Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика ч 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

457.66 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Подставляя найденную функцию в уравнение(4.2), получим снова уравнение с разделяющимися переменными:

du ×eγ( x) =g(x),= du g(x) ×e-γ( x)dx . dx

Интегрируем последнее равенство:

u = ò g (x) ×e-γ( x)dx + C .

Возвращаясь к исходной переменой y , получим решение исходного уравнения

(4.1):

y = u ×v =(ò g(x) ×e-γ( x)dx + C) ×eγ( x) .

Пример 1. Найти общее решение уравнения y¢ +

Решение. Здесь

p(x) =

, g(x) =

. Решение данного уравнения будем

искать в виде y = u ×v ,

тогда y¢ = u¢× v + v¢ ×u . Подставляя выражения y и y¢ в

исходное уравнение, получим:

u¢× v + v¢ ×u +

u × v

. Функцию u выносим за

скобки:

u¢× v + u × (v¢ +

) =

. Полученное уравнение

равносильно двум

урав-

нениям:

v¢ +

= 0

– это

уравнение

разделяющимися

переменными. Имеем

v¢ = -

или

= -

Разделим

переменные

= -

. Интегрируем

обе

части равенства ò

= -ò

Þ ln

= -ln

. Отсюда v =

Перейдём к решению второго дифференциального уравнения.

u¢× v =

. Подставим

v =

тогда

u¢×

Сократим обе

части

уравнения на 1 и получим u¢ = 1. Это уравнение с разделяющимися перемен- x

ными du = dx , общее решение которого имеет вид u = x + C .

Итак, запишем окончательное решение исходного дифференциального

уравнения: y = (x + C) × 1 . x

Пример 2.	Найти частное решение уравнения
	y¢ + 2xy = 2x × e- x2			, y(0) = 1.			(4.3)
Решение.	Полагаем y = u ×v ,		тогда y¢ = u¢× v + v¢ ×u . После подстановки
уравнение примет вид: u¢× v + u × (v¢ + 2x × v) = 2x × e-x2 .							Полученное уравне-
ние эквивалентно системе двух уравнений с разделяющимися переменными:
	ìv¢	+	2x × v = 0,
	ï					2 .
	í				- x	2 .
	ï ¢	× v = 2x × e			- x
	îu	× v = 2x × e

Сначала решаем уравнение v¢ + 2x × v = 0 . Заменим производную в этом урав-

нении на отношение дифференциалов:

= -2x × v , откуда

= -ò 2x × dx ,

= -x2 . Тогда v = e-x2 .

Подставим полученную функцию во второе уравнение системы:

u¢ × e- x 2 = 2x × e- x 2

, отсюда получим du = 2x × dx . Проинтегрируем обе части

ò du = 2ò x × dx Û

u = 2 ×

+ C . Окончательно u = x2 + C .

Итак, общее решение исходного уравнения имеет вид

y = u × v = (x2 + C) × e- x 2 .

Теперь найдем частное решение нашего уравнения, подставив начальные условия x = 0, y =1. Получим 1 = (0 + C)e0 Þ C = 1. Окончательный ответ имеет вид: y = (x2 +1) ×e-x 2 .

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида
y¢¢ + py¢ + qy = 0 ,	(5.1)

где p, q – действительные числа, называется однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим для уравнения (5.1) характеристическое уравнение

k 2 + pk + q = 0 .

(5.2)

При решении уравнения (5.2) возможны три случая, в зависимости от которых однородное уравнение (5.1) имеет различный вид решения.

1.Пусть характеристическое уравнение (5.2) имеет два различных действительных корня k1, k2 , тогда уравнение (5.1) имеет общее решение вида

y= C1ek1x + C2ek2 x .

2.Если характеристическое уравнение имеет один корень кратности 2, т. е. k1 = k2 = k , то общее решение уравнения (5.1) имеет вид

y= ekx (C1 + C2 x) .

3.Если характеристическое уравнение имеет два сопряженных комплексных корня, т. е. k1,2 = α ±iβ , то общее решение уравнения (5.1) имеет вид

y = eα x (C1 cosβ x + C2 sin β x) .

Везде C1, C2 – произвольные постоянные.

Комплексные числа

Комплексным числом называется	выражение видаz = x + iy ,	где x, y –
действительные числа, i – мнимая	единица, удовлетворяющая	равенству

i 2 = -1. Такая форма записи комплексных чисел называетсяалгебраической формой. Число x называется действительной частью числа z и обозначается Re( z) , а число y – мнимой частью числа z и обозначается Im(z) . Действительное число является частным случаем комплексного числа при y = 0 . Числа z = x + iy и z = x - iy называются сопряженными. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части.

