Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика ч 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

457.66 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Признак сравнения 2

Пусть даны два знакоположительных ряда åun и åvn .

n=1

Если существует

предел lim

= k ¹ 0 , то из сходимости

ряда åvn

следует

n®¥ vn

n=1

сходимость ряда åun . И,

наоборот, из расходимости ряда åun следует рас-

n=1

ходимость ряда åvn . То есть ряды åun ,

åvn сходятся или расходятся одно-

n=1

временно.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд å

n=1 3

n +1 + 2

Решение. В качестве эталонного ряда рассмотрим рядvn

= å

, кото-

3 n

как k = 1 / 3 .

n=1

рый

расходится, так

Рассмотрим

предел

отношения

lim

= lim

= 1

¹ 0 . Следовательно, по

признаку

сравнения2 ис-

n®¥ vn

n®¥ 3 n +1 + 2

ходный ряд тоже будет расходиться.

Рассмотрим признак, который применяется к исследованию преимущественно числовых рядов, общий член которых содержит выражения вида an или

¥	2	n	¥	2n +1
n!. Например, å	2		, å	2n +1	и т. д.
n!. Например, å			, å		и т. д.
n=1 n + 2n2			n=1	(n - 2)!
Признак Даламбера. Пусть дан знакоположительный ряд
			¥
			åun = u1 + u2 + u3 +K+ un +K
			n=1

и существует конечный или бесконечный предел

lim un+1 = k .

n®¥ un

Тогда ряд сходится при k < 1 и расходится при k > 1. При k =1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.

				¥		2	n
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд å						2		.
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд å								.
					n =1 1 - n2
Решение. Запишем un =	2n	,	un +1	=		2n +1			.
Решение. Запишем un =	1 - n2	,	un +1	=					.
	1 - n2			1 - (n +1)2

Находим предел k =

lim

n +1

= lim

2n +1

= lim

2n × 2 × (1

- n2 )

n®¥ un

n ®¥ 1 - (n + 1)2

1 - n2

n®¥ 2n (1 - (n

+1))2

= lim

2(1 - n2 )

= 2

× lim

1 - n2

¥ü

1/ n2 -1

= í

ý = 2 × lim

= 2 ×1 = 2 .

- (n +1)2

- 2n - n2

n®¥ 1

n®¥

¥þ

n®¥

- 2 / n -1

Так как k = 2 > 1, то по признаку Даламбера ряд расходится.

n -1

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд å

n=1

(n +1)!

Решение. Предварительно сделаем замечание.

Замечание. Факториалом числа n называется произведение всех чисел от

1 до n и записывается n!= 1× 2 ×3 ×K× n . Причем (n +1)!= n!(n +1) .

В этом примере un

n -1

un +1 =

n +1 -1

(n +1)!

(n +1 +1)! (n

+ 2)!

Находим предел k = lim

un +1

= lim

n -1 +1

n -1

= lim

n × (n +1)!

(n + 1)!

n ®¥ un

n ®¥ (n +1 +1)!

n®¥ (n + 2)!(n -1)

lim

n × (n +1)!

= lim

lim

1/ n

ì0

= 0 .

n®¥ (n

+1)!×(n + 2)(n -1)

n®¥ (n + 2) × (n -1)

n®¥ (1 + 1/ n - 2 / n2 )

î1

Итак, k = 0 < 1, следовательно, по признаку Даламбера исходный ряд сходится.

Замечание. Кроме знакоположительных существуют еще знакопеременные ряды. В данном пособии мы приведем только общие понятия знакопеременных рядов, без примеров.

Ряд вида

- u

+ u

- u

+ (-1)n+1 u

(2.1)

+ ... = å(-1)n+1 u

n=1

где un > 0 , называется знакочередующимся рядом.

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (2.1) сходится, если выпол-

няются два условия:

1. Последовательность абсолютных величин ряда монотонно убывает, т. е.

u1 > u2 > u3 >K > un >K.

lim un = 0 .

2. Общий член ряда стремится к нулю:

n®¥

При этом сумма S

ряда (2.1) удовлетворяет неравенствам 0 < S < u1.

