Konspekt_OTN

при r (t) x < . Вид уравнения совпадает с видом выражения для модели отказа "нагрузка и прочность - случайные величины".

Для модели на рис. 1.3, б, следует вместо (t) подставлять функцию усталости вида

где н(t) - неслучайная величина математического ожидания процесса нагрузки.

В случае убывающего математического ожидания нагрузки (Рис. 1.3, в) должно выполняться условие

lim t 0,

t н t

что соответствует убыванию математического ожидания нагрузки с меньшей скоростью по сравнению с математическим ожиданием прочности. Функция

усталости 1(t) находится аналогично.

В общем случае не всегда удается выразить зависимость вероятности отказа от наработки в элементарных функциях и может потребоваться численное интегрирование.

Лекция №5

5. МОДЕЛЬ ОТКАЗА: ПАРАМЕТР - ПОЛЕ ДОПУСКА

При эксплуатации объектов часто имеется возможность контроля параметров и их работоспособности. Поэтому возникает необходимость установления аналитической связи характеристик, описывающих изменение параметров элементов, с показателями надежности. Такую связь помогает установить модель отказа параметр - поле допуска, представленная на рис 1.5. Случайный процесс изменения параметра представлен сечениями, в которых располагаются кривые плотности распределения параметра в определенные моменты времени f(x, t). Различают модели с одно - и двухсторонним полем допуска. Границы поля допуска могут задаваться как неслучайной

величиной xдоп, так и случайными величинами f(xдоп), а также случайными

23

процессами f(t, xдоп) (стационарными и нестационарными). Наибольший интерес для практики представляет случай, когда изменение параметра описывается нестационарным случайным процессом, а граница поля допуска является неслучайной величиной (Рис. 1.5). В этом случае граница поля допуска - предельная величина параметра, при которой объект становится неработоспособным.

Модель отказа параметр - поле допуска

x(t)

xдоп

Q(xдоп, t2) (t)

Рис. 1.5

Допущения:

закон распределения параметра f(x, t) во времени не изменяется;

реализации xi(t) и моментные функции параметров плотности распределения f(x, t) во времени изменяются монотонно;

в начальный момент времени значения параметров находятся в границах поля допуска.

Плотность вероятности того, что за время dt, включающее момент t, значение параметра выйдет за границы поля допуска, составляет:

где Q(x, t) - вероятность отказа в сечении процесса на момент времени t. Интегральная функция распределения времени до отказа (функция не-

надежности)

Моментные функции параметров распределения f(x, t) аппроксимируются зависимостями

где (t) - моментная функция некоторого параметра распределения f(t); a, b, c - коэффициенты регрессий.

Следует отметить, что такая модель не в полной мере отражает случайный процесс изменения параметра. Не учитывается зависимость между значениями случайной функции в различные моменты времени. Поэтому не всегда полученная функция Q(t) удовлетворяет условию

lim Q t 1. t

Нахождение аналитической зависимости вероятности отказа от наработки требует интегрирования, что не всегда удается выполнить в элементарных функциях. В общем случае может потребоваться численное интегрирование.

Параметр имеет распределение Гаусса. Вероятность отказа (функция ненадежности)

где xдоп - граница поля допуска;

(t) и (t) - соответственно моментные функции математического ожидания и среднего квадратического отклонения;

t0 - начальный момент времени;

Ф(x) - функция Лапласа –0,5 Ф(x) 0,5 при – < x <

где a и a - соответственно свободные члены линейных моментных функций математического ожидания и среднего квадратического отклонения.

Плотность распределения наработки до отказа

Параметр имеет распределение Релея. Вероятность отказа (функция ненадежности)

Если моментная функция имеет вид t a b t, то предел равен

Плотность распределения наработки до отказа

26

28

Применив преобразование Лапласа (прил. 5) к системе уравнений при указанных начальных условиях получим:

для i 0 … n – 1,

где S - параметр преобразования Лапласа (в [1] Приложении 5 "S" обозначено как "P");

Ki = i + i.

Функция надежности - это вероятность застать объект в заданный момент времени t в любом из работоспособных состояний 0 ... n – 1

В результате получим

i 0

где

29

Лекция №7

7. МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРА В ВИДЕ ЦЕПИ МАРКОВА

В приведенной выше модели процесс квантовался по уровню. Операцию квантования процесса можно провести и по наработке. В этом случае будет получен процесс с дискретными состояниями и дискретным временем. Шаг процесса по времени будет равен ширине интервала квантования. При выполнении всех необходимых условий (стационарности и т. д. - см. прил. 4) такой процесс можно аппроксимировать цепью Маркова.

Если исходный процесс не монотонный, т. е. случайные реализации изменения параметра могут и возрастать и убывать, то на графе состояний марковской цепи возможны переходы не только от состояния с меньшим номером к состоянию с большим номером, но и наоборот. Если исходный процесс имеет случайные блуждания одновременно с достаточно большой шириной интервала квантования по наработке, то становятся возможными переходы не только между состояниями, номера которых отличаются на единицу, но и между любыми состояниями. Процессы разрегулировки зигзагов и уклонов контактных проводов как раз хорошо иллюстрируют такой случай. Такое же поведение марковской цепи возможно при скачкообразных изменениях параметра.

Марковская цепь при немонотонном изменении параметра исходного процесса может не иметь поглощающих состояний. Одно или несколько состояний марковской цепи могут быть связанны с состоянием отказа или с предельным состоянием объекта. Используя стандартный математический аппарат марковских цепей можно найти вероятностные показатели нахождения процесса в указанных состояниях и их зависимость от наработки.

Расчет показателей надежности трубчатого разрядника

0

0 1

а) граф состояний и переходов

31

32