2.4. Динамика колебательного движения

Рассмотрим динамику колебательного движения на примере колебания груза массой m, подвешенного к пружине (рис 2.6). В состоянии равновесия, сила тяжести грузауравновешивается силой упругости пружины. Для выбранного направления оси х:

,

F_упр =mg,

где F_упр =kΔl(закон Гука), Δl=l-l₀ , l₀– длина пружины без груза.

Выведем груз из положения равновесия и дадим ему возможность двигаться вдоль оси Х. Под действием сил тяжести и упругости груз будет совершать движение с ускорениемасогласно уравнениям:

(2.16)

Введём обозначение , тогда

. (2.17)

Равенство (2.17) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний. Координата смещения груза относительно его положения равновесия, определяется из решения уравнения (2.17) и равна

(2.18)

где А – амплитуда (максимального смещения груза от положения равновесия),

- циклическая частота,- фаза колебания,- начальная фаза колебания.

Период колебания

(2.19)

частота . (2.20)

Если груз колеблется в среде, то он испытывает ее сопротивление.

При малых смещениях груза от положения равновесия сила сопротивления

, (2.21)

где r– коэффициент сопротивления. Среды,v– скорость движения груза

С учетом силы сопротивления дифференциальное уравнение движения груза имеет вид

. (2.22)

Разделим обе части уравнения (2.22) на m, перенесем все слагаемые умножим на 1 в левую часть и введем обозначения,, тогда

(2.23)

где - коэффициент затухания.

В результате решения дифференциального уравнения (2.23) координата смещения груза

(2.24)

где и- амплитуда колебаний и фаза в момент времениt=0,

- циклическая частота затухающих колебаний (рис 2.7).

Затухающие колебания не являются гармоническими, так как амплитуда этих колебаний убывает по экспоненциальному закону

. (2.25)

Циклическая частота ω и период Т затухающих колебаний определяются из соотношений:

, (2.26)

(2.27)

где ω₀частота свободных колебаний тела.

Период определённый из последнего соотношения называется условным периодом затухающих колебаний.

Условный период затухающих колебаний – наименьший промежуток времени Т, за который груз дважды проходит через положение равновесия, двигаясь в одном и том же направлении.

Период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний.

Отношение двух амплитуд затухающих колебаний в моменты времени tи

(2.28)

называется декрементом затухания. Натуральный логарифм этого отношения называетсялогарифмическим декрементомзатухания

(2.29)

Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период, а коэффициент затухания за единицу времени.

Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации τ.

,

(2.30)

Коэффициент затухания – это величина, обратная времени релаксации и определяет число колебаний за единицу времени.

За время τ система совершит колебаний.

Логарифмический декремент затухания равен обратному числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.

(2.31)

Если на груз, кроме упругой силы и силы сопротивления, будет действовать внешняя периодическая сила, то он будет совершать вынужденные колебания.

При внешней силе дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид

, (2.32)

В результате решения дифференциального уравнения (2.32) координаты смещения груза х = х₁+ х₂,

где - соответствует затухающему колебанию,

- вынужденному.

Затухающие колебания происходят в начальный момент времени и их амплитуда уменьшается с течением времени.

Поэтому в результате действия внешней периодической силы долгое время совершаются колебания

(2.33)

где , (2.34)

(2.35)

Амплитуда колебаний зависит от частот внешней силы Ω и свободных колебаний ω_0.

Для Ω << ω₀,

, (2.36)

Ω >> ω₀,

, (2.37)

.

Для частоты внешней силы

(2.38)

наступает резонанс, когда амплитуда максимальна и зависит от коэффициента затухания и частоты свободных колебаний

(2.39)