	¥
Знакочередующийся	ряд å(-1)n+1 u n	называется абсолютно сходящим-
	n=1
ся, если ряд, составленный из модулей		его членов, сходится. Знакочередую-
¥
щийся ряд å(-1)n+1 u n	называется условно сходящимся, если сам он сходит-
n=1

ся, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

3. Функциональные ряды

Ряд u1(x) + u2 (x) +...+ un (x) +... = åun (x) , членами которого являются

n=1

функции аргумента x , определенные на некотором множествеD, называется

функциональным рядом.

Если в этот ряд подставлять определенные значения x0 Î D , то будут по-

лучаться различные числовые ряды.

Значение x0 , при подстановке которого получается сходящийся числовой

ряд, называется точкой сходимости функционального ряда.

Если при x = x0 ряд расходится, то точка x0 называется точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность точек сходимости функционального ряданазывается его

областью сходимости.

Из всех функциональных рядов мы будем рассматривать только ряды, членами которых являются степенные функции аргумента x .

Степенным рядом называется ряд вида

a	+ a (x - a) + a		(x - a)2 + a (x - a)3 + ... + a (x - a)n + ... =			¥
a	+ a (x - a) + a	2	(x - a)2 + a (x - a)3 + ... + a (x - a)n + ... =			å a (x - a)n
0	1	2		3	n	n
Здесь а и a0 , a1 ,..., an ,...– некоторые числа.						n=0
Здесь а и a0 , a1 ,..., an ,...– некоторые числа.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при x = x0 ¹ 0 , то он схо-
дится	абсолютно	при		всех значенияхx ,	удовлетворяющих	неравенству

x < x0 .

Следствие. Если ряд расходится при x = x0 , то он расходится при всех x ,

удовлетворяющих неравенству x > x0 .

Если x0 таково, что для всех x , удовлетворяющих неравенству x < x0 ,

ряд сходится, а для всех x , удовлетворяющих неравенству

, ряд расхо-

дится, то интервал (-

;

) будем называтьинтервалом

сходимости сте-

пенного ряда. Положим R = x0 . Тогда число R называется радиусом сходимости и определяется по формуле

R = lim

(3.1)

an+1

n®¥

Графически это можно представить так:

Ряд расходится

Ряд сходится

Ряд расходится

- R

(x -1)

Пример 1. Найти интервал сходимости ряда

n=1

Решение. В этом степенном ряде коэффициенты вычисляются согласно

общему

члену

an =

. По

формуле (3.1)

нужно вычислить предел

R = lim

= lim

1×3n+1

= 3. Определим интервал сходимости ряда:

3n ×1

an +1

n®¥

- 3 < x -1 < 3

- 2 < x < 4 . Итак, ряд сходится только при - 2 < x < 4 .

(x + 2)

Пример 2. Найти интервал сходимости ряда å

n=1

3n-1 × n

Решение. Сначала найдем радиус сходимости ряда, аналогично тому, как

это сделано в предыдущем примере. Здесь an =

. Получим

(n +1) × 3n

3n -1 × n

R = lim

= lim

= 3 × lim

n +1

= 3 ×1 = 3.

an+1

3n-1 × n

n®¥

n®¥ n

Следовательно, ряд сходится при - 3 < x + 2 < 3 , или - 5 < x < 1.

Замечание. Чтобы найти область сходимости степенного ряда нужно:

1)определить его радиус сходимости по формуле (3.1);

2)исследовать сходимость этого ряда на концах интервала. Для этого нужно подставить сначала левое значение радиуса в -ис ходный ряд, а потом – правое. Полученные ряды являются числовыми;

3)исследовать полученные числовые ряды на сходимость.

4.Применение рядов в приближённых вычислениях

Вматематике существует определенный круг задач, для решения которых сложно или невозможно применить стандартные методы решения. Например,

существуют «неберущиеся» интегралы, сложные дифференциальные уравнения и т. д. В таких ситуациях нашли своё применение числовые и функциональные ряды, которые широко применяют в приближённых вычислениях определён-

ных интегралов, а также при решении дифференциальных уравнений.