Арифметические операции над комплексными числами

Пусть даны два комплексных числа z1 = x1 +iy1, z2 = x2 + iy2 .

1.Суммой (разностью) двух комплексных чисел называется комплексное число

z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 ) .

2. Произведением комплексных чисел называется комплексное число z1 z2 = (x1 x2 - y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) .

3. Частным двух комплексных чисел называется комплексное число

(x1x2 + y1 y2 ) + i(x2 y1 - x1 y2 )

2 + y2

Пример 1. Даны два комплексных числа z1 = 2 + 5i и z2 = 3 - 4i .

Найти z ± z

, z

Решение.

z1 + z2 = 2 + 3 + i(5 - 4) = 5 + i .

z1 - z2 = (2 - 3) + i(5 + 4) = -1+ 9i .

z z

= (2 + 5i)(3 - 4i) = 6 +15i - 8i - 20i 2

= 26 + 7i .

2 + 5i

(2 + 5i)(3 + 4i)

3 - 4i

(3 - 4i)(3 + 4i)

6 +15i + 8i + 20i 2

-14 +

23i

= -0,56

+ 0,92i .

9 -16i 2

Приведём несколько примеров решений однородных дифференциальных

уравнений второго порядка на рассмотренные выше случаи.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

y¢¢ - 2 y¢ - 3y = 0 .

Решение.

Составляем характеристическое уравнение

k 2 - 2k - 3 = 0 .

Находим его корни: k1 = -1,

k2 = 3. Так как они действительные и различные,

то общее решение запишем:

y = C e-x + C

e3x .

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения

¢¢

- 2 y

+ y = 0,

y(0) = 1,

y (0) = 1.

Решение.

Составим

соответствующее

характеристическое уравнение

2 ±

=1. Общее решение од-

k 2 - 2k +1 = 0. Его корни будут равны k

4 - 4

1,2

= e1×x (C + C

нородного уравнения равно

x) .

Ищем частное решение данного уравнения. Для этого найдем первую производную от найденного общего решения:

y¢ = e x (C1 + C2 x) + e x (C2 ) .

Подставим начальные условия в найденное общее решение и его производную. Получим следующую систему для нахождения постоянных C1, C2 :

ì1 = e0 (C +C

×0);

= e

(C2 ),

î1

(C1 + C2 × 0) + e

или C1 = 1, 1 = C1 + C2 , откуда C2 = 0 . Теперь частное решение исходного

уравнения y = ex .

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

y¢¢ - 3y¢ + 25y = 0 .

Решение.

Составим

соответствующее

характеристическое

уравнение

k 2 - 3k + 25 = 0 .

Ищем его

корни:

3 ±

9 - 25

3 ± 4i

=1,5 ± 2i .

Корни

1,2

комплексные, тогда общее решение дифференциального уравнения ищем -со гласно третьему случаю: y = e1,5x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) .

6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида

y¢¢ + py¢ + qy = f (x)

(6.1)

называется неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с

постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения (6.1) равно сумме общего решения y соответ-

ствующего однородного уравнения (5.1) и какого-либо частного решения y* неоднородного уравнения, т. е.

			y =	y	+ y*.	(6.2)
		Вид частного решения устанавливается по виду правой части				f (x)
уравнения (6.1).

		Вид правой части			Вид частного решения
	1.	f (x) = Aeα x	y* = Bek x
			, если k – не корень уравнения (5.2);
			y* = Bek x x , если k – корень уравнения (5.2) крат-
			ности 1;
			y* = Bek x x2 , если k – корень уравнения (5.2) крат-
			ности 2.

f(x) = A

y * = C , если «0» – не корень уравнения (5.2);

y* = xC , если «0» – корень уравнения (5.2)

кратности 1

Пример 1. Решить уравнения: а)

y¢¢ - 2y¢ = 4ex ; б) y¢¢ - 4 y¢ + 4 y = 6 .

Решение.

а)

y¢¢ - 2 y¢ = 4 .

Сначала

решаем

соответствующее

однородное

уравнение

y¢¢ - 2 y¢ = 0. Составим

характеристическое

уравнение k 2 - 2k = 0 . Оно

имеет

два

корня k1 = 0,

k2 = 2 .

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

= C e0 x

+ C

e2 x

= C + C

e2 x . Далее ищем частное решение исходного неод-

f (x) = 4ex . Число «1» не является

нородного уравнения по виду правой части:

корнем характеристического уравнения. Следовательно, вид частного решения

неоднородного уравнения y* = Ae x . Определим значение неопределенного ко-

эффициента

А.

