математика ч 2

212.

y¢ = xy 2 + 2 ,

y(0) = 2 .

217.

y¢ = ye x +1,

y(0) = 2 .

213.

y¢ = e x + xy ,

y(0) = 1.

218.

y¢ = y 2 + x3 ,

y(0) = 1.

214.

y¢ = y 2 + x2 ,

y(0) = 1.

219.

y¢ = xy + y 2 ,

y(0) = 1.

215.

y¢ = e2 x + x2 y ,

y(0) = 1.

220.

y¢ = e3 x + x - y 2 ,

y(0) = 2 .

Пример. Найти область D определения функции

1

. Построить область D .

z =

9 - x2 - y2

+

y - x2

Решение. Функция z

определена при

ì

- x

2

- y

2

³ 0;

ì

2

+ y

2

£ 9;

D :

ï9

Û

ïx

í

2

í

2

ï

> 0

ï

.

îy - x

îy > x

Строим границы этой области.

Уравнением x2 + y 2 = 9 описывается окружность с центром в начале ко-

ординат и радиусом 3; уравнение

y = x2 задает параболу с вершиной в начале

Для функции двух переменных введем понятие предела.

Окрестностью точки P0 (x0 ; y0 ) называется внутренность

круга с цен-

тром в этой точке.

Число А называется пределом функции z = f (x; y) = f (P) при P ® P0 , ес-

ли для любого положительного числаe > 0

найдется такая малая

окрестность

точки P0 (x0 ; y0 ) , что для любой точки P (x

; y )

из этой окрестности(за ис-

ключением,

может

быть, точки

P0 (x0 ; y0 ) )

выполняется

неравенство

f (P) - A

< e . При этом пишут: lim

f (P) = A или

lim f (x, y) = A .

P®P0

x®x0

y®y0

Разность

f (x0 + Dx; y0 ) - f (x0 ; y0 ) = Dx z называется частным прираще-

¶z

Dx z

¶z

D y z

=

lim

,

= lim

. Используются также обозначения z¢x , z¢y , fx¢, f y¢ .

¶x

Dx®0 Dx ¶y

Dy®0 Dy

Полным

приращение

функции z = f (x; y)

в точке M (x0 , y0 )

называется

разность Dz = f (x0 + Dx; y0 + Dy) - f (x0 ; y0 ) .

Функция

z = f (x; y) называется

дифференцируемой

в

точкеP (x

0

; y

0

) ,

0

если

ее

полное

приращение

в этой

точке

может

быть

представлено

в виде

Dz = ADx + BDy + a(Dx, Dy),

где

А и В –

не зависят от ∆х и ∆у, а

α(∆х,∆у)

–

бесконечно малая, для которой

lim

a(Dx, Dy)

= 0 .

Dx®0,

Dx

2

+ Dy

2

Dy®0

Главная, линейная относительно ∆х и ∆у, часть приращения функции назы-

вается

полным

дифференциалом

этой

функции

и

обозначаетсяdz:

dz = ADx + BDy . Можно доказать, что dz

=

¶z

dx

+

¶z

dy .

Рассмотрим примеры.

¶x

¶y

Пример

1.

Найти

частные

производныеz¢x

и

z¢y

для

функции

z = ln(x - y 2 ) .

дадим ей значение, например,

y = 3).

Тогда

z¢x = (ln( x - y2 ))x¢ =

1

× (x - y

2 )¢x =

1

(1 - 0)

=

1

.

x - y2

x - y2

x - y2

Для нахождения z¢y

зафиксируем переменную x . Имеем:

z¢y = (ln( x - y2 )) ¢

=

1

× (x - y2 )¢y =

1

× (0 - 2 y) =

1

× (-2 y) .

y

x - y2

x - y2

x - y2

Пример 2.

Найти

частные

производныеz¢x

и z¢y

для функции

z = x × sin( x + y) .

Решение. Пусть y = const , тогда

z¢x = (x ×sin(x + y))¢x

=(производная=

произведения)

x¢×sin(x + y) +

+ x × (sin(x + y))¢x

= 1×sin(x + y) + x × cos(x + y) ×(x + y)¢x

=

= sin( x + y) + x × cos(x + y)(1 + 0) = sin( x + y) + x × cos(x + y) .

Пусть x = const , тогда

z¢y = (x ×sin(x + y))¢y

(постоянную

x

вынесем за знак производной= )

ной, потом по другой переменной. Причем справедливо равенство

¢¢

¢¢

zxy

= z yx .

Пример 3. Найти

частные

¢¢

¢¢

¢¢

для

функции

производные zxx

, z yy

и zxy

z = xy + ln(x - y) .

Решение.

Первая производная по x равна

z¢x = (y=

const= )

y +

1

,

x - y

z¢¢ =

(=y=

const )

( y +

= 1

)¢

0 -

=

1

-

1

.

(x - y)2

xx

x - y x

(x - y)2

1

Первая производная по y равна z¢y

= (x=

const= )

x -

,

x - y

тогда

¢¢

(x

-1× (-1)

-1

.

=

=

-

=

=

zyy

const )

0

(x

- y)2

(x - y)2

¢¢

¢ ¢

( y +

1

¢

1

.

Найдем смешанную производную zxy

= (zx ) y =

x - y

) y =1 +

(x - y)2

Если функция двух переменных z = f (x, y) задана неявно

F (x; y; z) = 0 ,

то ее частные производные по переменным x,

y находятся по формулам:

F ¢

Fy¢

z¢x = -

x

;

z¢y = -

.