В этом разделе рассмотрим некоторые примеры применения рядов.

Ряд вида

f (x0 ) +

f ¢(x0 )

- x0 ) +

f ¢¢(x0 )

(x - x0 )

+ ... +

n (x0 )

(x - x0 )

+ ...

называется рядом Тейлора для функции

f (x) .

При x0 = 0 мы получим ряд Маклорена:

¢¢

(0)

f (0) +

f (0)

x +

f (0)

+ ...

Следует отметить, что ряд Тейлора (как видно, это степенной ряд) можно по-

строить для любой бесконечно дифференцируемой функции, но ряд необяза-

тельно будет сходящимся.

Для применения рядов Тейлора и Маклорена в приближённых вычисле-

ниях используются следующие стандартные разложения элементарных функ-

ций:

1 +

x Î(-¥;+¥) ;

+K+

+K ,

cos x = 1 -

+K+ (-1)

x2n

x Î(-¥;+¥) ;

+K,

(2n)!

sin x = x -

+K+ (-1)

2n+1

x Î(-¥;+¥) ;

+K,

(2n +1)!

ln(1 + x) = x -

+K+ (-1)

xn+1

x Î(-1;1] ;

+K,

n +1

arctg x = x -

+ K + (-1)

n x2n +1

x Î[-1;1].

+ K,

2n +1

Справа указана область сходимости каждого ряда.

Пользуясь этими разложениями, можно записывать разложения для более сложных функций. Например:

1-x

1 - x

(1 - x)2

- x)n

= 1 +

+K+

+K;

cos x2 = 1 -

(x2 )2

(x2 )4

-K+ (-1)n

(x2 )2n

+K =

(2n)!

= 1 -

-K+ (-1)

n x4n

+K. .

(2n)!

Приближенное вычисление интегралов с помощью степенных рядов

Для приближенного вычисления определенного интеграла ò f (x)dx с за-

данной точностью, нужно разложить подынтегральную функцию y = f (x) в

степенной ряд, пользуясь стандартными разложениями элементарных функций

в ряд Маклорена. Если интервал [a;b]							лежит внутри области сходимости ряда,
то можно воспользоваться почленным интегрированием этого ряда:
			b				¥ b
			ò f (x)dx = å ò ai × xi dx .
			a				i =1a
		0.2							2
Пример.	Вычислить интеграл ò						x × e-x			dx с точностью до 0,001.
		0
Решение.	Пользуясь разложением функции f ( x) = e x в ряд Маклорена,
получим:			x 2		x4			x2n
	e- x 2	=1 -		+		-K +			+ K, x Î(-¥;¥) .
								n!
		1! 2!

Подставим в интеграл:

0,2	-x	2	0,2				x	4				0,2							x			5
ò x × e			dx = ò	x × (1 - x2 +					- K)dx = ò (x - x3 +														-K)dx =

0			0			2						0								2
0,2			0,2		1	0,2				x	2		00,2 -	x	4	00,2 +	x	6			00,2 - K=

= ò xdx - ò x3dx +						ò x5dx -K =

0			0	2		0			2				4			12

			= 0,002 - 0 - 0,0004 + 0 + 0,00000106 - 0 -K .

Количество слагаемых в разложении подынтегральной функции бесконечно. Заданная точность позволяет рассматривать такое количество слагаемых, которое учитывает лишь несколько первых из них. Необходимо отбросить такие слагаемые, которые меньше заданной точности(по абсолютной величине).

В данном примере уже второе слагаемое оказалось меньше заданной точности, поэтому отбрасываем остальные члены ряда, округляем, учитывая за-

0,2	-x	2	dx » 0,002 .
данную степень точности, и записываем ответ: ò x × e
0

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Неизвестное частное решение y = y(x) дифференциального уравнения

y¢ = f (x, y)

с заданными

начальными

условиямиy(0) = y0 можно записать в

виде ряда

Маклорена:

¢¢

¢¢¢

y(x) =

× x +

× x2

× x3 +K

где y(0) = y0 ,

¢¢

¢¢¢

= y

¢¢¢

= y (0),

(0),

Для вычисления коэффициентов данного ряда необходимо последова-

тельно продифференцировать заданное уравнение и найти y0¢¢, y0¢¢¢ .