Для

этого

найдем

производные

от

частного

:решения

( y

)

= Ae

( y

)

¢¢

= Ae

Подставим

( y

)

¢¢

исходное

уравнение

) ,

Ae x - 2 Ae x

= 4e x . Отсюда A = -4 и y* = -4ex . Тогда общее решение неодно-

родного уравнения равно y =

+ y* = C + C

e2 x - 4ex ;

б) y¢¢ - 4 y¢ + 4 y = 6 .

Находим

общее

решение

однородного

уравнения:

y¢¢ - 4 y¢ + 4 y = 0 . Характе-

ристическое уравнение имеет вид k 2 - 4k + 4 = 0 или k

= 2 . Тогда общее ре-

1,2

шение однородного уравнения

= e2 x (C + C

x) . Ищем частное решение, учи-

f (x) = 6 . Так

тывая, что

как ноль не является корнем характеристического

уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

= A. Находим постоянную А.

( y

¢¢

= 0 . Подставим y

, ( y

( y

)

¢¢

)

) ,

в исходное уравнение 0 - 4 ×0 + 4A = 6,

откуда 4 A = 6 и

A = 1,5. Частное ре-

шение равно y * = 1,5. Окончательно имеем общее решение

y = e2 x (C + C

x) +1,5 .

Пример 2.

Найти частное решение уравнения

y¢¢ + y¢ - 2 y = e2 x , удовле-

творяющее начальным условиям y(0) = 0, y (0) = 1.

Решение.

Найдём

сначала

общее

решение

однородного

уравнения

y¢¢ + y¢ - 2 y = 0 .

Характеристическое уравнение имеет вид: k 2 + k - 2 = 0 ,

его

корни вещественные числа k1 =1, k2 = -2 . Поэтому общее решение однородного уравнения:

= C e-2 x + C

e x .

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде y* = A ×e2 x .

Найдем

производные ( y* )¢ = 2 A × e2 x , ( y* )¢¢ = 4 A × e2 x .

Подставим

в исходное

уравнение 4 A ×e2 x

+ 2 A ×e2 x

- 2 A ×e2 x

= e2 x , отсюда

A =

Тогда

y* =

× e2 x .

Общее

решение

исходного

уравнения

y =

+ y* = C e-2 x + C

ex +

× e2 x . Теперь

найдем

частное

решение, исполь-

зуя начальные условия y(0) = C e-2×0

+ C

× e2×0

= C + C

;

-2 x

2 x

-2 x

2 x

= (C1e

+ C2e

× e

) = -2C1e

+ C2e

;

-2×0

2×0

y (0) = -2C1e

+ C2e

= -2C1 + C2

Так

как

y(0) = 0, y (0)

= 1,

то

получим

систему

уравнений

для

определения

постоян

ïC1 + C2

= 0;

ïC

= -

;

Тогда частное решение

исходного уравне-

ï- 2C1 + C2 +

îC2

= 0.

ния имеет вид: y = -

-2 x

×e

2 x

РЯДЫ

1. Основные понятия

Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел:

= u1 + u2 + u3 +K+ un +K

åun

(1.1)

n=1

где u1 , u2 ,K – действительные числа, называемые членами ряда; un называет-

ся общим членом ряда.

Сумма первых n членов ряда(1.1) называется n -й частичной суммой ряда и обозначается Sn = u1 + u2 + u3 +Kun .

Рассмотрим частичные суммы S1 = u1, S2 = u1 + u2 , S3 = u1 + u2 + u3 , K

Если существует конечный предел S последовательности {S n } частичных сумм, то ряд называется сходящимся, а этот предел называетсясуммой ряда,

т. е. S = lim Sn .

n®¥

Если lim Sn равен бесконечности или не существует, то ряд называется

n®¥

расходящимся.

Пример.

(-1)n

Для данного

числового

ряда å

найти

значения частич-

n=1 2n

ных сумм S1 , S 2 , S3 ,

записать выражение для n-й частичной суммы S n

и найти

сумму ряда или доказать его расходимость.

Решение.

Найдем

частичные

суммы

данного

ряд= -а ,

= -

, S3

= -

. Вычислим n-ю частичную сумму ряда

= -

-K + (-1)n ×

Используя

формулу

для

вычисления

суммы

геометрической

прогрессии,

которой

первый

член равенb =

-1

, а

-1

b (1

- qn )

-1/ 2(1 - (-1/ 2)n )

знаменатель

q =

можно

записать Sn =

1 - q

1 - (-1/ 2)

= -

1 - (-1/ 2)n

Найдем предел частичных сумм lim Sn

= -

. Следовательно,

n®¥

ряд сходится и его сумма равна - 1 . 3

Рассмотрим необходимый признак сходимости рядов.

