливаемого объекта определяется как отношение общей наработки к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки. Если существует

9.2. Объекты с конечным временем восстановления

Показатели надежности объектов с конечным временем восстановления вычисляются только в календарном времени. Как следует из рис. 1.13, б), процесс эксплуатации таких объектов состоит из последовательных промежутков времени работы и восстановления. Пусть случайная величина времени наработки между отказами имеет плотность распределения q(t), а времени восстановления - g(t). Пусть также времена наработки между отказами и восстановлениями являются независимыми случайными величинами. Плотность распределения времени между очередными восстановлениями определяются интегралом свертки

где t - случайная величина времени наработки между очередными восстановлениями;

44

ti t0i tBi,

где t0i - наработка объекта между i-1-м и i-м отказами;

tBi - время восстановления после i-го отказа.

Значок "к" означает, что показатель относится к объектам с конечным временем восстановления.

По аналогии с объектами с нулевым временем восстановления, параметр потока событий будет

t

Чтобы не смешивать величину K(t) с параметром потока отказов объектов с нулевым временем восстановления, применяют термин "параметр потока восстановлений".

Для объектов с конечным временем восстановления большое значение имеет свойство готовности - способности находиться в работоспособном и готовом к применению состоянии. Существует несколько показателей готовности, рассмотрим их.

Функцией готовности называется зависимость от времени вероятности застать объект работоспособным в заданный момент. Другими словами, функция готовности это вероятность того, что в заданный момент времени объект будет работоспособным. Объект может находиться в момент времени t в работоспособном состоянии при осуществлении одного из двух несовместных событий:

1)объект в течение времени от (0, t) не отказал;

2)объект отказывал, восстанавливался и после последнего восстановления больше не отказывал.

Функция готовности Г(t) равна сумме вероятностей появления указанных событий. Вероятность появления первого события равна вероятности безотказной работы F(t) объекта в течение промежутка времени (0, t). Для определения вероятности появления второго события рассмотрим малый ин-

тервал ( , + d ), предшествующий t. Вероятность того, что на этом интервале закончится последнее, n-е восстановление и объект больше не откажет за оставшееся время (t – ), равна

qкn( )d F(t ),

45

где qкn( ) - плотность распределения времени до появления n-го восста- n

новления (это время равно ti ).

i 1

Суммируя по всем n = 1, 2 ... , получаем

qкn( ) d F(t ) K( ) d F(t ),

n 1

где K( ) qкn( )- параметр потока восстановлений. n=1

Интегрируя по от 0 до t, находим вероятность второго события

t

F(t ) K( )d .

0

Таким образом, функция готовности

t

Найдем предел функции готовности при t . Для этого воспользуемся узловой теоремой восстановления: если В(t) - неотрицательная, не возрастающая функция, определенная при всех t и В(t) < , то

где H(U) - функция восстановления (математическое ожидание числа отказов на интервале (0, U));

TK - математическое ожидание времени между событиями потока. Математическое ожидание случайной величины времени между собы-

тиями потока

TK T0 TB.

Предел функции верятности безотказной работы

lim F(t) 0.

t

46

Предел параметра потока восстановлений

С учетом этого получим

Функция готовности при t стремится к установившемуся значе-

нию, называемому коэффициентом готовности kГ. Коэффициент готовно-

сти определяет вероятность того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается. Коэффициент готовности можно понимать как долю времени, в течение которого объект работоспособен от общего времени эксплуатации объекта. Важно, что значение коэффициента готовности не зависит от законов распределения случайных величин наработки между отказами и времени восстановления.

Аналогично выводится уравнение для функции оперативной готовности Г(t, t + x). Функция оперативной готовности определяет вероятность того, что объект не только окажется работоспособен в момент времени t, но и проработает безотказно на заданном интервале (t, t + x).

где x - оперативное время.

Применение функции оперативной готовности как показателя надежности можно показать на примере устройств защиты и автоматики. Такие устройства имеют дежурный режим работы и должны не только оказаться работоспособными в момент повреждения или короткого замыкания, но и проработать безотказно до его устранения. Пределом функции оперативной готовности при t является коэффициент оперативной готовности.

47

В общем случае, для нахождения значений функций готовности, оперативной готовности и коэффициента оперативной готовности может потребоваться численное интегрирование. Для случая, когда время между отказами и время восстановления имеют экспоненциальные распределения получено:

где 0 - параметр распределения наработки между отказами;

B - параметр распределения времени восстановления.

Математическое ожидание времени безотказной работы (наработки между отказами)

Математическое ожидание времени восстановления

Математическое ожидание времени между двумя событиями потока

(отказами или восстановлениями).