Пример 1.

Найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в

степенной

ряд

решенияy = y(x)

дифференциального

уравнения

y¢ = xy + x2 y - y , удовлетворяющего начальным условиям y(0) = 1.

Решение. Решение данного уравнения ищем в виде

	¢			¢¢		¢¢¢
y(x) = y0	+	y0	× x +	y0	× x2 +	y0	× x3 +K
				2!		3!
	1!

Согласно начальным условиям y0 =1. Тогда, подставив начальные условия в

уравнение, найдем y¢(0) = 0 ×1 + 02 ×1 -1 = -1, т. е. y0¢ = -1. Находим y¢¢, про-

дифференцировав исходное уравнение: y¢¢ = (xy + x2 y - y)¢ = (xy)¢ + (x2 y)¢ - y¢ =

= x¢y + y¢x + ( x2 )¢y + x2 y¢ - y¢ = y + y¢x + 2xy + x2 y¢ - y¢.

Подставив значения x0 , y0 и y0¢ , получим:

y¢¢(0) =1 -1× 0 + 2 × 0 ×1 + 02 × (-1) +1 = 2 ,

¢¢¢

+ x

¢ ¢

= 2 y

¢¢

+ 2 y + 4xy

+ x

¢¢

- y

¢¢

= ( y + y x + 2xy

- y )

+ y x

¢¢¢

× (-1) + 2 ×

0 + 2 ×1 +

4 × 0 × (-1) + 0

× 2

- 2 = -2 .

y (0) = 2

Подставим в разложение:

¢¢

¢¢¢

-1

- 2

y(x) = y0

× x +

× x

+K=1 +

× x +

× x

+ K .

Окончательно: y(x) =1 - x + x2 - 1 × x3 + K . 3

Задания для контрольной работы № 3

141–150. Найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.

141.

y¢ =

x -1

, y(1) = 0 .

146.

y¢ = sin 2

y ,

y(1) = p 2 .

cos y

y(1) = 7 .

y(0) = 1.

142.

= x

147.

= x + 1

e x

143.

y(0) =1.

148.

= (x +1)

2 , y(0) = 1.

y(1) = 1.

y(1) = p 2 .

144.

= y 2 ,

149.

= sin y ,

145. y¢ = cos 2 y , y(1) = 0 . 150. y¢ = x2 , y(1) = 0 . cos y

151–160. Найти общее решение дифференциального уравнения.

151.y¢ +

152.y¢ +

153.y¢ -

154.y¢ -

155.y¢ +

y = cos x . tgx

2xy = xe-x .

y = x3 . x

y= 2 . x x

y= 2 . x x2

156. y¢ - 2 y = x3 . x

3y 3

157. y¢ - x = x2 .

158. y¢ - 3y = x2 . x

159.y¢ - 2y = 3 .

160.y¢ + y = 4 × x .

161–170. Найти общее решение однородного дифференциального уравнения.

161.	y¢¢ - 2 y¢ = 0 .	166.	y¢¢ - 6 y¢ + 5 y = 0 .
162.	y¢¢ - 2 y¢ + y = 0 .	167.	y¢¢ - 5 y¢ + 4 y = 0 .
163.	y¢¢ - 4 y = 0 .	168.	y¢¢ - 3 y¢ - 4 y = 0 .
164.	y¢¢ - 5 y¢ + 6 y = 0 .	169.	y¢¢ + y¢ - 2 y = 0 .
165.	y¢¢ - 4 y¢ + 4 y = 0 .	170.	y¢¢ - 4 y¢ = 0 .

171–180. Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения.