Теорема 1. Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю,

т. е. lim un = 0 .

n®¥

Следствие (достаточное условие расходимости ряда). Если lim un ¹ 0 ,

то ряд (1.1) расходится.

n®¥

Например, исследуем на сходимость ряд å

. Данный ряд расхо-

+ 6

n=1

дится, так как lim u

= lim

= 0,5 ¹ 0 – выполняется достаточное ус-

n®¥

n®¥ 4n + 6 4

ловие расходимости ряда.

Особое место при исследовании сходимости

числовых рядов занимает

ряд геометрической прогрессии и гармонический ряд.

Рядом геометрической прогрессии называется ряд

b + b × q + b × q 2 + K + b × q n + K (b ¹ 0) ,

(1.2)

который сходится при

< 1, его сумма равна

1 - q

³ 1, так как

и расходится при

lim Sn не существует или равен бесконечно-

n®¥

æ 4

ön

сти. Например, исследуем на сходимость числовой ряд å

÷ . Он сходится,

n=1

è 7

так как это сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у

которой первый член равен b =				4	, а знаменатель равен q =				4	. Следовательно,
которой первый член равен b =					, а знаменатель равен q =					. Следовательно,
		1	7			7
			7			7
сумма ряда равна Sn =	b1	= =		4 7		=	4	.
1	- q		1 - 4 7			3
Примером расходящегося				ряда		может служить ряд å¥ (2 )n . Поскольку
								n =1

знаменатель геометрической прогрессии равен q = 2 , то ряд расходится.

¥ 1

Гармоническим рядом называется ряд вида å ;

n=1 n

обобщенным гармоническим рядом называется ряд вида:

¥	1		1		1		1
å		=1 +		+		+K+		+K,	(1.3)
	k		k		k		k
n=1 n		2			3		n
где k – вещественное число. Причем,					обобщенный гармонический				ряд(1.3)
сходится при k > 1 и расходится при k £ 1 .

¥	æ	1	ö
Например, ряд å	ç		÷	– сходится, так как является обобщенным гармо-

n=1è n2			ø

¥ æ 1 ö

ническим рядом, у которого степень знаменателя равнаk = 2 , а ряд å ç ÷ n=1è n ø

расходится, так как k =1/ 2 .

2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Необходимый признак сходимости ряда не позволяет судить о сходимо-

¥ 1

сти всех рядов. Примером может служить гармонический ряд ån=1 n .

С одной стороны, предел общего члена ряда un = 1 при n ® ¥ равен нулю, а с n

другой – этот ряд является расходящимся (это можно доказать). Далее рассмотрим достаточные признаки сходимости для числовых рядов. Будем предпола-

гать, что åvn – эталонный ряд, т. е. ряд, о сходимости или расходимости кото-

n=1

рого нам уже известно. Например, в качестве эталонного ряда часто рассматривают гармонический ряд или ряд геометрической прогрессии.

Признак сравнения 1

	¥		¥
Пусть даны два знакоположительных ряда åun и åvn .
	n=1		n=1
Если для всех n , начиная с некоторого номера, выполняется условие un						£ vn ,
¥			¥
то из сходимости рядаåvn	следует сходимость	рядаåun . И, наоборот, из
n=1			n=1
¥		¥
расходимости ряда åun следует расходимость ряда åvn .
n=1		n=1
	¥	1
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд å		1		.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд å				.
	n=11 + 3n		¥		1
			¥
Решение. В качестве	эталонного ряда рассмотрим рядvn = å					, кото-
Решение. В качестве	эталонного ряда рассмотрим рядvn = å				3n	, кото-
				n=1	3n

рый сходится, так как является геометрической прогрессией, у которой q = 1 .

Сравним общие члены рядов. Очевидно, что для них выполняется соотношение

1	<	1	. Следовательно, по признаку сравнения 1 исходный ряд сходится.
1 + 3n		3n

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.03.2016742.91 Кб50Маршрутные карты.doc
#
17.05.2015518.98 Кб35матан.pdf
#
17.05.2015490.79 Кб26матем 1 уск 2009.pdf
#
17.05.201511.02 Кб18Матем.docx
#
17.05.2015632.36 Кб40математика II 2008 6 лет.pdf
#
17.05.2015457.66 Кб26математика ч 2.pdf
#
17.05.2015664.38 Кб37Математика ч.2.pdf
#
17.05.2015637.39 Кб56Математика.pdf
#
17.05.2015673.66 Кб25математика.pdf
#
17.05.20151.44 Mб27Материалка.pdf
#
17.05.20153.84 Mб253матмоделирование.doc