48

Рис. 1.16 49

9.3. Оценки показателей надежности восстанавливаемых объектов

Оценка параметра потока событий (отказов или восстановлений) при условии, что все отказавшие объекты заменяются исправными или восстанавливаются, может быть найдена по формуле:

N t

где n(t, t + t) - число объектов, отказавших на интервале (t, t + t); N - общее число объектов;

t - продолжительность одного интервала наблюдений.

Оценка математического ожидания наработки между отказами, если наблюдение ведется за одним объектом:

где n - число отказов объекта за весь период наблюдений;

t0i - наработка объекта между i-1-м и i-м отказами.

Если испытываются несколько объектов, то наработка на отказ вычисляется так:

где €Tj - оценка математического ожидания наработки между отказами для

j-го объекта.

Математическое ожидание времени восстановления определяется по

тем же формулам, только вместо t0i подставляется время восстановления tBi. Оценка коэффициента готовности при испытаниях одного объекта

t0i tBi

i1 i 1

50

где t0i - наработка между i-1-м и i-м отказами;

tBi - время восстановления после i-го отказа; n - число отказов за рассматриваемый период.

Оценка коэффициента готовности при испытаниях нескольких однотипных объектов

n

где t 0i t0j - суммарное время пребывания i-го объекта в работоспо- j 1

собном состоянии;

Тэкс - продолжительность эксплуатации, состоящая из последовательно чередующихся интервалов времени работы и восстановления.

Для восстанавливаемых объектов иногда оценивается еще один показатель, называемый коэффициентом технического использования. Он рассчитывается по тем же формулам, что и оценка коэффициента готовности, но при этом учитываются все времена перерывов в работе, вызванные как отказами, так и другими остановками.

Лекция №10

10. РАСЧЕТ СТРУКТУРНОЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ

10.1 Особенности расчета надежности систем

Пусть объект (система) состоит из отдельных элементов, пусть также известны показатели надежности каждого элемента. Тогда возникает задача расчета показателей надежности системы по известным показателям надежности элементов. Как отмечалось выше, здесь возможны два подхода - расчеты структурной и функциональной надежности систем. Деление по подходам чисто условное и отличается лишь количеством допущений и, следовательно, степенью сложности расчетов. При расчете функциональной надежности влияние надежности каждого элемента на систему рассматривается с учетом выполняемых им функций. Поэтому отказ некоторых элементов может приводить не к полному, а лишь к частичным отказам системы. В состояниях ча-

51

стичных отказов система продолжает работать с пониженными показателями качества функционирования. При расчете структурной надежности отказ любого элемента, если он хоть как-то влияет на пропускную способность системы, считается отказом всей системы.

Дадим определение пропускной способности объекта. Любой технический объект можно рассматривать как черный ящик, имеющий вход и выход. В общем случае, если объект исправен, то при подаче сигнала на вход, на выходе также обнаруживается сигнал. Например, устройство электроснабжения - тяговая подстанция. Сигнал - в данном случае это электрическая энергия. Если подстанция исправна, то при подаче напряжения на шины входного распредустройства, на шинах выходных распредустройств также появится напряжение. Если все элементы подстанции исправны, то количество электроэнергии, которое может она преобразовать, будет соответствовать паспортным (проектным) значениям. Соответствие паспортным значениям подразумевает соблюдение всех показателей качества функционирования. Теперь, если откажет система регулирования напряжения, то часть показателей качества функционирования будет нарушена. Будет нарушена частично и пропускная способность объекта "тяговая подстанция". Т. е. пропускная способность системы зависит от состояния элементов. При расчете функциональной надежности это событие классифицируется как частичный отказ, при расчете структурной надежности - отказ всей системы. Разную пропускную способность могут иметь и отдельные элементы. Так, например, нормальное электроснабжение потребителей может быть обеспечено только при параллельной работе двух трансформаторов. Отказ любого из них приведет к перегрузке оставшегося. Перегрузка потребует либо снизить нагрузки, либо ограничить время питания потребителей. В этом случае пропускная способность одного элемента (трансформатора) меньше единицы.

При расчете структурной надежности пропускная способность каждого элемента считается равной единице.

Для расчета структурной надежности систем необходимо правильно составить структурную схему надежности. Под структурной схемой надежности понимается наглядное (графическое) представление условий, при которых работает или не работает исследуемая система. Для составления схемы анализируют процесс функционирования системы, изучают функциональные связи между элементами, виды отказов. Такое исследование требует высокой инженерной и математической эрудиции. Степень дробления системы на элементы зависит от конкретной задачи расчетов. Например, преобразовательный агрегат может быть разделен на выпрямительный шкаф, трансформатор, шкаф RC и разрядники или до отдельных вентилей. Важно при составлении структурной схемы надежности не забывать о соединениях (особенно электрических) между элементами и включать их в схему в качестве отдельных элементов.

52