Короткий математичний довідник. Додаток до видання: Математика. Типові тестові завдання: Збірник / А. Р. Гальперіна, О. Я. Міхеєва.— Х.: Веста, 2010.— 112 с.
10
X. Інтегрування
А. Таблиця первісних і невизначених інтегралів
№ |
|
f (x) |
F(x) = ∫ f (x)dx |
№ |
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
F(x) = ∫ f (x)dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
x+C |
8 |
|
|
|
sinx |
|
|
|
|
|
|
|
−cosx+C |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
k |
|
|
|
kx+C |
9 |
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinx+C |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
+C |
10 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx+C |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
xn (n ≠ −1) |
|
|
x |
n+1 |
|
|
|
+C |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−ctgx+C |
||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n+ |
1 |
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
5 |
|
|
1 |
|
ln |
|
x |
|
+C |
12 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
|
+C , a >0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
a2 −x2 |
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6 |
|
|
ex |
|
|
|
ex +C |
13 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
arctg |
x |
|
+C , a ≠0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 +x2 |
|
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7 |
|
ax |
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
+C |
14 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ln |
|
|
a+x |
|
+C, a >0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
lna |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
2a |
|
|
a−x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б. |
Правила інтегрування |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. ∫ kf (x)dx =k∫ f (x)dx |
2. |
∫ f (kx+b)dx = |
f (kx+b) +c |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||
3.Інтегрування по частинах: ∫ uv′dx =uv−∫ vu′dx
В. |
Визначений інтеграл |
|
|
|
|
a |
|
b |
a |
4. |
∫ f (x)dx =0 |
5. ∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx |
||
|
a |
|
a |
b |
|
b |
c |
b |
|
6. |
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx+ ∫ f (x)dx , a < c< b |
|
||
|
a |
a |
c |
|
|
a |
|
|
|
7. |
∫ f (x)dx =0 , якщо |
f (x) непарна, неперервна |
||
|
−a |
|
|
|
|
b |
|
|
|
8. |
∫ f (x)dx = F(b) −F(a) |
|
||
a
b
9.S = ∫ f (x)dx , де f(x) — неперервна додатна функція — площа
a
фігури, обмеженої лініями y =f(x) , y = 0, x = a, x = b
XI. Логарифми
1.Логарифмом loga b =c називається таке число c, що ac =b,
де b >0 , a >0 ; a ≠1.
Десятковим логарифмом називається логарифм, основа якого дорівнює 10.
log10 b =lgb
Натуральним логарифмом називається логарифм, основа якого дорівнює e.
loge b =lnb
2. aloga b =b — основна тотожність
3. |
loga b+loga c =loga bc |
9. |
logc b = |
loga b |
|
||||||||||||||
log |
a |
c |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
nloga b =loga bn |
|
|
10. |
logak |
bn = |
n |
loga b |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
5. |
loga |
b−loga c =loga |
b |
|
11. |
loga b logb a =1 |
|||||||||||||
c |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
loga a =1 |
|
|
12. |
logn a |
n b =loga b |
|||||||||||||
7. |
log1 |
a =loga |
1 |
= −1 |
|
|
13. |
log1 b = −loga b |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.loga 1=0
Короткий математичний довідник. Додаток до видання: Математика. Типові тестові завдання: Збірник / А. Р. Гальперіна, О. Я. Міхеєва.— Х.: Веста, 2010.— 112 с.
11
Короткий математичний довідник. Додаток до видання: Математика. Типові тестові завдання: Збірник / А. Р. Гальперіна, О. Я. Міхеєва.— Х.: Веста, 2010.— 112 с.
12
XII. Нерівності
1. |
x > c, якщо a > 1, |
ax > ac |
<1
x > c, якщо a > 1,
2.loga x > loga c 0< x < c, якщо 0< a< 1x < c, якщо 0< a
3.f (x)
4.f (x)
<g(x)
>g(x)
g(x) > 0,
f(x) 0,
f(x) < g2 (x)
g(x) < 0,
f(x) 0,
g(x) 0,
f(x) > g2 (x)
XIII. Дослідження функцій
Для неперервної й диференційованої на ОПЗ функції y = f (x) справ джуються такі твердження.
1.Корені рівняння f′ (x) = 0 x1 , x2 ,…, xi є критичними точками функції f(x)
2.f′ (x) 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) x1 |
x |
2 |
x |
3 |
x4 |
x5 |
|||
|
max |
перегин |
min |
перегин |
max |
||||
3. Якщо f′′ (a) > 0, то f (x) у точці x = a має мінімум, а якщо f′′ (b) < 0, то f (x) в точці x = b має максимум
|
|
|
|
|
|
|
|
XIV. Трикутники |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
А. |
Прямокутний трикутник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. |
a2 +b2 =c2 |
6. |
cosα = |
|
b |
|
|
|
|
|
11. |
S = |
ab |
||||||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
2. |
a2 =c ac |
7. |
tgα = |
a |
|
|
|
|
|
12. |
S = |
ch |
|
||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
3. |
b2 =c bc |
8. |
ctgα = |
b |
|
|
|
|
13. |
h = |
ab |
|
|||||||||||||||||||||
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|||||||||
4. |
h2 =ac bc |
9. R = |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
sinα = |
a |
10. |
r = |
a+b−c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
c |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Б. |
Рівносторонній трикутник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. |
h = R + r |
4. |
a =2r 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2. |
R =2r |
5. |
h = |
|
|
a |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
a = R 3 |
6. |
S = |
a2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В. |
Різнобічний трикутник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. |
S = |
absin γ |
; S = |
bcsinα |
; |
|
S = |
acsinβ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
S = |
c hc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
S = ( p−a)( p−b)( p−c) p , де p = |
a+b+c |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
4.S = abc4R , R = abc4S
5.S = (a+b+c) r ; r = S
2 p
Короткий математичний довідник. Додаток до видання: Математика. Типові тестові завдання: Збірник / А. Р. Гальперіна, О. Я. Міхеєва.— Х.: Веста, 2010.— 112 с.
13