Fz¢

Fz¢

dz = z¢x × dx + z¢y × dy ,

(2.1)

мой к поверхности в некоторой

точке. Пусть поверхность задана уравнением

F (x; y; z) = 0 , функция F (x; y; z)

дифференцируема по всем переменным. То-

Уравнение касательной плоскости к поверхности F (x; y; z) = 0 в точке

M (x0

; y0 ; z0 ) имеет вид

Fx¢(x0 ; y0 ) × (x - x0 ) + Fy¢(x0 ; y0 ) × ( y - y0 ) + Fz¢(x0 ; y0 ) × (z - z0 ) = 0 .

(2.2)

Уравнения нормальной

прямой к

поверхностиF (x; y; z) = 0 в

точке

M (x0

; y0 ; z0 ) имеют вид

x - x0

=

y - y0

=

z - z0

.

(2.3)

Fx¢(x0 ; y0 )

Fy¢(x0 ; y0 )

Fz¢(x0 ; y0 )

x - 0

=

y - 0

=

z + 2

– уравнения нормальной прямой.

0

0

- 4

Точка P0 (x0 ; y0 )

называется точкой

локального

максимума

функции

z = f (x; y) , а

значение функции в ней z0 = f (x0 ; y0 ) – максимумом,

если су-

ществует такая окрестность этой точки, что для всех точек P0 (x0 ; y0 )

из этой

окрестности,

отличных

от P0 (x0 ; y0 ) ,

выполняется

неравенство

f (x, y) < f (x0 , y0 ) .

называется точкой

локального

минимума

функции

Точка

P0 (x0 ; y0 )

z = f (x; y) ,

а

значение функции в ней z0 = f (x0 ; y0 ) – минимумом,

если су-

ществует такая окрестность этой точки, что для всех точек P (x ; y

)

из этой

окрестности,

отличных

от P0 (x0 ; y0 ) ,

выполняется

неравенство

f (x, y) > f (x0 , y0 ) .

¶f

¶f

Точка, в которой обе частные производные равны нулю, т. е.

= 0,

= 0 ,

¶x

¶y

ìz¢x

= 0

систему двух уравнений: í

. Иными словами, ищем стацио-

îz¢y

= 0

A =

¢¢

(x0 ; y0 ),

B =

¢¢

(x0 ; y0 ),

C =

¢¢

(x0 ; y0 ) .

f xx

f xy

f yy

4. Составим определитель

D =

A

B

= AC - B2 .

B

C

Тогда:

а)

если D > 0 ,

то функция z = f (x, y) в точке M (x0 ; y0 ) имеет

экстремум, причем при А < 0 – максимум, при А > 0 – минимум;

б) если D < 0 ,

то функция z = f (x, y) в точке M (x0 ; y0 ) экс-

тремума не имеет;

в)

если D = 0 , то в точке M (x0 ; y0 ) экстремум может быть, а

может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Пример.

Найти экстремумы функции z = x3 + y3 - 3xy .

Находим частные производные данной функции:

z¢x = 3x2 - 3y, z¢y = 3y2 - 3x .

Найдем стационарные точки. Получим

¢

ì

2

-

3y = 0;

ìz x = 0;

ï3x

(0;0) и M

(1;1) .

í

z¢y = 0

Û í

2

Þ M

1

2

î

ï

- 3x = 0

3y

î

¢¢

= (3x

2

¢

¢¢

= (3y

2

¢

¢¢

= (3x

2

¢

= -3 .

zxx

- 3y)x

= 6x, z yy

- 3x) y

= 6 y, zxy

- 3y) y

¢¢

(M

1 ) = 6 × 0 = 0,

¢¢

(M1 ) = -3,

¢¢

(M1 ) = 6 × 0

= 0 .

A = zxx

B = zxy

C = z yy

Составим

определитель D =

A

B

=

0

- 3

= -9 . Так как D < 0 , то в точке

B

C

- 3

0

¢¢

(M 2 )

= 6 ×1 = 6,

¢¢

¢¢

A = zxx

B = zxy (M 2 ) = -3,

C = z yy (M 2 ) = 6 ×1 = 6 .

Тогда D =

A

B

=

6

- 3

= 27 . Поскольку D = 27 > 0 и A = 6 > 0 , то функция

B

C

- 3

6

имеет

в точке M 2 (1;1) локальный

минимум. Подставим координаты точки

функций U (x, y, z) в точке

M (x, y, z) , называется градиентом функции U и

uuuuuur

ì

¶U

¶U

¶U

ü

обозначается gradU = í

;

;

ý.

¶y

¶z

î

¶x

þ

численных в рассматриваемой точке M (x0 ; y0 ) :

uuuuuuur

r

r

uuuuuuur

(z¢x (M 0 )2 + (z¢y (M 0 ))2 .

grad(z)

=

Пример.

Для функции z = xy 2 - 2x найти градиент в точке M (1;2) .

Решение.

Найдем частные производной данной функции

z¢x = (xy2 - 2x)¢x = y2 - 2 ,

z¢y = (xy2 - 2x)¢y = 2xy .

Вычислим значения частных производных в точке M :

z¢x (M ) = 22 - 2 = 2 ,

z¢y (M ) = 2 ×1× 2 = 4 .

Согласно формуле градиент данной функции в точке M равен

uuuuuuur

r

r

uuuuuuur

grad(z) = 2 ×i

+ 4 × j

или grad(z) ={2;4}.

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

1.

Основные понятия

Пусть в

областиD

плоскости Oxy задана

непрерывная

функция

z = f (x; y) . Разобьем

область D на n малых

площадок Dsi (рис. 1),

причем

n

åDsi равна площади

области D. В каждой

площадке

выберем произвольную

i =1

и найдем значение функции z в ней: zi = f (xi ; yi ) .

точку Pi (xi ; yi )

n

Составим

интегральную сумму вида å f (xi ; yi )Dsi . Если существует

i =1

Таким образом, òò f (x, y)ds = lim å f (xi ; yi )Dsi .

D

n®¥ i =1