171.	y¢¢ - y = 2 .	176.	y¢¢ - 4 y = 6 .
172.	y¢¢ - y¢ = e- x .	177.	y¢¢ -16 y = e3 x .
173.	y¢¢ + 2 y¢ + y = e x .	178.	y¢¢ - 9 y = 3 .
174.	y¢¢ - 2 y¢ - 3y = e2x .	179.	y¢¢ + 3y¢ -10 y = 5 .
175.	y¢¢ + 4 y¢ -12 y = 4 .	180.	y¢¢ - 3y¢ + 2 y = e-2 x .

181–190.

Для данного числового ряда: а) вычислить

частичные суммы S1 ,

S 2 ,

S3 ;

б) записать n -ю

частичную

сумму Sn ; в) исследовать

ряд на сходи-

мость, пользуясь определением сходящегося ряда.

5 ön

n-1

3 ön

181.

÷ .

182. å(-1)

÷ .

183. å

n=1è

6 ø

n=1

5 ø

n=1

	¥	æ	-	4	ön		¥		2
184.	å	ç			÷ .	185.	å			.
				3
	n=1è				ø		n =1 n
	¥	4n .					¥	(-1)n			1
187.	å					188.	å					.

	n=1						n=1				3n

¥ æ 1 ön

190. åç ÷ . n=1è 6 ø

191–200. Найти интервал сходимости ряда.

191. å¥ 2n (x -1)n .

n=1

¥ (x +1)n

194. å .

n=1 n2

¥ (x + 4)n

197. å .

n=1 n3

¥(x - 2)n

200.å .

n=1 n

	¥		(x -	3)n
192.	å				.
192.	å				.
	n=1 3n
	¥	(x + 3)n
195.	å				.
195.	å		2n2	-1	.
	n=1		2n2	-1
	¥	(x - 4)n
198.	å				.
198.	å		5n		.
	n=1		5n

¥	1
186. å(-1)n		.

n=1	4n

¥ æ 1 ön

189. å ç ÷ . n=1è 2 ø

	¥		(x + 2)n
193.	å				.
193.	å				.
	n=1 n2 + 2
	¥	(x + 5)n
196.	å			.
196.	å	(n + 3)2		.
	n=1	(n + 3)2
	¥	(x - 4)n
199.	å			.
199.	å		4n	.
	n=1		4n

201–210. Вычислить определенный интеграл с точностью до0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его -по членно.

	1		x	2				0,5			x	2			1	-	x2
201.	òcos		x			dx .	202.	ò sin			x		dx .	203.	ò e	2		dx .
201.	òcos					dx .	202.	ò sin					dx .	203.	ò e	2		dx .
	0	2						0	2						0
	0,25							1	-	x3					0.5
204.	ò	xe- x dx .					205.	ò e		3 dx .				206.	òsin 2x dx .
	0							0							0
	0,5			x				0,5							1
207.	ò	cos		x	dx .		208.	ò x ln(1 + x) dx .						209.	òe- x 3			dx .
207.	ò	cos			dx .		208.	ò x ln(1 + x) dx .						209.	òe- x 3			dx .
	0			3				0							0
	0.5
210.	ò e-2 x 2					dx .
	0
211–220. Для дифференциального уравнения y¢ =														f (x, y) с заданными началь-

ными условиями y(x0 ) = y0 записать приближенное решение в виде суммы первых четырех отличных от нуля членов степенного ряда.

211. y¢ = y2 + 2xy , y(0) =1.

216. y¢ = xy 2 - x ,

y(1) =1.

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.03.2016742.91 Кб50Маршрутные карты.doc
#
17.05.2015518.98 Кб35матан.pdf
#
17.05.2015490.79 Кб26матем 1 уск 2009.pdf
#
17.05.201511.02 Кб18Матем.docx
#
17.05.2015632.36 Кб40математика II 2008 6 лет.pdf
#
17.05.2015457.66 Кб26математика ч 2.pdf
#
17.05.2015664.38 Кб37Математика ч.2.pdf
#
17.05.2015637.39 Кб56Математика.pdf
#
17.05.2015673.66 Кб25математика.pdf
#
17.05.20151.44 Mб27Материалка.pdf
#
17.05.20153.84 Mб253матмоделирование.doc